6.4----微专题：平面向量与三角形的“四心”(2)公开课教案教学设计课件案例试卷.docx

单元主题：向量
一、设定教学目标
核心素养：
1.直观想象：能够通过图形直观认识数学问题，能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合；
2.数学运算：能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用；
3.数学抽象：能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；
4.数学建模：了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。
课程标准：
1. 帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；
2. 掌握平面向量的基本概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；
3. 用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
核心问题：
1.夯实平面向量基础知识，掌握平面向量问题的解决方法
2.掌握平面向量问题的解决方法
教学目标：
1.熟练掌握平面向量的基础知识，能在解题时灵活应用。
2.掌握解决平面向量问题的基本方法：基底法和坐标法，能根据具体情境选择恰当的方法解决问题。
3.训练转化化归、数形结合的思想方法，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心数学素养。
4.感受数学知识的内在联系。
二、确定恰当评估办法
任务1：向量概念
通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素-----A
了解平面向量的意义和两个向量相等的含义，了解平面向量的几何表示和基本要素------B
任务2：向量运算
掌握平面向量加、减运算即运算规则，理解其几何意义，掌握平面向量数乘运算即运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义-----A
不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题---B
任务3：向量基本定理及坐标表示
理解平面向量基本定理及其意义，借助平面直角坐标系；掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件----A
不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题----B
任务4：向量与解三角形
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用；借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理；能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题----A
不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题-----B
微专题：数学运算—— 平面向量与三角形的“四心”
1.平面向量与三角形的“重心”问题
例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)

A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
答案C
解析取AB的中点D,则2OD=OA+OB,
因为OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],
所以OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC,又因为2(1-λ)3+1+2λ3=1,
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
2.平面向量与三角形的“垂心”问题
例2 已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
答案B
解析因为OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,所以AP=OP-OA=λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC.
所以BC·AP=BC·λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC=λAB·BC|AB|cosB+AC·BC|AC|cosC=λ(-|BC|+|BC|)=0.
所以BC⊥AP,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
3.平面向量与三角形的“内心”问题
例3 在△ABC中,AB=5,AC=6,cos A=15,O是△ABC的内心,若OP=xOB+yOC,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.1063 B.1463 C.43 D.62
答案B
解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a=7.设△ABC的内切圆的半径为r,则12bcsin A=12(a+b+c)r,解得r=263,所以S△BOC=12×a×r=12×7×263=763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=1463.
4.平面向量与三角形的“外心”问题
例4已知在△ABC中,AB=1,BC=6,AC=2,点O为△ABC的外心,若AO=xAB+yAC,则有序实数对(x,y)为(　　)
A.45,35 B.35,45
C.-45,35 D.-35,45
答案A
解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则OM⊥AB,ON⊥AC,OM=AM-AO=12AB-(xAB+yAC)=12-xAB-yAC,
ON=AN-AO=12AC-(xAB+yAC)=12-yAC-xAB,
由OM⊥AB,得12-xAB2-yAC·AB=0,①
由ON⊥AC,得12-yAC2-xAC·AB=0.②
又因为BC2=(AC-AB)2=AC2-2AC·AB+AB2,所以AC·AB=AC2+AB2-BC22=-12,③
把③代入①,②得1-2x+y=0,4+x-8y=0,解得x=45,y=35.故实数对(x,y)为45,35.