2016-2017学年成都七中八年级(上)期中数学试卷(含解析).docx

2016-2017 学年成都七中八年级（上）期中数学试卷
（考试时间：120 分钟
满分：150 分）
A 卷（共 100 分）
一．选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．在下列实数中：0，2.5，﹣3.1415， ， ，0.4343343334……（相邻两个 4 之间 3 的个数逐次加 1），
无理数有（
A．1 个
）
B．2 个
）
C．3 个
D．4 个
2．估计
﹣1 在（
A．5～6 之间
B．6～7 之间
C．7～8 之间
）
D．8～9 之间
D．5，12，23
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（
A．4，5，6 B．1，1，
C．6，8，11
4．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（
）
A．（3，﹣2）
B．（﹣2，3）
）
C．（﹣3，2）
C．
D．（2，﹣3）
D．
5．下列等式正确的是（
A．
B．
6．经过两点 A（2，3）、B（﹣4，3）作直线 AB，则直线 AB（
A．平行于 x 轴 B．平行于 y 轴 C．经过原点
7．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+
）
D．无法确定
的结果是（
）
A．﹣2a+b
B．2a﹣b
C．﹣b
D．b
8．一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是 8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的 A 点爬到盒顶的 B 点，
则蚂蚁要爬行的最短行程是（
）

A．28cm
B．4
C．4
D．20cm
9．如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A′B′，那么 A（﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（
）
A．（2，5）
B．（5，2）
C．（2，﹣5）
D．（5，﹣2）
10．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）．若线段 AD 长为正整
数，则点 D 的个数共有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
二．填空题（每小题 4 分，共 16 分）
11．3 的平方根是
12．如果整数 x＞﹣2，那么使
．
有意义的 x 的值是
．（只填一个）
13．点（3，﹣2）关于 y 轴的对称点的坐标是
14．如图所示，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 0.7 米，梯子
滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 1.3 米，则梯子顶端 A 下滑了 米．
．
三．解答题（共 54 分）

15．（16 分）（1）解方程：（x+1） ＝25
2
（2）计算：（2﹣ ）
（3）计算：
﹣
+
﹣
（4）求代数式 x +xy+y 的值，其中 x＝ +1，y＝
2
2
16．（6 分）在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是
O（0，0）、A（﹣4，10）、B（﹣12，8）、C（﹣14，0），求四边形 OABC 的面积．
17．（6 分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

斐波那契（约 1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐
波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了
许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是
斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第 n 个数可以用
用无理数表示有理数的一个范例．
[（
） ﹣（
n
） ]表示（其中，n≥1），这是
n
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1 个数和第 2 个数．
18．（8 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB 的度数．
19．（8 分）如图，MN 为我国领海海线，即 MN 以左为我国领海，以右为公海，我国反走私艇 A 发现正东方
向有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B
密切注意，并告知：A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里，测得反走私艇 B 与 C 相距 12
海里，若走私艇 C 的速度不变，最快进入我国领海需要多少时间？
20．（10 分）已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角

三角形 PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
如图①，若点 P 在线段 AB 上，且 AC＝ ，PA＝ ，则：
①线段 PB＝ ，PC＝
②猜想：PA ，PB ，PQ 三者之间的数量关系为
；
．
2
2
2
（2）如图②，若点 P 在 AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点 P 满足
＝4，求
的值（提示：请利用备用图进行探求）．
B 卷（50 分）

一．填空题（每小题 4 分，共 20 分）
21．已知 m＝1+ ，n＝1﹣ ，且（m ﹣2m﹣a）（3n ﹣6n﹣4）＝6，则 a＝
2
．
2
22．若 xy＝2，则 x
+y
＝
．
23．在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，且 CD＝
，DB＝
，则 AB＝
．
24．如图，将边长为 1 的正方形 OABP 沿 x 轴正方向连续翻转，点 P 依次落在点 P ，P ，P ，P ，…的位置，
3
1
2
4
那么 P 的坐标是
2016
．
25．如图，∠AOB＝30°，M，Q 在 OA 上，P ，N 在 OB 上，OM＝1，ON＝ ，则 MP+PQ+QN 的最小值是
．
二．解答题（共 30 分）
26．（8 分）观察下列各式及其验证过程：
．
验证：
验证：
．
．
．

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反应的规律，写出用 n（n 为任意自然数，且 n≥2）表示的等式，并说明它成立．
27．（10 分）在平面直角坐标系中，已知点 B（a，b），线段 BA⊥y 轴于 A 点，线段 BC⊥x 轴于 C 点，且（a+2）
2+ ＝0．
（1）求 A，B，C 三点的坐标．
（2）若点 D 是 BC 的中点，点 E 是线段 OD 上一动点，记点 E 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示△AEC
的面积．
（3）在（2）的条件下，当点E 运动到 OD 的中点处时，请在 y 轴上确定一点 P，使得△AEP 为等腰三角形，
直接写出 P 点坐标．
28．（12 分）（1）如图，在直线 l 的同侧有 A、B 两点，在直线 l 上找点 C、D．使 AC+CB 最小，DB﹣DA 最大

（保留作图痕迹）
（2）平面直角坐标系内有两点 A（﹣2，3），B（4，5），P 是 x 轴上一动点，则 PA+PB 的最小值
，
PB﹣PA 的最大值为
．
（3）根据前面两小问的处理经验，解决以下问题：
已知 a+b＝5，求：
①代数式
②代数式
的最小值；
的最大值．

参考答案与试题解析
1．【解答】解：0，2.5，﹣3.1415， ＝2， ，0.4343343334（相邻两个 4 之间 3 的个数逐次加 1），无
理数有 0.4343343334……（相邻两个 4 之间 3 的个数逐次加 1），无理数有 1 个．
故选：A．
2．【解答】解：∵
，
∴
，
∴
．
故选：C．
3．【解答】解：A、∵4 +5 ≠6 ，∴不能构成直角三角形，故 A 错误；
2
2
2
B、∵1 +1 ＝
2
，∴能构成直角三角形，故 B 正确；
2
C、∵6 +8 ≠11 ，∴不能构成直角三角形，故 C 错误；
2
2
2
D、∵5 +12 ≠23 ，∴不能构成直角三角形，故 D 错误．
2
2
2
故选：B．
4．【解答】解：点 P 的坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
5．【解答】解：A、
，故选项 A 错误；
B、由于负数没有平方根，故选项 B 错误；
C、
，故选项 C 错误；
，故选项正确．
D、
故选：D．
6．【解答】解：∵A（2，3）、B（﹣4，3）的纵坐标都是 3，
∴直线 AB 平行于 x 轴．
故选：A．
7．【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
＝﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣2a+b．

故选：A．
8．【解答】解：有两种情形：
如图 1 所示：
AB＝
＝20（cm），
如图 2 所示：
AB＝
＝4
（cm）．
∵20＜4
故爬行的最短路程是 20cm．
故选：D．
9．【解答】解：∵线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，
∴AO＝A′O．
作 AC⊥y 轴于 C，A′C′⊥x 轴于 C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO 和△A′C′O 中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．

∵A（﹣2，5），
∴AC＝2，CO＝5，
∴A′C′＝2，OC′＝5，
∴A′（5，2）．
故选：B．
10．【解答】解：过 A 作 AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝ BC＝4，
∴AE＝
＝3，
∵D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3 或 4，
∵线段 AD 长为正整数，
∴AD 的可以有三条，长为 4，3，4，
∴点 D 的个数共有 3 个，
故选：C．
11．【解答】解：∵（
∴3 的平方根是为
）2＝3，
．
故答案为：± ．
12．【解答】解：∵整数 x＞﹣2，要使
∴π﹣2x＞0，
有意义，
则 x＜
，

∴x 可以取：1，0，﹣1 等整数，
故答案为：0（答案不唯一）．
13．【解答】解：点（3，﹣2）关于 y 轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣2）．
14．【解答】解：在 Rt△ABC 中，AB＝2.5 米，BC＝1.5 米，
∴AC＝
在 Rt△ECD 中，AB＝DE＝2.5 米，CD＝1.3+0.7＝2 米，
∴EC＝ ＝1.5 米，
＝
＝2.4 米，
＝
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9 米．
故答案为：0.9．
15．【解答】解：（1）x+1＝±5，
所以 x ＝4，x ＝﹣6；
2
1
（2）原式＝4﹣4 +3+2﹣
＝9﹣5 ；
（3）原式＝
﹣2
+
﹣
＝3 ﹣2 +2 ﹣
＝
+
；
（4）∵x＝ +1，y＝
∴x+y＝2 ，xy＝1，
，
∴x +xy+y ＝（x+y） ﹣xy＝（2 ） ﹣1＝8﹣1＝7．
2
2
2
2
16．【解答】解：如图，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，作 BD⊥x 轴于点 D，
则 S
＝S +S
△BCD
+S
四边形 OABC
梯形 ABDE
△OAE

＝ ×2×8+ ×（8+10）×8+ ×4×10
＝8+72+20
＝100．
17．【解答】解：当 n＝1 时，
[（
） ﹣（
n
） ]＝
n
（
﹣
）＝
×
＝1；
当 n＝2 时，
[（
） ﹣（
n
） ]
n
＝
＝
[（
） ﹣（
2
） ]
2
×（
×1×
+
）（
﹣
）
＝
＝1．
18．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC +DA ＝8+1＝9，CD ＝9，
2
2
2
∴AC +DA ＝CD ，
2
2
2
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB 的度数为 135°．
19．【解答】解：由题意可知 MN⊥AC 于 D，AB＝5，BC＝12，AC＝13
在△ABC 中∵AB +BC ＝5 +12 ＝169．AC ＝13 ＝169．
2
2
2
2
2
2
∴AB +BC ＝AC 所以△ABC 是直角三角形，且∠ABC＝90°．…（2 分）
2
2
2
设走私艇 C 进入我国领海的最近距离 CD＝x，则易证△ABC∽△ADB．
∴BD＝
在 Rt△BCD 中，x＝
＝
＝
，
＝
＝
又
÷13≈0.85（小时）…（8 分）
∴若走私艇 C 的速度不变，最快进入我国领海需要 0.85 小时．

20．【解答】解：（1）①如图①．连接 BQ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，AC＝ ，
∴AB＝
＝
＝2，
∵PA＝ ，
∴PB＝ ，
∵△ABC 和△PCQ 均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ，PC＝CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP＝ ，∠CBQ＝∠A＝45°．
∴△PBQ 为直角三角形．
∴PQ＝
∴PC＝
．
PQ＝
．
故答案为： ，
；
②由①知△PBQ 为直角三角形，
∴PB +BQ ＝PQ ，
2
2
2
又∵BQ＝AP，
∴PA +PB ＝PQ ，
2
2
2
故答案为：PA +PB ＝PQ ．
2
2
2
（2）（1）中所猜想的结论仍然成立，
如图②：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．

∵△ACB 为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP ＝（AD+PD） ＝（DC+PD） ＝CD +2DC• PD+PD ，
2
2
2
2
2
PB ＝（DP﹣BD） ＝（PD﹣DC） ＝DC ﹣2DC• PD+PD ，
2
2
2
2
2
∴AP +BP ＝2CD +2PD ，
2
2
2
2
∵在 Rt△PCD 中，由勾股定理可知：PC ＝DC +PD ，
2
2
2
∴AP +BP ＝2PC ．
2
2
2
∵△CPQ 为等腰直角三角形，
∴2PC ＝PQ ．
2
2
∴AP +BP ＝PQ ；
2
2
2
（3）如图③：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．
①当点 P 在线段 AB 上时，
∵ ＝4，
∴设 PA＝4x，PB＝x，
则 AB＝5x，AD＝CD＝ AB＝ x，
∴PD＝PA﹣AD＝4x﹣ x＝ x，
∴PC＝
＝
＝
x，
∵△ABC 和△PCQ 均为等腰直角三角形，

∴PQ＝ PC＝
x，AC＝
；
AB＝
x，
∴
＝
＝
②如图④，当点 P 位于 AB 延长线上时．
设 PA＝4x，PB＝x，
则 AB＝3x，
∴AD＝BD＝CD＝ AB＝ x，
则 PD＝PB+BD＝ x，
∴PC＝
＝
＝
x，
∵△ABC 和△PCQ 均为等腰直角三角形，
∴PQ＝ PC＝
x，AC＝
；
AB＝
x，
∴
＝
＝
综上，
的值为
或
．
21．【解答】解：∵m＝1+ ，n＝1﹣ ，
∴（m﹣1） ＝3，（n﹣1） ＝3，
2
2
∴m ﹣2m+1＝3，n ﹣2n+1＝3，
2
2
∴m ﹣2m＝2，n ﹣2n＝2，
2
2
∵（m ﹣2m﹣a）（3n ﹣6n﹣4）＝6，
2
2
∴（2﹣a）（6﹣4）＝6，

∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1
22．【解答】解：若 x、y 均大于 0，
则原式＝x•
+y•
＝2
＝2 ；
若 x、y 均小于 0，
则原式＝﹣x•
﹣y•
＝﹣2
＝﹣2 ；
综上，原式的值为±2 ．
故答案为：±2 ．
23．【解答】解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，
∴CD＝DE＝
∵DB＝
，
，
∴BC＝BD+CD＝2 ，
∴BE＝ ＝
＝2，
∵∠C＝∠DEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴
，
∴
＝
，
∴AB＝3，
故答案为：3．

24．【解答】解：根据规律
P （2，1），P （3，0）＝P ，P （4，1），
3
1
2
4
P （6，1），P （7，0）＝P ，P （8，1）…，
7
5
6
8
每 4 个一循环，可以判断 P 在 504 次循环后与 P 一致，坐标应该是（2016，1），
2016 4
故答案为：（2016，1）．
25．【解答】解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，
连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在 Rt△M′ON′中，
．
故答案为 2 ．
26．【解答】解：（1）5
＝
验证：5
（2）n
＝
＝
＝
＝
；
＝
，

证明：n
＝
＝
＝
＝
．
27．【解答】解：（1）∵（a+2） +
2
＝0，
∴a+2＝0，2a+b＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∵线段 BA⊥y 轴于 A 点，线段 BC⊥x 轴于 C 点，
∴A（0，4），B（﹣2，4），C（﹣2，0）；
（2）∵线段 BA⊥y 轴于 A 点，线段 BC⊥x 轴于 C 点，
∴四边形 OABC 是矩形，AB＝OC＝2，OA＝BC＝4，
∵点 D 是 BC 的中点，
∴CD＝ BC＝2，
∴OC＝CD，
∴△OCD 是等腰直角三角形，
∴∠DOC＝45°，
∴OD 平分∠AOC，
∵E 的横坐标为 m，
∴E 的纵坐标为﹣m，
设 AC 与 OD 的交点 F，
当点 E 在线段 OF 上时，如图 1 所示：
S ＝S ﹣S ﹣S ＝ ×2×4﹣ ×2×（﹣m）﹣ ×4×（﹣m）＝4+3m
△OCE
△AEC
△AOC
△AOE
当点 E 在线段 FD 上时，如图 2 所示：
S ＝S +S ﹣S ＝ ×2×（﹣m）+ ×4×（﹣m）﹣ ×2×4＝﹣3m﹣4；
△AEO
△AEC
△OEC
△AOC
（3）作 EM⊥OA 于 M，如图 3 所示：
∵四边形 OABC 是矩形，AB＝OC＝2，OA＝BC＝4，D 是 BC 的中点，
∴CD＝2＝OC，
∴D（2，2），
∵E 是 OD 的中点，
∴E（1，1），
∴EM＝OM＝1，

∴AM＝OA﹣OM＝3，
∴AE＝
＝
，
分三种情况：
①AE＝AP 时，点 P 的坐标为（0，4+
②EA＝EP 时，AM＝PM＝3，
）或（0，4﹣
）；
∴OP＝2，∴P（0，﹣2）；
③PA＝PE 时，点 P 在 AE 的垂直平分线上，
设 PA＝PE＝x，则 PM＝3﹣x，
在 Rt△PEM 中，由勾股定理得：1 +（3﹣x） ＝x ，
2
2
2
解得：x＝ ，即 PA＝ ，
∴OP＝4﹣ ＝ ，
∴P（0， ）；
综上所述，△AEP 为等腰三角形时，P 点坐标为（0，4+
）或（0，4﹣
）或（0，﹣2）或（0， ）．

28．【解答】解：（1）①作点 A 关于直线 m 的对称点 A′，连接 A′B 与直线 l 交于点 C，此时 AC+CB 最小，
点 C 如图所示．
②延长 BA 交直线 l 于 D，此时 DB﹣DA 最大，最大值为 AB 的长，点 D 如图所示．
（2）点 A 关于 x 轴的对称点 A′（﹣2，﹣3），
直线 A′B 的解析式为 y＝ x﹣ ，y＝0 时，x＝ ，
所以点 P 坐标（ ，0），PA+PB 的最小值是
PB﹣PA 的最大值＝AB＝ ＝2
故答案为：10，2
＝10．
．
．
（3）①由题意知：b＝5﹣a，
∵
＝
+
+
＝
，
欲求
的最小值，
可以看作在 x 轴上找一点 P，使得点 P 到（﹣3，2），（6，3）的距离之和最小，
由（1）可知最小值＝
＝
；

②∵
＝
﹣
﹣
＝
，
欲求
的最大值，
可以看作在 x 轴上找一点 Q，使得 Q 到 A（6，3），B（﹣3，2）的距离之和最大，
此时最大值＝
＝
．

28．【解答】解：（1）①作点 A 关于直线 m 的对称点 A′，连接 A′B 与直线 l 交于点 C，此时 AC+CB 最小，
点 C 如图所示．
②延长 BA 交直线 l 于 D，此时 DB﹣DA 最大，最大值为 AB 的长，点 D 如图所示．
（2）点 A 关于 x 轴的对称点 A′（﹣2，﹣3），
直线 A′B 的解析式为 y＝ x﹣ ，y＝0 时，x＝ ，
所以点 P 坐标（ ，0），PA+PB 的最小值是
PB﹣PA 的最大值＝AB＝ ＝2
故答案为：10，2
＝10．
．
．
（3）①由题意知：b＝5﹣a，
∵
＝
+
+
＝
，
欲求
的最小值，
可以看作在 x 轴上找一点 P，使得点 P 到（﹣3，2），（6，3）的距离之和最小，
由（1）可知最小值＝
＝
；

②∵
＝
﹣
﹣
＝
，
欲求
的最大值，
可以看作在 x 轴上找一点 Q，使得 Q 到 A（6，3），B（﹣3，2）的距离之和最大，
此时最大值＝
＝
．