北京市朝阳区2019-2020八年级上学期期末数学试卷-及答案解析.docx

北京市朝阳区 2019-2020 八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）
1. 若分式 有意义，则实数 的取值范围是( )
x
A.
B.
C.
D.
= 2
= 2
≠ 2
≠ 2
2. 2018 年 4 月 18 日，被誉为“中国天眼”的
望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新
FAST
发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，将0.00519用科学记数法表示应为( )
B.
C.
D.
A.
5.19 × 102
5.19 × 103
5.19 × 105
519 × 106
3. 下列四个交通标志中，是轴对称图形的个数有( )
A.
B.
C.
C.
D.
D.
1 个
2 个
3 个
4 个
4. 下列计算正确的是( )
B.
A.
⋅
=
) =
3 2
= 1
) =
2 3
2
4
8
5
0
6
5. 如图，在正五边形
的度数为( )
ABCDE
A.
B.
C.
D.
30°
36°
54°
72°
6. 已知三角形的两边长分别为 3，4，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
D.
C.
1
中，
= 90°，分别以点 和点 为圆心，以大于
的
A
C
2
若
= 34°，则
的度数是( )

A.
B.
C.
D.
146°
68°
112°
124°
8. 已知点
+
− 3)关于 轴的对称点在第一象限，则 的取值范围是( )
x
a
C.
D.
A.
B.
3
2
3
3
2
− < < 1
>
< −1
−1 < <
2
二、填空题（本大题共 8 小题，共 18.0 分）
9. 如图，图中共有________个三角形，以
为边的三角形有：
AD
___________________________________________________________．
10. 已知
=
= 2，则
=___．
11. 从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如
a
b
图2)，上述操作过程能验证的等式是______ . (请填入正确答案的序号)
−
−
+
+
=
2
−
2；
2
2
2
=
+
− ；
2
=
+ ．
12. 分解因式
13. 如果
−
+
=______．
2
+
− 1 = 0，那么
中，
+ 1) −
−
+ 2)的结果是_____．
于点 ，则
2
2
=
，
= 36°，
⊥
D

中，
=
，DE 垂直平分 AB，
⊥
，
=
，则
中，
= 90°， = 30°， ⊥
则
的长是______．
AD
三、解答题（本大题共 11小题，共 66.0 分）
2 −
− 1
的值．
17. 已知 = 19，求
2
2
−1
18
18. 化简： −
3) − (2 −
．

19. 解方程
7
(1)
(2)
+ 1 =
+ 3
+ 6
− 4
+ 10
− 6
=
− 1
− 2
20. 已知：如图，点 ， ， ， 在一条直线上，
B F C E
=
，
=
，且
．
求证：
=
．

21. 如图所示，△
在正方形网格中，若点 的坐标为(0,3)，按要求回答下列问题：
A
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系；
(2)根据所建立的坐标系，写出点 和点 的坐标；
B
C
(3)作出△
关于 轴的对称图形△
．
x
22. 如图，四边形
上，
=
= 90°，
ABCD
AD
且
=
，
=
求证：△

=
，
=
，
=
请你用其中两个作为条件，余下一个作为结论，编写一
道数学问题，并写出解答过程．
已知：______ ，
求证：______ ．
证明：
24. “一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产 ， 两种机械设
A B
备，每台 种设备的成本是 种设备的1.5倍，若公司投入 16 万元生产 种设备，36 万元生产
B
A
A
种设备，则可生产两种设备共 10 台．
B
、 两种设备每台的成本分别是多少万元？
B
(2)若 种设备每台的利润比 种设备少 4 万元，公司决定生产 种设备的数量是 种设备
A
B
A
B
的 2 倍，计划销售后 、 两种设备获利分别为 80 万元、60 万元，则 种设备和 种设备每台
A B
A
B
的售价分别是多少万元？

25.
=
， =
， =
写出
与
BC EF
之间的关系，并证明你的结论．
26.
如图，在等边△
于 ．
中，点 、点 分别在
D E
、
AB AC
上，
=
，连接
、 交于点 ，
BE CD P
作
⊥
H
(1)求证：△
(2)求证：
；
=
；
(3)若
=
，求
的度数．

27.
已知：如图 1，
，
， △
中，
= 90°，
从图 1 的位置出发，以每秒1 个单位
的速度沿 轴向点 匀速移动，同时，点 从 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线
= 6，
= 8，把它的斜边
放在 轴上，点 与点 重合．如图2， ⊥ 轴，△
x
C
B
向
x
O
P
A
AF
右匀速移动，点 为直线
Q
与线段
的交点，连结 PQ，作
⊥ 轴于 ，交
M AB
于 ，当
N
CD
AB
点 与点 相遇时，△
和点 同时停止运动，设运动时间为 秒．
P t
M
E
(1)在整个运动过程中，当点 落在线段
上时，求 的值；
t
D
AB
(2)在整个运动过程中，是否存在点 ，使△
是等腰三角形，若存在，求出 的值；若不存
t
P
在，说明理由；
(3)在整个运动过程中，设△
与△
重叠部分的面积为 ，请直接写出 与 的函数关系
S S t
式(不用写自变量 的取值范围)．
t

-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
此题考查了分式有意义的条件，属于基础题，掌握分式有意义分母不为零是关键．根据分式有意义
分母不为零，进行计算即可．
解：由题意得， − 2 ≠ 0，
解得： ≠ −2；
故选D．
2.答案：B
解析：解：0.00519 = 5.19 × 10−3．
故选：B．
绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 × 10 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 × 10 ，其中1 ≤
第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
3.答案：B
< 10，n 为由原数左边起
解析：
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重
合．根据轴对称图形的概念求解即可．
解：第一个和第四个图形均为轴对称图形．
故选B．
4.答案：D
解析：解：∵ 2 ⋅ 4 = 6，
∴选项A 不正确；

∵
) = 6，
3 2
∴选项 B 不正确；
∵ = 0时，
≠ 1，
0
∴选项 C 不正确；
∵
) =
2 3
6，
∴选项 D 正确．
故选：D．
A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
B：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
C：
=
≠ 0)，据此判断即可．
0
D：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
此题主要考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、零指数幂，熟练掌握运算性质和法则是解
题的关键．
5.答案：B
1 × (5 − 2) × 180° = 108°，
5
解析：解：在正五边形 ABCDE 中，
=
又知△
是等腰三角形，且
=
，
∴
= 1 (180° − 108°) = 36°．
2
故选：B．
在等腰三角形△
中，求出 的度数即可解决问题．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题是基础题，
比较简单．
6.答案：B
解析：
【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集以及三角形三边关系，求出第三边的范围是解本题
的关键.根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，表示在数轴上即可．

【解答】解：设第三边长为 x，
则4 − 3 < < 4 + 3，即1 < < 7．
故选 B．
7.答案：B
解析：解：∵
= 90°，
= 34°，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
= 56°，
是 AC 的垂直平分线，
=
，
=
= 56°，
= 90° − 56° = 34°，
= 180° − 34° − 34° = 112°，
故选：B．
根据题意可知 DE 是 AC 的垂直平分线，由此即可一一判断．
本题考查作图−基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知
识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
8.答案：B
解析：
本题考查点关于 x 轴对称的点的特点，能根据相关知识解决问题.分析题意，先得出点 P 关于 x 轴对
称点的坐标，再根据第一象限横坐标、纵坐标大于0，就可得出答案．
解：∵点
+ 1,
∴ + 1 > 0，
+
− 3)关于 x 轴的对称点在第一象限，
+ 3)在第一象限，
+ 3 > 0，
∴
∴ > −1， < ，
3
2
∴ −1 < < 3
，
2
故选 B．

9.答案：6；△
，△
，△
解析：
此题考查认识三角形，根据三角形定义，顶点不同，三角形就不同，数出三角形．
解：图中共有 6 个三角形，分别为：△ ，△ ，△ ，△ ，△ ，△
，△
；
以 AD 为边的三角形有：△
，△
，△
．
故答案为：6；△
，△
．
3
10.答案：
2
解析：
本题考查同底数幂的除法.根据同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减，即可求出答案．
解：由题意知，
=
= 2，
=
÷
= 3 ÷ 2 = 3
所以，
．
2
3
故答案是 ．
2
11.答案：②
解析：
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
观察图 1 与图 2，根据两图形阴影部分面积相等，即可验证平方差公式．
解：根据图形得：
图 1 中阴影部分面积= 2
图 2 中阴影部分面积=
2，
+
，
∴
=
2
+
，
2
∴上述操作能验证的等式是②，
故答案为：②．
12.答案：
4)2
解析：解：
2
+
=
+ 16)
2

=
− 4) ．
2
故答案为：
− 4)2．
先提取公因式 ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
m
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用
其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.答案：6
解析：
此题考查了整式的混合运算−化简求值，涉及的知识有：平方差公式，单项式乘多项式，去括号法
则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.原式第一项利用单项式乘多项式法
则计算，第二项利用完全平方差公式化简，后面用平方差公式，去括号合并得到最简结果，将已知
等式代入计算即可求出值．
解：∵
+
− 1 = 0，
∴
+
= 1，
原式=
+
+ 1 − + 4
=
+
+ 5
= 1 + 5
= 6．
故答案为 6．
14.答案：18°
解析：解：∵
=
，
= 36°，
∴
∵
=
= 72°．
⊥
于点 ，
D

∴
= 90° − 72° = 18°．
故答案为：18°．
根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得
的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角
和定理进行答题，此题难度一般．
15.答案：45
解析：
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．
由
垂直平分 AB，根据线段垂直平分线的性质，可得
=
，又由
⊥
，可求得
=
=
DE
45°，然后由
=
，
=
，求得答案．
解：∵
垂直平分 AB，
∴
∴
∵
∴
=
，
=
⊥
=
，
，
= 45°，
∵
=
∴
∴
∵
∴
∴
=
= 67.5°，
=
−
= 22.5°，
= 45°．
=
，
=
=
= 22.5°，
+
故答案为：45．
16.答案：1
解析：解：∵
= 90°，
= 30°，
∴
= 1
= 2，
2
∵
∴
= 90°，
+
= 90°，

∵
∴
∴
⊥
，
+
= 90°，
= 30°，
=
∴
= 1
= 1，
2
故答案为：1．
1
2
= 2，根据同角的余角相等得到
根据含 30 度角的直角三角形的性质得到
据 30 度角的直角三角形的性质计算即可．
=
= 30°，根
本题考查的是含 30 度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半是解题的关键．
1
17.答案：解：原式=
2
1
18
2
1
=
1 18
2
∵
= 19，
2
∴原式=
2
1
191
18
3
=
18
=
1
．
6
解析：先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算，再把 2 = 19代入，化简后即可得到答案．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则及运算步骤．
18.答案：解：
+ 3) (2
+
=
+
3 (4
2)
2
=
+
3 4 +
2
2
=
+
7．
2

解析：本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式的应用是解题关键.先计算多项式与多项式的乘法，
可利用平方差公式计算，再去括号，合并同类项即可．
19.答案：解：(1)
1 =
7
，
去分母得：
去括号得：
移项得：
3) = 7，
6 = 7，
= 7 − 6，
合并同类项得： = 1，
1
把系数化为 1 得： = ，
6
1
检验：把 = 代入
3) ≠ 0，
6
∴分式方程的解为 = ；
1
6
(2)
=
− 1，
去分母得：
去括号得：
移项得：
− 4) =
− 12 =
10 −
10 −
− 2)，
6，
−
= 10 6 12，
= 28，
合并同类项得：
系数化为 1 得： = 2，
检验：把 = 2代入
∴分式方程无解．
− 2) = 0，
解析：(1)首先方程两边同乘以
3)去分母，然后再解一元一次方程可得 的值，再检验即可；
x
(2)首先方程两边同乘以 − 2)去分母，然后再解一元一次方程可得 的值，再检验即可．
x
此题主要考查了解分式方程，关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③
检验；④得出结论．
20.答案：证明：∵
=
，
∴
∵
∴
=
，
，
=
，

在△
和△
中，
=
=
{
=
，
∴△
∴
，
=
．
解析：先证出
=
，
=
，再证明△
，得出对应角相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角
形全等是解决问题的关键．
21.
答案：解：(1)所建立的平面直角坐标系如下所示：
(2)点 和点 的坐标分别为：
；
B
C
(3)所作△
如下图所示．
解析：本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先
确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
(1)根据点 的坐标为(0,3)，即可建立正确的平面直角坐标系；
A
(2)观察建立的直角坐标系即可得出答案；

(3)分别作点 ， ， 关于 轴的对称点 ， ， ，连接
A B C
，
，
则△
即为所求．
x
22.答案：证明：∵
=
= 90°，
∴
+
= 180°，
= 180°，
而
+
∴
=
，
在△
{
和△
中，
=
=
=
，
∴△
．
解析：先根据四边形的内角和定理得到
+
= 180°，而
+
= 180°，则
=
，
然后根据“SAS”可得到△
．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的
已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一
组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应
邻边．
23.答案：
=
，
=
；
=
证明：∵
=
，
∴
∵
∴
∴
=
，
，
=
=
=
，
，
=
在△
和△
中，{
=
=
∴△
，
∴
=
．
解析：此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△
故答案为 。由已知题设
。
=
，
=
，
=
=
，
=
，则 得
=
，

=
，所以得：
=
，即得△
，从而证得
=
。
24.
答案：解：(1)设 种设备每台的成本是 万元， 种设备每台的成本是
万元，
A
x
B
根据题意得：16 + 36 = 10，
解得： = 4，
经检验 = 4是分式方程的解，
∴
= 6．
答： 种设备每台的成本是 4 万元， 种设备每台的成本是 6 万元；
A
B
(2)设 种设备每台的利润是 万元， 种设备每台的利润是 + 4)万元，
A
m
B
根据题意得：80 = 60 × 2，
解得： = 8，
经检验 = 8是分式方程的解，
∴ 种设备每台的利润是8 + 4 = 12(万元)，
种设备每台的售价：8 + 4 = 12(万元)，
A
种设备每台的售价：12 + 6 = 18(万元)，
B
答： 种设备每台的售价是 12 万元， 种设备每台的售价是 18 万元．
A
B
解析：本题主要考查的是分式方程的应用的有关知识．
(1)设 种设备每台的成本是 万元， 种设备每台的成本是
万元，根据题意列出分式方程，求
A
x
B
解即可；

(2)设 种设备每台的利润是 万元， 种设备每台的利润是 + 4)万元，根据题意列出分式方程，
A
m
B
求解即可．
25.答案：解：
=
，
，
证明如下：
∵
=
−
=
，
=
∴
−
，
即
在△
．
和△
中，
=
=
{
=
∴△
∴
．
=
，
=
，
∴
．
解析：本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键．
由已知条件
=
可得出
=
，再利用
定理证明△
即可得出结论．
SAS
26.答案：(1)证明：如图 1 中，
∵△
∴
是等边三角形，
= 60°，
=
=
−
=
=
=
=
，
∵
，
=
∴
−
，
即
，

在△
{
与△
中，
=
=
=
，
∴△
；
(2)证明：如图 2 中，
由(1)得△
，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ ∠1 + ∠3 = 60°，
∴ ∠2 + ∠3 = 60°，
∴ ∠4 = ∠2 + ∠3 = 60°，
又∵
⊥
，
∴
= 90°即△
是直角三角形，
∵ ∠5 = 90° − ∠4 = 30°，
∴
= 1
．
；
2
即
=
(3)解：连接
、 ，过 点作
AH BH H
⊥
于 ，
M
⊥
于 ．
N
∵
=
，
∠1 = ∠2，
由(2)得，∠4 = 30°，
∠3 = ∠1 + ∠2 = 60°，

∴ ∠1 = ∠2 = 30°，
= 120°，
∴ ∠1 = ∠4，
∴
∴
∵
∴
∵
=
，
= 60°，
+
= 360° −
+
= 180°，
+
= 180°，
=
，
∴
=
= 90°，
∴△
∴
，
=
，
∴ ∠5 = ∠6，
∵
=
，
=
，
，
∴△
∴
=
=
且
= 90°．
∴
= 45°．
解析：本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30 度角的性质等
知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题．
(1)根据
证明△
即可；
SAS
(2)利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题；
(3)连接
、 ，过 点作
AH BH H
⊥
于 ，
M
⊥
于 利用全等三角形的性质证明△
是等腰
直角三角形即可解决问题．
27.
答案：解：(1)在 △
中，∵
= 12，
= 16，
，
∴
=
+
= √12 + 16 = 20
2
2
2
2
在 △
中，∵
= 6，
= 8，
，
∴
∴
= √6 + 8 = 10
2
2
=
+
= 16 + 10 = 26，
当 与 相遇时， = 26， =
，
M
E

∵
=
= 3
，
4
∴
∴
=
，
，
∴当点 落在线段
D
上时，点 与点 重合，此时 =
．
AB
E
B
(2)①当
=
=
时，
，
∵
= 3
，
4
∴
∴
=
，
∴
：
=
： ，
DE
∴ ：10 =
：8，
∴
= 4 ，
5
∴ = 20 − 4 ，
5
∴ = 100
．
9
1
1
4
5
②当
=
时，由
4，可得： (20−
5
4，
=
=
=
2
2
5
∴ = 25．
3
1
1
③当
=
时，由
4，可得
= ，
4
2
2
4
5
5
5
20−
∴ = 400 > 13(不符合题意)，
17
100 25
综上所述，满足条件的 的值为 或
t
9
3
(3)①如图
3 中，当0 < ≤ 8时，重叠部分是△
， = 1 ⋅ 4 ⋅ 3 = 6
2．
2
5
5
25

4 中，当8 < ≤ 49
−
= 24 − 1
−
②如图
时，重叠部分是四边形 EMGD ， =
5
2
16) × 4
− 16) = − 8 + 128 − 440
2 ．
3
3
3
3
5 中，当49 < ≤ 13时，重叠部分是△
， = 1 ⋅ [10 −
− 16)] ⋅ 3 ⋅ [10 −
− 16)] =
③如图
5
2
4
3
2
−
+ 507
2
，
2
6
(0 < ≤ 8)
2
25
− 8
+ 128 − 440 (8 < ≤ 49)
综上所述， =
2
．
3
3
3
5
3
{2
−
+ 507
(49 < ≤ 13)
5
2
2

98 , 24)，平移后的坐标为(98 − 24)，求出直线 AB 的解析式，利用待定系数法即
解析：(1)由题意
5
5
5
5
可解决问题．
(2)分三种情形分别构建方程即可解决问题．
(3)分三种情形：①如图 4 中，当8 < ≤ 时，重叠部分是四边形
49
②如图 4 中，当8 < ≤
49
5
5
③如图 5 中，当49 < ≤ 13时，重叠部分是△
时，重叠部分是四边形
．
5
本题属于三角形综合题，考查了平移变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关
键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

4 中，当8 < ≤ 49
−
= 24 − 1
−
②如图
时，重叠部分是四边形 EMGD ， =
5
2
16) × 4
− 16) = − 8 + 128 − 440
2 ．
3
3
3
3
5 中，当49 < ≤ 13时，重叠部分是△
， = 1 ⋅ [10 −
− 16)] ⋅ 3 ⋅ [10 −
− 16)] =
③如图
5
2
4
3
2
−
+ 507
2
，
2
6
(0 < ≤ 8)
2
25
− 8
+ 128 − 440 (8 < ≤ 49)
综上所述， =
2
．
3
3
3
5
3
{2
−
+ 507
(49 < ≤ 13)
5
2
2

98 , 24)，平移后的坐标为(98 − 24)，求出直线 AB 的解析式，利用待定系数法即
解析：(1)由题意
5
5
5
5
可解决问题．
(2)分三种情形分别构建方程即可解决问题．
(3)分三种情形：①如图 4 中，当8 < ≤ 时，重叠部分是四边形
49
②如图 4 中，当8 < ≤
49
5
5
③如图 5 中，当49 < ≤ 13时，重叠部分是△
时，重叠部分是四边形
．
5
本题属于三角形综合题，考查了平移变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关
键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．