基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建.pdf

工程地球物理学旅Vol.20,No.3第2 0 卷第3期2023年5月中文引用格式：许月娇，徐婉婷，陈兴荣.基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建J.工程地球物理学报，2 0 2 3，2 0（3）：40 2-410.英文引用格式:Xu Yuejiao,Xu Wanting,Chen Xingrong.5D seismic data reconstruction based on fully connected tensor network decom-CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING GEOPHYSICSpositionJJ.Chinese Journal of Engineering Geophysics,2023,20(3):402-410.May,2023基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建许月娇，徐婉婷，陈兴荣（中国地质大学数学与物理学院，湖北武汉430 0 7 4）摘要：三维地震数据采集方位已达到了五维（5Dimension，5D）。相比于常规的三维（3一Dimension，3D)重建，5D重建能够充分利用高维数据中不同方位角、偏移距等的相关特性以及更多的空间信息特点，更准确地预测缺失道。基于阻尼降秩（Damped RankReduction，D RR）等的矩阵降秩方法对由5D数据频率切片构成的块Hankel矩阵进行多次奇异值分解（SingularValueDecomposition，SV D），计算效率较低。基于高阶正交选代（HighOrderOrthogonalIteration，H O O I)等的张量降秩方法对频率切片4D张量进行降秩重建，但是在强噪声和高缺失情况下重建精度不高。本文采用全连接张量网络（FullyConnectedTensorNetwork，FCTN)分解方法对5D数据重建，将频率切片4D张量分解成低维度张量收缩的形式。该方法无需SVD运算，而且更精确的张量分解形式可以得到更高精度的重建结果。仿真和真实地震数据实验结果表明：相比于HOOI方法，重建数据的信噪比提高了约8 9dB；相比于DRR方法，重建数据的信噪比提高了约6 7 dB。关键词：低秩重建；5D地震数据；张量分解中图分类号：P631.4doi:10.3969/j.issn.1672-7940.2023.03.014文献标识码：A文章编号：16 7 2 7 940(2 0 2 3)0 30 40 2 0 95D Seismic Data Reconstruction Based on Fully ConnectedTensor Network DecompositionXu Yuejiao,Xu Wanting,Chen Xingrong(School of Mathematics and Physics,China University of Geosciences,Wuhan Hubei 430074,China)Abstract:The acquisition position of three-dimensional seismic data has reached 5-dimen-sion(5D).Compared with conventional 3-dimension(3D)reconstruction,5D reconstruc-tion can make full use of the relevant characteristics of different azimuth angles and offsets inhigh-dimensional data as well as more spatial information characteristics to predict themissing track more accurately.The matrix rank reduction method based on damped rank re-收稿日期：2 0 2 2-0 3-2 2基金项目：国家自然科学基金项目（编号：42 2 7 417 2）第一作者：许月娇（1998 一），女，硕士研究生，主要从事地震数据重建方法的研究工作。E-mail：y u e j i a o x u c u g.e d u.c n通讯作者：陈兴荣（197 8 一），女，副教授，主要从事计量经济的研究工作。E-mail：x r c h e n c u g.e d u.c n第3期duction(DRR)was used to perform multiple singular value decomposition(SVD)on a blockHankel matrix composed of 5D data frequency slices,resulting in low computational efficien-cy.The tensor rank reduction method based on high-order orthogonal iteration was used forrank reduction reconstruction of frequency slices 4D tensor,but the reconstruction accuracywas not high under the conditions of strong noise and high miss.In this paper,we adoptedthe fully connected tensor network(FCTN)decomposition method to reconstruct the 5D da-ta,which decomposed the frequency slice 4D tensor into the contracted form of low-dimen-sional tensor.The proposed method does not require SVD operation,and a more accuratetensor decomposition form can obtain higher precision reconstruction results.The results ofsynthetic and real seismic data experiment show that the signal to noise ratio of reconstructeddata is improved by about 8 9 dB compared with HOOI method,and the signal to noise ra-tio of reconstructed data is improved by about 6 7 dB compared with the DRR method.Key words:low-rank reconstruction;5D seismic data;tensor decomposition1 引 言受复杂的地质条件和经济成本等限制，采集的地震数据在空间上往往是稀疏的或不规则分布。数据的稀疏或不规则分布会严重影响后续资料处理和解释：一些室内处理（如多次波衰减和叠前偏移成像)要求数据是规则分布且密集的；空间不规则采样会导致在处理过程中出现空间假频或偏移画弧等现象。因此，对地震数据进行高精度重建具有重要的现实意义。5D重建能够充分利用高维数据中更多的空间信息特点，更准确地预测缺失道，目前已经成为老资料重新处理、两宽一高三维地震数据处理、复杂三维连片处理中提高成像精度处理流程中的必备手段。基于降秩理论的5D地震数据重建方法受到研究者们的关注，取得了不错的效果。该方法的原理为：完整的地震数据经过合适的预变换后是低秩的，然而数据的缺失或噪声的存在会增加秩。因此，地震数据重建问题可以建模为矩阵或张量降秩的问题。目前，基于降秩理论的5D地震数据重建方法分为两类：第一类是基于矩阵降秩的方法1-6 ，对频率切片4D张量进行预变换后得到四级Hankel/To-eplitz矩阵，再采用低秩矩阵补全（LowRankMatrix Completion，LRM C)方法进行降秩重建。Gao等7 利用Lanczos 双对角化算法对频率切片许月娇，等：基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建403构建的块Toeplitz矩阵进行降秩。多通道奇异谱分析(Multichannel Singular Spectrum Analysis,MSSA)方法8 1将5D数据的频率切片张量构造成块Hankel矩阵，然后利用截断奇异值分解(Truncated Singular Value Decomposition,TS-VD）降秩重建。Chen等9 提出阻尼降秩(Damped Rank Reduction，D RR)方法，将阻尼算子引人TSVD中，可以更有效地压制随机噪声。第二类是基于张量降秩的方法10-15，直接对频率切片4D张量采用低秩张量补全（LowRankTensor Completion，LRT C)方法进行降秩重建，无需对频率切片进行预变换。与矩阵不同，张量秩的定义取决于它的分解形式。常用的张量分解有 CP(CANDECOMP/PARAFAC)分解、Tucker分解和张量奇异值分解（TensorSingularValueDecomposition，t 一SVD)。T r i c k e t t 等16 1 将 CP分解用于5D地震数据，将频率切片4D张量分解成秩一张量和的形式，实现5D缺失地震数据的重建。Kreimer等17 将高阶正交迭代（HighOr-derOrthogonal Iteration，H O O I)用于 5D地震数据重建，将频率切片4D张量分解为4D张量和四个酉矩阵的模乘积的形式。Ely等18 将t一SVD用于叠前不规则地震数据重建。Kreimer等19 从核范数最小化的角度出发，实现5D地震数据重建。为了提高重建效率，Gao等2 0 提出平行矩阵分解方法，该方法通过对张量模展开矩阵做矩阵分解，重建地震数据，避免奇异值分解(Singular Value Decomposition，SV D)运算，提高了计算效率。Obou等2 1提出混合秩约束404(Mixed Rank一Constrained，M RC)算法，将矩阵补全模型和张量补全模型结合，重建缺失数据。为了进一步提高地震数据5D重建的精度和效率，本文采用全连接张量网络（FullyConnectedTensor Network，FCT N)分解方法2 2 对频率切片4D张量进行降秩重建。FCTN分解将四阶张量分解成一些低维的四阶张量进行张量收缩的形式，能在任意两个子张量之间建立联系，比CP分解和Tucker分解更好地刻画了子张量之间的内在联系。对于缺失的5D地震数据，在迭代加权凸集投影算法2 3（Projection Onto Convex Set，POCS)的框架下对频率切片4D张量做FCTN分解，重建缺失数据。仿真和真实地震数据的实验结果表明：相比于HOOI和DRR方法，Zheng等2 2 提出的FCTN分解算法重建信噪比更高，重建时间更少。2方法2.1符号和定义张量是一种多维的数据存储形式，可以看成是标量、向量和矩阵在多维空间中的推广，通常用花体字母表示张量。张量ERx1v的第（i，,in）个元素由i表示。对于任意张量VERiI的内积定义如下：=TUnflod.(T)T(:,1)T(:;,2)1TJ1TJ1TJ工程地球物理学报（Chinese Journal of Engineering Geophysics）KUnflod.()KUnflod,()KFig.1Unfolding of a third-order tensor第2 0 卷数定义为=x,x。对于张量 TE RXIXK，它的模一1、模一2 和模一 3 纤维分别为 T(:,j,k),Ti,k)，T(i，j，：），它的水平切片、侧面切片和正面切片分别为 T(:，:,k),T(:,j，：),T(i,:,:）。将张量T沿着模一n展开为矩阵，该过程称为张量矩阵化，记为Tcn）=U n f o l d,（T）。它的逆过程称为折叠，记为T=Fold，（T）。张量T的模展开过程和折叠过程如图1所示。张量T的广义张量展开矩阵记为：T rn.a+1i=GenUnfold(T,nl.d ina+1.,）,它的逆操作折叠记为：T=GenFold(TErnla.，。如果张量E和张量WERxM满足I=J.，其中i=1,2,d，那么的第n1:d个模和的第m1:d个模进行张量收缩可以得到维度大小为（N十M2 d）的Xay,其中,m是向量（1,2,M）的一个重新排列，记为（ml,m,mm），n 是向量（1，2,N)的一个重新排列,记为（n1,n2，,n）。四阶张量E Ri1IXI4的FCTN分解定义为：把分解成4个低维四阶张量GEFlod,(T.)T(:;,K)JXKTT(1,:)T(2,;)IXKTT(:,1,:)T(:,2,;)xJ图1三阶张量模展开示意图TJFlod.(T.)T(I,:)T:J,:)K1TKJFlod.(T.)TJ1K第3期R1.R21xRa.4,G4 ER1.R2.aRg.14张量收缩的形式，如图2 所示。向量（R1.2,R1.3,R1.4,R2.3，R2.4,R34）为FCTN分解的秩。Ri.3Ri.2R2.4R2.312图2 四阶张量X的FCTN分解示意图Fig.2The FCTN decomposition for a fourthorder tensor XFCTN分解的元素形式如下表达式：R1.2R1.3R1.4R2.3R2.4X(i,i2,ia,i4)=.2.2.2.2.2r1.2=1 r1.3=1 r1.4=1 2.3=1 r2.4=1 r3.4=(Gi(ii,ri,2,r1.3,r1,4).G2(r1.2,i2,r2,3,r2.4).G(r1.3,r2.3,is,r3.4).Gi(ri,4,r2.4,r3,4,i4)为了便于书写，把FCTN分解记为=FCTN(G)=1)=FCTN(GI,G2,Gs,G)。2.2土地震数据重建模型考虑时间域的五维地震数据；Q(t,c,y,ha,h,），其中，y,h.和h,分别表示共中心点横纵坐标、共偏移距横纵坐标。五维地震数据重建模型表示为：Q=P.(Q)+N(2)其中，Q表示观测的带缺失道数据；Q（t,a,y,h r,h,）为完整地震数据；N(t,y,hr，h，）表示随机噪声；是观测数据的指标集，P。表示采样算子，使得观测地震数据未缺失位置的元素与原始数据对应位置元素保持一致，而观测缺失数据缺失位置的元素为零。2.3基于全连接张量分解的地震数据重建数据的缺失或噪声的存在导致观测数据Q不再具有低秩性，基于FCTN分解可以对其进行重建，得到重建数据Q。沿时间方向对Q做一维傅里叶变换得到频率空间域数据Q。，对于给定频率切片M，重建模型可以转化为求解下式的最小值：许月娇，等：基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建(s(M.)=Ri.4l8其他S=(M.:Pa(M.-M.)=0)式(3)式(5)中，M。表示重建的频率切片。R3.4式(3)可以通过近端交替最小化算法2 4)（ProximalAlternating Minimization,PAM)求解:Ds)=GenFold(C Al(B)na a+1ol),k;1,k,+1,4M.c_ CTN(D,D,D,D)+pM.-l)(7)R3.4其中,n=1,2,3,N;A=M(-1);B=FCTN(D21,De,D$TI，/D）；为正则化参数。基于POCS框架，式(7)进行进一步更新：Ms(n)a,Pa(M.)+(1-an)Pas(Ms()+Pa(M)(8)其中,n=1,2,3,N；N表示迭代次数；an(1)是线性迭代算子，an=（N一n)/（N-1），n=1,2，,N；2 是的互补集。在频率域完成重建后，对重建好的频率切片进行傅里叶逆变换得到重建的五维地震数据Q。综上所述，基于FCTN分解的5D地震数据重建工作流程如图3所示。输人：观测地震数据Q，指标集Q，=0.0 0 11：对Q按时间方向做一维Fourier变换得到Q2:for Mo=Qa,:Qu,do初始化：n=1,送代次数N，秩r,an，M。（0）=M a，D(0)=rand(r),k=1,2,3,4。While not converged and n N do使用式(6)更新D)使用式(7）和式(8)更新M（)检查收敛条件：令n=n+1end whilereturnMaend forreturnQ.3：对Q。做一维Fourier逆变换，得到Q输出：Q图3算法1:FCTN分解方法用于5D地震数据重建Fig.3Algorithm 1:workflow of 5D seismic datareconstruction based on FCTN decomposition405minIM。-FCT N(D i,D,D,D)l,+Ls(M.)(3)其中，foM.Es1+（4)(5)(6)406工程地球物理学报（Chinese Journal of Engineering Geophysics）第2 0 卷255075100369123/道x/道2550759121006369123x/道J/道25759126100369123x/道1269J/道(a)完整数据(b)带噪数据(c)观测数据255075100369123x/道/道257512100962575121003669123x/道/道123669123x/道/道(d)HOOI重建结果(e)DRR重建结果(f)FCTN分解重建结果25252575100369123x/道J/道751210096751210093669123x/道/道1236969123x/道/道(g)HOOI重建残差Fig.4 COP diagram of synthetic data reconstruction results(h,=3,hy=3)3实验通过5D仿真和真实数据实验来验证本文提出方法的有效性，并与传统的DRR方法和HOOI方法对比。为了定量比较三种不同方法的重建性能，使用信噪比(Signal一toNoise Ratio，SNR)作为评价指标：SNR=10log10其中，和recover分别表示原始完整地震数(h)DRR重建残差图4仿真数据重建结果COP图（h，=3，h，=3)据和重建地震数据。SNR值越高，表明重建的性能越好。3.1仿真数据实验在仿真数据实验中，仿真线性同相轴数据大小为10 0 12 12 12 12。图4和图5分别从共偏移距道集（Common Offset Point，CO P）和共中点道集（Common Middle Point，CM P)的角度展示五维地震数据的重建结果。完整数据如图4(a)和图5(a)所示。通过对完整数据添加方差(7)为0.2 的随机噪声，得到如图4(b)和图5(b)所示X-KecoverllF的噪声数据；再对噪声数据进行90%随机缺失，得到如图4(c)和图5(c)所示的观测数据。噪声(i)FCTN分解重建残差第3期数据的信噪比为一1.8 6 dB，观测数据的信噪比为一0.2 3dB。H O O I 算法中秩选择为k=（3,3,3，3）,重建SNR为5.7 0 dB。图4(d)和图5（d)展示了基于HOOI算法重建的结果，虽然大部分信号得到了重建，但线性同相轴的信息并没有恢复得很好，而且引人了部分噪声。DRR方法中秩K=3,阻尼因子d=3,重建 SNR为7.37 dB。图4(e)和图5(e)展示了基于DRR方法重建的结果，虽然噪声被压制，但是重建的信号较弱。对于提出的FCTN分解方法，设置r=（1,1,2，1,2，2),重建SNR为14.42 dB。图4(f)和图5（f)展许月娇，等：基于全连接张量网络分解的五维地震数据重建407示了基于FCTN分解方法重建的结果。从信噪比来看：本文方法的重建精度优于HOOI方法和DRR方法。从重建结果图来看：本文方法的重建性能更好，恢复的信号具有更多的信号能量。为了更清楚地观察到不同方法的重建差异，图4(g)和图5（g)展示了HOOI方法的重建残差，部分有效信号没有被重建且引人了噪声。图4(h)和图5（h)展示了DRR方法的重建残差，相比HOOI方法，信号泄漏得少一些，但仍然存在部分有效信号泄露。图4（i）和图5（i)展示了FCTN分解方法的重建残差，几乎没有信号泄255075100369123h/道h./道(a)完整数据255075121009625751210093669123h,/h/道(b)带噪数据1236/道6h./道(c)观测数据9123道2550751003691233hh./道(d)HOOI重建结果2550751210096道255075121009336道69123hh./道(e)DRR重建结果129669123hh./道(f)FCTN分解重建结果道25252575100369123h/h./道(g)HOOI重建残差Fig.5 CMP diagram of synthetic data reconstruction results(=3,y=3)75F1210069道图5仿真数据重建结果CMP图（=3，y=3）75F1210036969123hyh./道(h)DRR重建残差12369道69123hh./道(i)FCTN分解重建残差道408露。很明显，所提方法比HOOI方法和DRR方法增强了更多的信号能量，证实了FCTN分解方法的优越性。此外，FCTN分解方法是不需要经过SVD的，这导致FCTN分解方法在时间方面比较有优势。HOOI方法、DRR方法和FCTN分解方法的加权POCS迭代次数分别为15，15，80。三种方法所消耗的时间分别为52.18 s、1473.46s和7.19s。因此在，保证重建精度较高的同时，提出的FCTN分解方法所消耗的时间在这三种方法中也是最短的。工程地球物理学报（Chinese Journal of Engineering Geophysics）第2 0 卷3.2真实数据实验真实数据的大小为2 50 10 10 2 110，图6(a)和图7(a)分别从共偏移距道集和共中点道集的角度展示真实地震数据。HOOI算法中秩选择为k=（3，3，3，3)，重建结果如图6（b）和图7(b)所示。DRR方法中秩K=6,阻尼因子d=2,重建结果如图6(c)和图7(c)所示。对于提出的FCTN分解方法，设置秩r=（2,1,2,1,2,2），重建结果如图 6(d)和图7(d)所示。HOOI、D RR和所提方法的加权POCS送代次数分别设置为0.20.40.60.81.00.20.40.60.81.0Fig.6 COP diagram of real data reconstruction results(h,=4,h,=4)0.20.40.60.81.0510道(a)观测数据510道(c)DRR重建结果图6 真实数据重建结果COP图（h=4，h，=4)151520205(b)HOOI重建结果0.2S/0.40.60.81.010道510道(d)FCTN分解重建结果151520200.20.40.60.81.00.2S/回0.40.60.81.0Fig.7 CMP diagram of real data reconstruction results(=4,y=4)0.2S/画0.40.60.812 345678910道(a)观测数据2345678910道(c)DRR重建结果图7 真实数据重建结果的CMP图（=4，y=4)1.00.2S/回0.40.60.81.023456 78910道(b)HOOI重建结果12345678910道(d)FCTN分解重建结果第3期15，15,8 0。三种方法重建所消耗的时间分别为143.74s、3553.9 5s 和18.41s。从重建结果图可以看出：与HOOI和DRR方法相比，本文方法能重建出更强的信号，有更好的重建性能。4 结 论经典的矩阵降秩DRR方法和张量降秩HOOI方法常用于五维地震数据重建,DRR方法在重建过程中需要进行多次SVD来实现地震数据重建，计算效率低；HOOI方法通过高阶奇异值分解重建地震数据，重建效果一般。为了进一步提高重建精度和重建效率，本文提出将FCTN分解用于5D地震数据重建,将频率切片4D张量分解为一些低维度4D张量。相比于DRR方法，FCTN分解方法不需要SVD,降低了计算复杂度，能够在时间方面保持优势；相比于HOOI方法，FCTN分解是一种更精确的张量分解形式，可以得到更高精度的重建结果。5D仿真和真实地震数据重建实验均验证了所提方法的有效性。参考文献：1 Niu X,Fu L,Zhang W,et al.Seismic data interpola-tion based on simultaneously sparse and low-rankmatrix recoveryLJJ.IEEE Transactions on Geoscienceand Remote Sensing,2021,60:1-13.2 Zhang W,Fu L,Zhang M,et al.2-D seismic data re-construction via truncated nuclear norm regulariza-tionJJ.IEEE Transactions on Geoscience and Re-mote Sensing,2020,58(9):6 336-6 343.3 Siahsar M A N,Gholtashi S,Torshizi E O,et al.Sim-ultaneous denoising and interpolation of 3-D seismicdata via damped data-driven optimal singular valueshrinkageLJ.IEEE Geoscience and Remote SensingLetters,2017,14(7):1 086-1 090.4 Zhang D,Zhou Y,Chen H,et al.Hybrid rank-sparsityconstraint model for simultaneous reconstruction anddenoising of 3D 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