线性控制系统教案3-极零点与稳定性2.doc

第三章 多变量系统的极点、零点和稳定性
Poles, Zeros and Stability of Multivariable Feedback Systems
本章内容：
· 传递函数的Smith-McMillan标准形
· 传递函数的极点和零点
· 传递函数的矩阵分式描述(MFD)
· 系统的内稳定
· 奈奎斯特稳定判据
3.1 Introduction
多变量系统的传递函数矩阵transfer-function matrix

是有理真分式(rational proper fraction)，对多变量系统的研究很多时候采用状态空间模型。
最基本的两个系统的连接(connection)：串联(series)、并联(parallel)和反馈 (feedback) 连接。
一个反馈系统如图2.1(c) 【P85】，有关系式

则
(注意乘积的顺序)
回差(return difference)：

回比(return ratios)：

3.2 传递函数的Smith-McMillan形式
对极点、零点的一般化研究，需要Smith-McMillan标准形式.
单模阵(幺模阵, unimodular)： 与都是多项式矩阵.
或 常数(与s无关)
初等矩阵(elementary matrix)：单位矩阵经过一次初等变换(elementary operations)后的矩阵。
初等变换：交换两行或列；
用常数乘以某行或列；
某行或列乘一多项式加到另一行上。
两个矩阵等价， 与等价，记为：

定理3.1：任意多项式矩阵等价于一个伪对角多项式，形式为Smith标准型 Smith form (pseudo-diagonal polynomial matrix)：

是首一(monic)多项式，是的不变因子，且满足：
(整除特性divisibility property)
是的不变因子(invariant factors)。
行列式因子
. determinantal divisors
例1：化下面多项式矩阵为Smith标准形式 (怎样化标准形？)

定理3.2 (Smith-McMillan form) : 如果是有理函数矩阵rational matrix，具有一般秩，则可以通过系列初等变换化为Smith-McMillan 标准形：

解释一般秩：Normal rank
例2

3.3 传递函数的极点和零点
Poles and Zeros of a transfer function matrix
定义

极点多项式：
零点多项式：
与的根(roots)称为传递函数的极点和零点
传递函数的极点和零点的含义：
极点：的分母中有因子(以该点为根)
零点：的分子中不一定有因子，但该点使的秩下降，
但重数不能这样简单确定。
极点多项式的次数称为传递函数的McMillan次(degree)
零点：通常称为传递(输)零点(transmission zeros)
上面例2中，零点2, 极点-1, -1, -2, 都是简单的(simple)。
推论：如果是方的，则。

3.4 矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)
设是严格真(strictly proper)有理传递函数，和是单模阵，可化为Smith-McMillan标准型：

上式被称为的右矩阵分式描述(right matrix fraction description). (同理有左矩阵分式描述)
---分子矩阵(numerator matrix)
---分母矩阵(denominator matrix)
(1) z is a zero of if and only if loses rank
(2) p is a pole of if and only if loses rank
MFD表示不是唯一的

定义： 右互质(right coprime)
如果
只对单模阵 成立，则称与右互质
这时称 是不可约的(irreducible)
怎样判定与右互质？
存在多项式矩阵使得。
如果 是不可约的(irreducible)，则的极点多项式：.

3.5 状态空间实现State Space Realization
显然有
定理3.3：设有最小实现 ，是的首一极点多项式，则
例3：最小实现

3.6 多少零点？How Many Zeros?
有零点的非方形传递函数是特殊的，一般的非方形传递函数无零点
例4：怎样判定下面传递函数是否有零点？

SISO传递函数情况：

零点和极点：有m个有限(finite)零点，有n个有限极点
如果，在无穷远处(at infinity)有个零点
如果，在无穷远处(at infinity)有个极点
在的极点和零点，通过在的极、零点来定义.
传递函数是方阵情况：
定理3.4：如果是方阵，那么它的极点和零点一样多

设在0有个零点，个极点，则

总的极点数与总的零点数相等：

非方形传递函数上面结论不成立。
例5： 有两个极点，没有零点。
关于零点的进一步讨论 (further discussion)
设是方形，维数 ，最小实现：

若，则 在至少有个零点
这样至少有个零点在无穷远处
因此至多个有限零点
但当时，一般情况，的秩在无穷远处不下降，所以得有n个有限零点。
若，至多有个有限零点，至少m个零点在无穷远处
当时，恰有个有限零点
当时，至多有个有限零点
更精确计算有限零点的数目需要检查马可夫(Markov)参数：.更详细讨论Kailath(1980), MacFarlane (1976)--IJC

3.7 内部稳定性 Internal Stability
定义：
指数稳定(exponentially stable)： 正则且没有闭右半复平面(CRHP)极点.
内部稳定(internally stable)：图2.2【P103】所示反馈系统是内部稳定的，当且仅当传递函数
，
是指数稳定的。 (相对于外部稳定)
这是称是内部稳定的，或镇定。

求出 (注意正反馈条件下)

两点说明：
(1) 定义中排除了与不稳定的极零点相消；
(2) 检验四个传函都是指数稳定的。
内部稳定---指反馈系统，指数稳定---指传递函数。
定理3.5：如果指数稳定，则图2所示反馈系统内部稳定当且仅当指数稳定。
(存在指数稳定时，称是可强镇定的strong stabilizable)
证明：

定理3.6：如果指数稳定，则指数稳定当且仅当
(1) 在闭右半平面上没有零点(包括无穷远点including infinity)；
(2) 在的闭右半平面极点处解析(analytic)(包括无穷远极点)。 【更详细(细致)的结果】
例6：

因此，不能镇定.
负反馈：换为.
设计者应遵循的原则：不能引入右半平面的极零点对消.
3.8 一般Nyquist稳定判据
The Generalized Nyquist Stability Criterion
取反馈(负反馈)，并设在闭右半平面上有个极点和个零点，则由幅角原理(the principle of the argument)

注意：的极点就是的极点
闭环系统稳定性分析：
闭环系统稳定
如果是的特征值，则是的特征值

所以判定稳定性问题转化为计算的Nyquist图围绕原点的圈数问题，进一步得绕点的圈数问题(与经典判据一样了)。
的图被称为特征轨迹characteristic loci
例7：(取)
，

下面的问题：数圈――和一起形成一个封闭曲线(如图2.3【P108】) 是一个单位圆。
所以时系统稳定，时系统不稳定。

定理3.7 (Generalized Nyquist Theorem) 如果有个不稳定Smith-McMillan极点，则具有回比为的闭环系统稳定，当且仅当的特征轨迹一起逆时针包围点 圈，假设没有隐藏不稳定模(没有极零点对消)。
例8：

见书中图2.4【P109】（附下图：的Nyquist图）

分析：
, 再计算一个点(确定分支).
设，取
，则.
时, 取

当变化时系统的稳定性:
系统稳定
系统不稳定
系统稳定
系统不稳定
系统稳定
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总结 Summary
· 掌握多项式矩阵的Smith标准形及传递函数的
Smith-McMillan标准形(会求)；
· 掌握传递函数的极点和零点的概念；
· 掌握传递函数的左、右互质及矩阵分式描述；
· 熟练掌握系统的内稳定概念及相关运算；
· 了解一般奈奎斯特稳定判据；
· 尝试使用计算机绘制特征轨迹，并判别系统稳定性。
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作业：2.4, 2.5, 2.10
附加作业：设，求出并证明指数稳定的充要条件是指数稳定。