蓝燕正弦定理教学设计.doc

正弦定理教学设计
所用教材：数学 授课老师：蓝燕
目 次：第五章第四节
教 材
分 析
从内容上，本节内容既是初中解直角三角形的延拓，也是坐标和圆等相关知识的综合应用；从思想上，它包含了转化、分类讨论和数形结合的思想，这些思想将会贯穿整个高中阶段的学习；从应用上，本节知识与后面即将学习的--余弦定理都是解三角形的重要工具。
学 情
分 析
1.已学习过平面几何、解直角三角形、三角函数等知识。
2.具有一定观察、分析和归纳能力。
3.添加辅助线进行推理证明的能力不足，前后知识理解、联系还存在一定困难。
教 学
目 标
1.会用文字和符号语言描述正弦定理，会证明正弦定理并能简单应用。
2.经历观察--分析--猜想--证明的学习过程，体会分类讨论、数形结合、转化等思想方法，提高解决问题的能力。
3.感悟数学源于生活，体验探究的方法与乐趣，激发学生学习数学的兴趣。
教 学重难 点
教学重点：正弦定理的探索与证明、正弦定理的基本应用
教学难点：正弦定理的探索与证明
教 学
方 法
教法：①引导发现法：通过问题情境环节引导学生发现正弦定理：分别通过几何图形以及几何画板演示引导学生发现正弦定理的量中证明方法，在问题解决环节，引导学生归纳正弦定理的应用范围。②直观教学法：借助于图片和几何画板演示进行探索。③讲授法：教师讲解分析问题，解析定理。
学法：立足于问题和图像，引领学生观察分析、自主探索、合作交流。
教 学
手 段
多媒体：多媒体课件辅助教学，特别是几何画板探究演示。
教学过程
教 学
环 节
教师行为
学生行为
设计说明
环节一
创设情境
引入课题

教师呈现生活中的实际问题，激起学生的探知欲望，分析题目已知条件，进而引出课题。（板书课题）

问题组：
1.大家回忆一下，我们以前学过的边角关系是？
2.那么在一般三角形中，边和角究竟有怎样的边角关系呢？

听教师介绍情景问题，并根据教师的提问积极思考，在一般三角形中边和角的关系

基于数学源于生活，从实际问题入手，提出问题，激发学生学习兴趣
环节二
探究特殊
提出猜想
教师引导学生回忆直角三角形中的边角关系，发现一个特殊的等式，通过学生的回答，教师提出猜想。（教师板书猜想的等式）
问题组
1.你们发现三个式子有什么共同点吗？
2.这三个等式有怎样的联系？
3.那我们能不能大胆的猜想这个等式对任意三角形都成立吗？

跟随教师的提问，回忆在直角三角形中各内角的正弦值，得到猜想：

实现学生从已知到未知的有效经历，自然而然提出猜想，进而突破难点（1）
环节三
分类讨论
证明猜想
教师引导学生如何在锐角三角形中添加辅助线将未知问题转化成已知问题来证明，而钝角三角形的探索则留给学生，类比锐角三角形的方法完成。（锐角三角形进行板书推理，点评钝角三角形中的证明）

问题组
1.我们就想能不能转化成直角三角形？怎么转化？
2.我们能否得到这样的结论，在任意三角形中都有这个等式成立？

根据教师引导，在锐角三角形中，将一般三角形转化为特殊三角形论证，顺利完成钝角三角形的证明，进而得到结论：

从直角三角形入手，引导学生将锐角三角形转化为直角三角形，体会转化思想、分类讨论思想以及数形结合的思想，化解教学难点（2）
环节四
解析定理
深化理解
教师引导学生根据等式归纳出正弦定理的符号语言，并从定理的本质（一般性），定理的形式（对应）两方面理解。
问题组
1.你们能不能尝试用文字的语言描述正弦定理？

思考文字表述；观察结构特点；思考定理本质
让学生把握定理条件、结构、本质，加深理解，进一步培养三种语言的转化能力。
环节五
提出问题
动画探究
教师引导学生发现正弦定理最终比值等于常数2R，通过几何画板进行展示，引导学生思考利用外接圆证明这一发现。（出示几何画板演示动画）

问题组
1.、、比值相等，那么这个比值等于多少呢？它有没有什么特殊意义？
2.这是不是就说明这个比值可能与三角形外接圆有一定联系？那有什么样的联系呢？
3.当三角形的边和角发生变化时，比值是否发生变化？和外接圆直径的关系又是怎样？

当三角形发生变化时，观察各边及其对焦的正弦比值的数量关系，发现用三角形外接圆证明正弦定理的另一种证明方法

让学生通过几何画板的演示，发现正弦定理的另一种证明方法，实现教学源于教材却高于教材的设计理念
环节六
回归问题
初步应用
教师引导学生回归情景，利用正弦定理解决问题，并根据已知条件归纳正弦定理的应用。
问题组
1.应用正弦定理的前提是什么？

利用正弦定理解决实际问题，归纳正弦定理的应用
让学生在问题解决中，归纳定理的应用范围，提高解决问题的能力

环节七
归纳小结
布置作业
教师引导学生归纳本节所学知识与方法，留下正弦定理的第二种应用作为课后思考。
问题组
1. 同学们，我们这节课学到了哪些知识与方法？
2.两边一角的这两种情况都能用正弦定理求解？

归纳小结，探究性思考

引导学生反思，提升学生对知识、思想方法的认识
设计理念与思路
上述设计按照发现结论——验证猜想——证明猜想——解析定理——深入探索--初步应用的思路设计，整个设计体现以下理念：
重过程——通过讲解、观察、探究、分析、动手、推理等数学活动展现定理的来龙去脉，让学生经历猜想、验证、证明、理解等数学学习过程。
重思想方法的揭示——引导学生在参与过程中探究问题方法，理解转化、分类讨论和数形结合的思想方法，进一步提高学生学生探究问题及解决问题的能力。
重探究——让学生积极参与探究过程，做到还课于生，发展学生合情推理能力。
重延展——结合测量问题，让学生体会数学源于生活；通过正弦定理材料阅读，以及定理结构美学欣赏，提升学生文化素养；结合几何画板演示，顺利得到利用外接圆证明定理的方法，将教学从课内延伸到课外，使得教学源于教材却高于教材。
本设计有以下创新点：①创新的探索过程，顺利得到猜想；②创新的几何画板演示，有利于学生直观发现数学规律，学会探究方法；③创新的阅读环节，有利于数学文化渗透。

教 学
反 思

板书设计：
板书设计
§1.1.1正弦定理
一、 定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即：

二、 证明

三、 例题
解：利用正弦定理：

答：AB的距离为
阅读材料：
三角学是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上应用的一门学科。三角学起源于天文、测量、航海等实际需要，与古希腊的几何学有着不可分割的联系。
三角学的发展大体可分为三个时期：
第一时期是远古到11世纪以前，当时只用于测量三角学范围内的问题，这时期只能从埃及、中国、印度、阿拉伯等数学著作中发现有关三角学只是，但看不到角的函数概念。
第二时期是从11世纪到18世纪，平面三角学（含球面三角学）脱离天文学而独立成为数学的一个分支。如13世纪阿拉伯纳西尔丁把三角学作为独立的学科论述，继艾布瓦法首次在证明了正弦定理（a、b、c为三角形三边，A、B、C为三角形三内角），正弦定理解决的是测量中的三角形问题，是解决三角形问题的工具。同时他给出了三角函数的定义，编制了大量的三角函数表和发现一些三角公式。
第三时期是18世纪以后，随着研究范围的扩大，三角学已经成为研究三角函数的主要对象的学科，一度属于分析学的一个分支，现在已经将三角学归为几何学的一个分支。
今天我们研究平面正弦定理，以后我们还会继续学习球面正弦定理：若已知球面三角形ABC的三个顶点是A、B、C，其所对应的三边分别是a、b、c，则