不同年级学生解应用题过程中的比例定势及其发展特征.pdf

1引言数学教育的一个重要目标是让学生利用已有的数学知识处理日常生活中出现的有关数字的问题。应用题的设计是建立在数字运算的掌握基础之上，并融合了语言加工、数学加工和情境推理等能力，是训练学生解决实际问题能力的典型题目类型之一。由于数学应用题特有结构特点，国内外对于数学应用题进行了一系列的研究。数学问题的难度与问题的结构特征关系密切。陈英和等人1将数学应用题分为规则应用题和不规则应用题。规则应用题是指解题者只要通过对题目中出现的全部数字进行运算，就可得到正确答案的题目。不规则应用题是指那些与现实生活更为接近的题目，这些题目可能有解，也可能无解；题目中的条件可能是充分的或必要的，也可能是缺失的或不必要的，学生要利用自己的日常生活经验，并结合数学思维推理才能解决问题。Yoshida等人2对五年级的75名学生进行了数学测验，测验题目为规则应用题和不规则应用题。研究结果表明，学生计算不规则应用题的正确率远远低于规则应用题。刘儒德等人3以148名10-12岁的小学生为被试进行了此类题目的测验，结果也发现，不规则问题的正确率较低，随着年级的升高，正确率有所上升。陈英和4、路海东5、李晓东67等也得到了类似的结果。冯虹等以眼动仪为工具，从微观角度进一步证明了问题的规则性对学生解决问题的影响。因此,研究数学问题解决时,对问题的结构特征必须有清楚的认识，不同的结构特征需要不同的解题技巧和策略。从小学二年级开始，学生学习乘除法之后，比例应用题在应用题中占的比重也随之增大，经常大量练习规则的比例应用题，如：“2支毛笔6块钱，问8支毛笔多少钱？”这种应用题解题线索过于明显，使学生在题目的表面特征与解题方法之间形成定势。当问题的结构特征改变时，学生必须打破原有的表面特征与解题方法之间的定势，建立新的结构特征与解题方法之间的联系。这为解决问题带来一定的难度8。教学实践中也发现学生学会解决比例应用题 后，存 在 一 种 比 例 思 维 定 势（proportionalpropensity），即遇到非比例应用题时，学生也习惯应用比例方法解决应用题。例如：用8根火柴可以搭成2阶梯子，如果搭20阶梯子需要多少根火柴？这实际上是一个非比例问题，但在研究中发现，许多学生用比例方法来解决这个问题，列出算式8220，或82=x20。在另一道题目中：哥哥和弟弟一起放学回家需要16分钟，今天哥哥自己一个人回家需要多少分钟？这也是一个需要考虑实际情况进行解答的题目，同样，许多学生用比例方法解题，162，得出8分钟的答案。本研究从发展的角度考察从小学二年级到大学生解决应用题过程中比例定势的发展趋势，同时，将题目分为有插图和无插图两种，考察插图在解决不同类型应用题中的作用，以期帮助我们了解小学生解决应用题的发展特点，为提高小学数学应用题教学水平提供参考依据。2方法2.1被试不同年级学生解应用题过程中的比例定势及其发展特征关善玲1臧传丽1闫国利1冯本才2范晓红2赵昕2（1天津师范大学心理与行为研究院，天津300074 2天津师范大学附属小学，天津300074）摘要：从小学2年级到大学1年级共选取614名学生，对其在解决不同类型的数学应用题过程中存在的比例定势现象进行研究。结果表明：学生解题水平随着年级的增高而提高，但解决非比例问题的正确率低于比例问题；学生比例定势错误率随着年级的增加呈倒U型分布，在3、4年级阶段出现比例定势错误率的最高峰；学生犯其它类型错误率，随着年级的增高而降低；有、无插图对比例应用题影响不大，却有助于低年级学生解决线性问题和加法问题。关键词：应用题；比例定势；发展特征基金项目：研究受到教育部人文社会科学重点研究基地01JAZJDXLX003和02JAZJDXLX003重大项目、天津市教育科学“十一五”规划ZZG194项目、教育部新世纪优秀人才支持计划项目的资助。通讯作者：闫国利，男，教授，博士。Email:psy-心理研究Psychological Research2008，1(3)：77-8177从小学2-6年级学生、初一、高一及大学一年级共选取614名学生。其中，小二72人，年龄8.310.57；小三73人，年龄9.420.52；小四70人，年龄10.290.54；小五81人，年龄11.410.54；小六81人，年龄12.640.53；初中79人，年龄13.780.54；高中78人，年龄15.550.49；大学生80人，年龄19.860.73。2.2实验材料实验材料设计成四种类型的应用题，分别为：比例问题：f(x)=ax。这类题目指利用比例方法就能解决的问题。例：一个苹果200克，问10个苹果多少克？常数问题:f(x)=a。这类题目的答案是一个常数。例：小王和小李一起骑车回家需要16分钟，这天小王自己骑车回家，需要多少分钟？线性问题:f(x)=ax+b(b0)。解决这类问题，除要应用到比例方法外，还必需应用其它运算方法才能正确解决问题。例：用8根火柴可搭2阶的梯子，若想搭20阶的梯子需要多少根火柴？加法问题:f(x)=x+c。解决这类问题，只需加法运算即可，不需要比例运算。例：小王和小李以相同的速度跑步，当小王跑9圈时，小李才跑3圈，当小李跑15圈时，小王跑了多少圈？最后将四种类型应用题又分为有插图题目和无插图题目，共8道题目。2.3实验设计采用8（年级：小学2、3、4、5、6年级、初一、高一、大一学生）4（题目类型：比例问题、常数问题、线性问题、加法问题）2（有、无插图）混合实验设计。其中年级是被试间因素，题目类型和有、无插图是被试内因素。2.4程序实验在主试者的监督下进行团体施测。主试进入班级后，先进行自我介绍，并宣读统一的指导语：“同学你好，下面进行一次数学应用题考试，时间为20分钟。请认真、独立完成考试。”若中间有学生提出问题，不予解释，只是告诉他“再认真想一想，按你自己的理解答题。”实验持续约20分钟。2.5数据处理在统计卷面得分时将答案分为三种类型，分别为：C答案：回答正确、P答案：以比例方法解决非比例问题、O答案：其他类型答案，或没答（纯计算错误按其解题思路归入C或P答案中）。所有数据使用SPSS13.0进行统计处理。3结果3.1比例问题正确率各年级学生解决比例问题正确率的平均值与标准差如表1所示。经重复测量方差分析，结果表明，对于比例问题，年级主效应显著，F（7，606）=34.47，p0.01，学生解题正确率随着年级的增高而提高；有、无插图主效应不显著，插图与年级的交互作用不显著。对年级变量进行进一步检验表明，二年级与三年级学生之间解题正确率存在显著性差异，三年级与四年级之间存在显著性差异，四年级与五年级、五年级与六年级、六年级与初一、初一与高一、高一与大一的学生之间均无显著性差异。3.2非比例问题正确率各年级学生解决非比例问题正确率的平均值与标准差如表1所示。表1各年级学生解题正确率比例问题非比例问题有插图无插图有插图无插图M（%）SDM（%）SDM（%）SDM（%）SD263.8848.3663.8848.3637.9628.6916.2019.37391.7827.6579.4540.6859.3624.3732.4222.88497.1416.7897.1416.7863.8021.7940.4733.03598.7611.1196.2919.0077.3625.1846.5034.02697.5315.6197.5315.61480.6520.9958.0232.39初一98.7311.2597.4615.8087.3417.1366.6628.24高一100.000.00100.000.0098.297.4084.6125.02大一100.000.00100.000.0097.508.8391.2518.93关善玲等：不同年级学生解应用题过程中的比例定势及其发展特征78心理研究3.3非比例问题答案类型各年级学生解非比例问题时答案类型的平均值与标准差如表2所示。表2非比例问题答案类型的平均值与标准差C答案P答案O答案M（%）SDM（%）SDM（%）SD227.0821.1931.0114.0741.8925.48345.8919.4037.2118.3216.8915.08452.1422.8636.4220.3211.4213.17561.9326.3830.4523.247.6111.79669.3421.1526.7421.353.497.77初一77.0019.1120.6718.142.325.80高一91.4513.628.1113.080.422.65大一94.3712.135.4111.790.201.86经重复测量方差分析，结果表明，年级主效应显著，F（7，606）=100.11，p0.01，学生解题正确率随着年级的增高而提高；有、无插图主效应显著，F（1，606）=353.59，p0.01，对于非比例应用题，有插图的解题正确率比没有插图的题目正确率高。插图与年级的交互作用显著，F（1，606）=6.24，p0.01。对年级变量进行进一步分析，结果表明，对于非比例类型的应用题，二年级与三年级学生的解题正确率差异显著，三年级与四年级学生无显著差异，四年级与五年级，五年级与六年级，六年级与初一，初一与高一等年级的学生均存在显著性差异，高一与大一学生正确率无显著性差异。对插图变量进行进一步分析，结果表明，只有高一和大一的学生对有无插图的应用题的解题正确率无显著性差异，其它年级学生均存在显著性差异。对学生解题正确率进行分析，结果表明，年级主效应显著，F（7，606）=100.13，p0.01，正确率有随着年级的升高而增加的趋势，三年级和四年级学生解题正确率差异不显著，高中生和大学生解题正确率差异不显著，其它年级学生之间解题正确率差异均达到显著水平，p0.01。对学生答案比例定势进行分析，结果表明，年级主效应显著，F（7，606）=43.95，p0.01，比例定势随着年级的升高而呈现倒“U”字形趋势，二年级和三年级解题比例定势差异显著，p0.01，比率由二年级的31.01%提高了6.2%，三年级达到37.21%，三、四年级之间差异未达到显著性水平，四年级和五年级解题比例定势差异显著，p0.01，五年级比四年级下降了5.97%，五年级和六年级解题比例定势比率差异不显著，六年级和初中学生比例定势比率差异显著，p0.01，初中学生比六年级学生下降了6.07%，达到20.67%，初中生与高中学生比例定势比率差异显著，p0.01，高中生比初中生下降了12.56%，只有8.11%，高中生与大学生之间比例定势比率差异不显著，个别大学学生也存在比例定势倾向。对学生其它错误比率进行分析，结果表明，年级主效应显著，F（7，606）=92.42，p0.01，其它错误比率随着年级的升高而明显下降，二年级为41.89%，到三年级只有16.89%，经检验差异显著，到四年级为11.42%，而到五年级之后犯其它错误的比率下降至10%以下，且从五年级到大学生各年级之间其它错误比率均无显著性差异。3.4非比例问题类型与答案类型学生解各种题目类型时答案类型的平均值与标准差如表3所示：表3不同题目类型问题的答案类型平均值与标准差C答案P答案O答案M（%）SDM（%）SDM（%）SD常数52.1945.1441.0441.796.7519.13线性64.9836.5121.7427.7513.1126.54加法79.9629.919.6920.3810.3424.29对解题正确率进行分析，结果表明，题目类型主效应显著，F（2，1839）=83.40，p0.01，对于非比例应用题，解题正确率与题目类型相关，常数问题正确率最低，线性问题次之，加法问题正确率最高，经进一步检验，常数问题、线性问题、加法问题的正确率之间均存在显著性差异，p0.01。对解题比例定势比率进行分析，结果表明，题目类型主效应显著，F（2，1839）=157.08，p0.01，对于非比例应用题，比例定势比率与题目类型相关，常数问题比例定势比率最高，线性问题次之，加法问题比例定势比率最低，经进一步检验，常数问题、线性问题、加法问题的比例定势比率均存在显著性差异，p0.01。对学生其它错误比率进行分析，结果表明，题目类型主效应显著，F（2，1839）=11.24，p0.01，对于非比例应用题，其它错误比率与题目类型有关，线性问题其它错误比率最高，加法问题次之，常数问题其它错误比率最低，经进一步检验，常数问题、线性问题、加法问题的比例定势比率均存在显著性差异，p0.01。3.5非比例问题类型与插图学生解不同题目类型、有无插图应用题正确率79关善玲等：不同年级学生解应用题过程中的比例定势及其发展特征的平均值与标准差如表4所示：表4不同题目类型、有无插图正确率的平均值与标准差有插图无插图M（%）SDM（%）SD常数56.8449.5747.5549.98线性79.3140.5350.6550.03加法92.0127.1267.9146.71经重复测量方差分析，结果表明，题目类型主效应显著，F（2，1226）=137.69，p0.01，加法问题正确率最高，线性问题次之，常数问题正确率最低，经进一步检验表明，常数问题、线性问题、加法问题解题正确率之间存在显著性差异，p0.01。有无插图主效应显著，F（1，613）=331.95，p0.01，有插图的正确率平均为76.05%，无插图的正确率平均为55.37%，有插图的题目解题正确率高于无插图的题目。题目类型与插图的交互作用显著，F（2，1226）=27.404，p0.01。进一步分析表明，对于常数类型的应用题，有无插图类型题目的正确率无显著性差异，对于线性问题和加法问题，有插图类型的题目的正确率都显著高于无插图类型的题目。4讨论4.1学生解应用题能力的发展特点学生解应用题时的解题正确率表现出明显的年级差异。即随着年级的增高，学生解题正确率逐渐提高。但对于解决比例应用题和非比例应用题，学生在不同的阶段达到成熟。如结果3.1、3.2所示，二、三、四年级是学生掌握比例类型应用题的关键期，五年级学生对此类应用题的掌握程度已经达到成熟阶段；而对于非比例类型的应用题，直到高中阶段才基本达到熟练掌握水平。因此，学生解应用题的能力随年级增加而逐渐发展和提高。比例应用题比较容易，到五年级即可熟练掌握，而非比例应用题要更难一些，4.2学生解应用题过程中存在的比例定势对学生解非比例应用题做出的比例定势研究表明，比例定势随着年级的升高而呈现倒“U”字形趋势。学生在解非比例类型应用题时，比例定势从二年级到三年级有所上升，在三、四年级达到最高锋，之后开始下降，五、六年级达到一个暂时平衡水平，之后再急剧下降，直到高中以后定势才被大部分学生所打破，得以正确解决应用题。这一结果与Wim8的研究结果不同，Win发现加拿大的儿童是在小学五、六年级时达到最高峰。对学生解非比例应用题做出的其它错误比率研究表明，其它错误比率随着年级的升高而明显下降，到小学五年级即达到最低值。学生在小学二年级学习比例方法后，经常大量练习规则的比例应用题，这种应用题不大贴近现实生活，而且解题线索过于明显，使学生在题目的表面特征与解题方法之间形成定势。这种定势将随着练习的增加而加强，导致学生的比例定势错误率上升，即在三、四年级达到最高锋，五年级之后，随着学生年龄的增长，知识的增加，学生开始逐渐理解问题实质，能够正确区分出比例问题和非比例问题，慢慢打破表面特征和解题方法之间的定势，将解题方法与问题实质相联系，学生的解题正确率随之而大幅度上升。4.3学生解决不同类型题目的答案类型研究表明，对于非比例应用题，解题正确率与题目类型有关，常数问题正确率最低，线性问题次之，加法问题正确率最高，比例定势比率与题目类型有关，常数问题比例定势比率最高，线性问题次之，加法问题比例定势比率最低，其它错误比率与题目类型有关，线性问题其它错误比率最高，加法问题次之，常数问题其它错误比率最低。常数类型应用题的主要特点就是答案与题目中出现的关键数字相同，学生必须理解题目中的关键词，解题过程不需要用到其它数字，这需要学生较强的语义理解能力，特别是将语义与现实生活相联系的能力，由于学校教育中较少出现这种题目与现实生活联系的应用题，学生必须打破之前一直强化的思维方式，即题目的表面特征与解题方法之间的定势，建立解题方法与问题实质之间的联系，这就导致了常数类型应用题正确率最低，而比例定势错误率最高；线性问题是三种非比例应用题中比较复杂的问题，它需要经过乘法和加法的两步运算，或是更复杂的四步运算，才能得到答案，因此，线性问题的其它错误率最高；加法问题相对线性问题要简单，只需经过加减法的两步运算即能得出答案，加法问题的正确率最高。4.4有无插图对学生解应用题的影响插图对不同类型应用题和不同年级学生有不同的影响。对于比例应用题，有无插图对不同年级的学生解决应用题无显著影响；对于非比例应用题，有插图对解题不熟练的学生有较大帮助，而对解题熟练的学生有无插图对解题影响不大，说明低水平解题80心理研究者更依赖于图形信息进行思考，而高水平解题者只依靠语言信息就能很好的理解题目，解决问题；对于常数类型的应用题，有无插图对学生解题无影响；对于线性问题和加法问题，有插图有利于学生解决问题，有阅卷的过程中，发现有些学生不是通过列式计算得出结果，而是直接在插图中画出答案。由于插图具有形象性的特点，容易在大大脑中建立表象，因此，在插图的参照下，学生借助插图的视觉特征很容易对问题内在的联系进行加工，使问题实质与解题方法的逻辑关系显得较为清晰，这一认知过程本身就对插图题目进行了比无插图题目更为深入的信息加工。正是这一双重的加工，导致有插图题目的正确率高于无插图题目。这一结果支持了Paivio9双重编码理论。本研究发现对于比例应用题小学阶段学生就能很好的掌握，但对于数量上有比例关系的非比例应用题，特别是常数类型的应用题，学生的成绩都较差，正确解决问题的通过率较低，因此建议在小学应用题教学中适当引入非比例应用题，帮助儿童对题目结构形成正确的表征，即将数学与日常应用相联系的能力；另外本研究还发现插图对低年级学生理解非比例应用的帮助较大，在引入非比例应用题的时候，可以适当考虑插入图形，帮助学生更好的理解和掌握应用题的结构，从而提高解题成绩和实际的应用能力。5结论本研究可以得出以下结论：（1）学生解题水平随着年级的增高而提高，但解决非比例问题的正确率低于比例问题。（2）学生比例定势错误率随着年级的增加呈倒U型分布。（3）学生犯其它类型错误率，随着年级的增高而降低。（4）有、无插图对比例应用题影响不大，却有助于低年级学生解决线性问题和加法问题。参考文献1陈英和,仲宁宁,赵延芹.数学应用题规则性研究的新进展.心理发展与教育,2003,4:82-852YoshidaH,VerschaffelL,DecorateE.Realisticconsiderations in solving problematic word problems:DoJapaneseandBelgianchildrenhavethesamedifficulties?Learning and Instrction,1997,7(4):329-3383刘儒德,陈红艳.数学真实性问题的研究.心理发展与教育,2003,19（1）:49-534陈英和,仲宁宁,赵宏等.小学2-4年级儿童数学应用题表征策略对其解决不规则问题影响的研究,心理科学,2005,28（6）:1314-13175路海东,董研.小学生表征数学应用题策略的实验研究.心理发展与教育,2003,1:60-636李晓东,林崇德.小学3-6年级学生解决比较问题的研究.心理科学,2002,25(3):270-2757李晓东,聂尤彦,庞爱莲.工作记忆对小学三年级学生解决比较问题的影响.心理发展与教育,2003,3:41-468Wim V D,Dirk D R,etc.Not everything is proportional:Effects of age and problem type on propensities forovergeneralization.Cognition and Instruction,2005,23(1):57-869PaivioA,DesrochersA.Adual-codingapproachtobilingual memory.Journal of Canada psychology.1980,34:388-399An Developmental Study on the Proportional Propensity in Word Problems SolvingGuan Shanling1,Zang Chuanli1,Yan Guoli1,Feng Bencai2,Fan Xiaohong2,Zhao Xin2(1 Academy of Psychology and Behavior in Tianjin Normal University,Tianjin,300074)(2 Affiliated Primary School in Tianjin Normal University,Tianjin,300074)Abstract：614 students from grade 2 to 6 in primary school,grade 7,grade 10,and college studentsparticipated the experiment to examine the developmental trend of proportional propensity in differentgrades.The results indicated that students ability in word problem solving was improving with the age,but for the proportional answers,the general trend showed an inverted U-shaped curve.The illustrationsdidnt facilitate for the students to solve the proportional problems,but they could help younger studentsto solve linear problems and additive problems.Key words：word problem,proportional propensity；developmental characteristics.81