线段的垂直平分线教案.doc

线段的垂直平分线
大豫初中 周永兵
课 型：新授课
教学目标：
1.熟练利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；掌握三角形三边垂直平分线的性质. 已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.
2.能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理,并在实际中应用.(重点)
3.发展学生的推理证明意识与能力,理解“三线共点”的证明思路.(难点)
教法及学法指导:
我选择的教法是“自主探究-合作交流-归纳总结”的教学模式,引导学生动手操作,主动思考,小组讨论,归纳应用.
“线段的垂直平分线”是初中几何的重点内容,在解决问题时有其实用性和简洁性,学法上既要求学生动手操作,又要求学生主动思考,合作交流,在动手中得出知识,不能依靠教师讲解后的记忆.
课前准备:
制作导学案,课件,安排学生复习曾经学习过的关于“线段的垂直平分线”知识.准备三角板.
教学过程:
一、回顾与思考
在中，∠C＝90°，折叠后，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合.

1.请找出图中相等的线段，任选其中一组尝试口头证明.
生一：我选择的是,可以通过证明得来
生二：老师，我是应用的折叠直接得来的
师：还有没有别的方法呢？
生：由折叠可以看做对称，就能继续应用线段的垂直平分线线定理了
2.图中有没有某条线段的垂直平分线，清标出来，说明理由.
生：线段就是线段的垂直平分线
3.只要连接图中已经标出的两点还隐藏有这种关系的线段，您能连接那两个点，并给出口头理由
生：连接，线段就是线段的垂直平分线，我的理由是，前面我们已经知道了，就能使用线段的垂直平分线线定理逆定理了
师：好，太好了，这种证明方法很简洁，我知道有同学用全等三角形走的定义的方法，也很好，但是不如这位同学的方法简洁，同时也要求我们，今后要将学习的知识应用到实际解题之中，不要喜旧厌新
4.请求出∠A的度数
生：展示
设计意图：这是我改编的一道中考题，见过很多的教师都是以提问基本的定义、定理等知识点复习上节课的知识，以引出新授的内容，但是这种复习法有一个缺点：它往往会造成学生对于课本知识点掌握的很纯熟，就是不会具体的应用，说白了，背起来看是掌握的无以复加，但应用实践上却无比迷惘，此时的学生充其量只能是起到复读机的作用，老师们忽略了数学是实用科学，学数学的最基本的原因就是应用于生活，服务于生活，我也一直探索这个问题，近期我就将复习改成了具体的应用，发现很有实用性，学生掌握的会更好.
二、创设情境,动手操作
操作一:请您做出一个任意三角形,做出此三角形的三条边的垂直平分线.
操作二:任意剪出一个三角形,用折叠的方法折出三角形的三条边的垂直平分线.
安排:全班同学可以分为两组分别操作其一.也可以要求全班同学都要操作.
师:同学们,您们作出(剪出)的三角形一样么?
生:不一样.
师:大家观察您们做出的三条边的垂直平分线位置上有什么特点.
生: 三条边的垂直平分线相交于一点.
设计意图：难度小，动手操作题直观，学生一般都能表现出很大的积极性，是激发中等生、学困生自信心的良好机遇.我本节课的教法是：自主探究-合作交流-归纳总结，设计这两个操作题的原因二就是让学生能够在直观上得出“三条边的垂直平分线相交于一点”的结论，然后猜想，体推理证明，一步一步展开，其实有些时候，学生直观得出的结论往往会更容易理解和应用.
三、探究新知识
师:您能用一句话总结出您的结论么?
生:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
师:前面我们用动手操作的方法得出了这个结论,您能证明它们么?
操作:请两位同学上台展示,做出图形,写出已知求证,写出证明过程.
已知:△ABC的边AB、BC垂直平分线相交于点P.
求证:点P在边AC的垂直平分线上.

A
B
C
P
简析：要证明三条直线相交于一点，只要证明第三条直线也通过这两条直线的交点即可.
生一、生二同时上台展示.
证明:连接PA,PB,PC (如下图二)
∵点P在AB的垂直平分线上
∴PB=PA
∵点P在AC的垂直平分线上
∴PB=PC
∴PA=PC
∴点P在边AC的垂直平分线上
设计意图：连续几年我都对这节课很关注，很多的老师采取的方法都是直接讲解，然后大量练习，理由就是能做题了，能正确的使用这节课的垂直平分线的性质定理就是成功的了.我坚持让学生讨论、展示看是很占用时间，但我的想法是：
①学生自己得出的结论不用强制性记忆就能记得很牢靠，并且不会像“角平分线定理逆定理”、“线段垂直平分线定理逆定理”一样，学生学会之后却很少使用，宁愿走证全等的路子也不直接使用之，换而言之就是想不起来.
②证明定理本身就是很好的能力量习题，不一定非要讲解定理后再去收集相关的练习题，那样显得就是纯粹为了做题了.
③数学不是一门结果科学，过程更重要，数学科里的几种能力的培养都是在过程里培养的.
师：您能介绍一下您的思路么？添加辅助线的灵感呢？
生：添加辅助线的灵感就来自线段的垂直平分线定理，证明思路就是应用了线段的垂直平分线定理的逆定理.
师：您面对证明三线共点有什么收获？
生：我们可以通过证明第三条线过其余两条线的交点来完成，今天，刚才王宇同学就是使用线段垂直平分线定理逆定理来证明的.
师:上面图形中有没有相等的线段,并进行证明.
生:PA=PB=PC
师:归纳: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, .
师:请用几何符号语言表示: ∵
∴PA=PB=PC
设计意图：结论和方法的总结很重要，总之，谁总结的谁记得清晰，所以我基本上没有说出这节课任何知识点.

四、训练与巩固:
1.操场上有三个班级的同学在上体育课,学校打算设立一个饮水站,要求离三个班级的距离想等,请您找出饮水站的设立地点.

设计意图：这是重点，必讲内容，学生展示之后注意以下几点：
①作图痕迹
②做法原理的强调
③口头拓展：您能够将这道题改变成不同表现形式的实际生活应用题么？
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹，不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.

A
B
C

设计意图：如果这节课是八年级的课程，我就不会拓展这道题，现在学生马上就会要求综合能力，而综合能力不是用九年级后半学期超强的训练就能得来的，我们平时就要见缝插针的培养.题目涉及的知识点很多，综合性很强.
五、议一议：
分组讨论：
已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
安排：
让每组派一位代表说出小组的讨论结果，如果已经作出了图的话，用投影仪展示给全班同学看.
师：上面的图形改成等腰三角形呢?您能做出来几个?他们全等么?
设计意图：这种做法的不确定性主要来自高的垂直却没有明确垂足，认真处理能够更好地完成下面的“做一做”
六、做一做:
已知：线段、

求作：△ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD =
生一：上台展示.（左边）
生二：上台展示.（右边）
作法：
1） 作线段BC =
2） 作线段BC的垂直平分线，交BC于点D
3） 在上作线段DA，使DA =
4） 连接AB、AC

△ABC为所求的等腰三角形
师：作图题的作图痕迹和作图语言都很重要，作图语言是世界上和法律语言一样严谨的语言之一，我们要引起足够的重视.
七、深化提高:
_
a
1. 已知线段a，求作以a为底，以a为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？

设计意图：是“做一做”的变形，直接服务于这节课的重点.
图1
2. 如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

3．如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点M.
（1）求△AEN的周长.
（2）求∠EAN的度数. （选作）
（3）如果DE交MN于点P，猜想的形状.

师安排：学生在导学案上面做，然后用实物投影有针对的展示点拨.
设计意图：第三题原题只有前两问，我加入了第三问，各有千秋，能将线段垂直平分线这一节的内容综合考察，可以设计成开放题，先让学生讨论能有什么结论.我加入的第三步就是专项训练本节课学习的三角形三边垂直平分线定理的，由于图形复杂会给学生的思维一定的干扰，这也算是我实际的本意：有前两条应该能想起来第三条.
小结：这节课我们分别利用折纸和作图的方法得出了线段垂直平分线定理，然后利用几何方法加以了证明，线段垂直平分线定理在初中几何里有很重要的应用，大家要重视.
作业:1.课本习题1.7第二题
2.课本习题1.7第三题 (选作)
板书设计：
线段的垂直平分线 （2）
回顾与思考

折纸游戏

A
B
C
P
定理：
作图题
学生展示：

练习
学生展示：

练习
学生展示：

练习

教学反思：
应用了动手操作，实验的方法，学生表现出了很大的热情，都能够在实践中得出相关的结论，都有自己的发现，能够和同学们相互探讨，教师在点拨的时候感到很轻松，学生集体的力量很大，教师在授课时应该充分的应用，线段的垂直平分线定理的证明有一定的难度，在以后的教学中可以适当延长一点讨论时间.