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期末复习专题：空间几何体（文）

一、知识链接
1.空间几何体
旋转体：一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体（有曲面），如 、 、 。
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（没有曲面）， 如： 、 、 。
2.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的概念
3.多面体表面积公式
旋转体表面积公式：圆 、圆锥 、圆台 、球 。
体积公式：柱体 、锥体 、台体 、球 。
4.空间几何体的三视图： 、 、 。
空间几何体的直观图画法（斜二测画法），斜二测画法的步骤及注意点。
二、例题剖析
题型一：图形的画法
例1.用斜二测画法画出水平放置的正方形和等边三角形。
例2.（1）已知正三角形ABC的边长为，那么的平面直观图的面积为 。
（2）已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原 的面积为 。
题型二：柱、锥、台、球的结构特征、面积与体积
例3.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。
例4．已知一个球内切于圆锥，求证：它们的表面积之比等于它们的体积之比。
题型三：最值、线路问题
例5．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD,从A到C在圆柱侧面上的最短距离为多少？
三、基础训练
一选择题：
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
2.下列说法一定正确的是（ ）
A. 直角三角形绕其一边旋转形成圆锥
B. 等边三角形绕其一边旋转形成圆锥
C. 平面截圆锥所得的图形是圆
D. 过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形
3．给出如下四个命题：①用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫圆台；②棱台的侧棱延长后一定相交于一点；③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球；④用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
8
6
4
8
6
4
6
8
4
6
8
4
6
8
4
（第4题）
4．右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A． B． C. D.
5．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（ ）

A． B． C． D．
6.已知正方体的棱长为，则它的表面积为（ ）
A. B. C.12 D.8
7.已知长方体的棱长分别为2，3，4，则它的表面积是（ ）
A.52 B.24 C.58 D.18
8.一个直立在水平面上的圆柱体的正视图、俯视图、侧视图分别是（ ）
A．长方形、圆、长方形 B．长方形、长方形、圆
C．圆、长方形、长方形 D．长方形、长方形、圆
9．正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C． 五棱锥 D.六棱锥
10.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
① 正方体

②圆锥
③三棱台
④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④
11.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 （ ）
俯视图
侧视图
正视图
A、棱台 B、棱锥 C、棱柱 D、都不对

12.体积相等的球和正方体的表面积的大小关系是（ ）
A． B. C. D.不能确定
二、填空题
13.若球的直径为D，则球的表面积是 ，体积是 。
14.已知一圆柱的高为4cm，底面半径为cm，则此圆柱的体积为 ，侧面积为 ，表面积为 。
15.已知圆锥的高为3cm，底面半径为3cm，则体积为 ，表面积为 ，侧面积为 。
16.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为 。
17.已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为_________。
18.若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是 。
19.一个底面半径为R的圆柱形量筒中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面恰好升高r，则 。
20.将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加 。
21.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。
22.正方体的内切球和外接球的半径之比为 。
23. 中，，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为 。
三、解答题：
24．（1）画出一个长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm的长方体．
（2）画出一个底面为边长为4cm的正三角形，侧棱长为5cm的直三棱柱（侧棱与底面垂直）.
(3)根据三视图，画出对应的几何体的直观图。
正视图
侧视图
俯视图

25.已知一圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，求这个圆锥的全面积和体积。
26.圆台的上底直径为10cm,下底直径为20cm,高为12cm,求它的侧面积和体积。
27.过球的半径中点，作一垂直于此半径的截面，截面面积是，求球的表面积。

28.有半径为1的8个铁球，将它们熔化后铸成一个大铁球（不计损耗）.求铸成的大铁球的表面积和体积。（）
四、自主提高
1.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成角,则圆台的侧面积为 。

2.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积（ ）
A. B. C. D.
3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为４５ｏ　，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
4.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
第5题
5．在五行五列的方格棋盘上放着一枚骰子，他和平常的骰子不相同，它在棋盘上只能左、右、上、下运动，并且必须要沿着他的棱翻动（即滚着走），开始时，骰子在3C处，将骰子从3C处翻到3B处，如图所示，骰子的形态如图①所示，再将骰子从3B处翻到2B处，骰子的形状如图②所示。
（1）继续将骰子从2B处翻到1B初，朝上的一的点数是 ；
（2）继续将骰子从1B处翻到1A处，朝上一面的点数是 ；
（3）如果将这枚骰子从图中原来的位置翻到5E的位置，则朝上一面的点数是 。
6．一个直三棱柱（侧棱与底面垂直）的底面是边长为2的正三角形，且CC1 = 3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离．

期末复习专题：空间几何体答案
例题剖析：
例1.略
例2.（1）（2）
例3. 1：2：3
例4.略
例5.
基础训练：
选择题：
1~5DDCAD 6~10CAADD 11~12AC
填空题：
13． ， 14. ， ，
15. ， ， 16. 7 17. 28
18. 19. 20. 21.
22. 23.
24．略
25. 和
26.和
27.
28.和
自主提高：
1. 2. C 3. A 4. A
5.（1） 3 （2） 5 （3） 2 6.

高一数学必修2
第一章空间几何体基础训练（1）
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

主视图 左视图 俯视图

2．棱长都是的三棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在
同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．都不对
4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（　 　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，,若使绕直线旋转一周，
则所形成的几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的对角线的长
分别是和，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，
顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体 中，是上底面中心，若正方体的棱长为，
则三棱锥的体积为_____________。
4．如图，分别为正方体的面、面的中心，则四边形 在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为___________.
三、解答题
1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加 (底面直径不变)。
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3） 哪个方案更经济些？

2．将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积

一、选择题
1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台
2.A 因为四个面是全等的正三角形，则
3.B 长方体的对角线是球的直径，

4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是

5.D
6.D 设底面边长是，底面的两条对角线分别为，而
而即
二、填空题
1. 符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台
2.
3. 画出正方体，平面与对角线的交点是对角线的三等分点，
三棱锥的高
或：三棱锥也可以看成三棱锥，显然它的高为，等腰三角形为底面。
4. 平行四边形或线段
5． 设则

设则
三、解答题
1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成,则仓库的体积

如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成,半径为.
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二，仓库的高变成.
棱锥的母线长为 则仓库的表面积

（3） ，
2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为，圆锥的半径为，则
；；

高二数学（文）（必修2）第二次测试题
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分，
1下列命题为真命题的是（ ）
（A）平行于同一平面的两条直线平行 （B）垂直于同一平面的两条直线平行（C）与某一平面成等角的两条直线平行（D）垂直于同一直线的两条直线平行
2若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角（ ）
（A）相等 （B）互补 （C）相等或互补 （D）无法确定
3正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）
P
A
B
C
D
（A） （B） （C） （D）
4已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面
有（ ）
（A）2对 （B）3对
（C）4对 （D）5对
5如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45,腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
（A） （B） （C） （D）
6如果直线与直线平行，则的值为( )
（A）3 （B）－3 （C）5 （D）0
7、过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（ ）
（A）4x＋3y－13＝0 （B）4x－3y－19＝0
（C）3x－4y－16＝0 （D）3x＋4y－8＝0
8、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么
A、点不在直线上 B、点必在直线BD上
C、点必在平面内 D、点必在平面外
9、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
10、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
11、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
（A、2/3 B、7/6 C、4/5 D、5/6
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
（12）底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为 cm2．
（13）若两个球的表面积之比是4∶9，则它们的体积之比是 ．
（14）图①中的三视图表示的实物为_____________；
图②为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_______块木块堆成．
图①
正视图
左视图
俯视图
图②
俯视图
正视图
左视图

（15）直线的倾斜角的大小为 ．
（16）方程所确定的直线必经过的定点坐标是 ．

乐桥中学高二数学（必修2）第二次测试题
姓名 班级 得分
一． 选择题（55分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案

二，填空题（25分）
12 13 14

15 16
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
17（本题13分）
、证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的斜线的射影垂直，则也和斜线垂直。

O
C
A
B
D
E
P
18（本小题满分13分）
如图，O是正方形ABCD的中心，
PO底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC 平面BDE．

19（本题14分)如右图所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.
(I)求二面角的大小；
(II)求直线与所成的角的余弦值.

20(本题15分)
已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（１）面；
（2 ）面．

21（本题15分）
已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，
∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

高二数学（必修2）训练题参考答案
一，选择题（55分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
A
B
A
C
B
B
D

二填空题（25分
（11） （12）8∶27 （13）圆锥；4
（14）60° （15）（0，3）
三解答题
O
C
A
B
D
E
P
17 略
18 证明：（Ⅰ）连结EO，
在△PAC中，∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP．
又∵OE平面BDE，
PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（Ⅱ）∵PO底面ABCD，
∴POBD．
又∵ACBD，且ACPO＝O，
∴BD平面PAC．
而BD平面BDE，
∴平面PAC平面BDE．
19：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ) 直线BD与EF所成的角的余弦值为
20、证明：（1）连结，设
连结， 是正方体 是平行四边形
且 又分别是的中点，且是平行四边形 面，面面
（2）面
又，
同理可证， 又面

21证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 3分
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 9分
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴ 11分
由AB2=AE·AC 得 13分
故当时，平面BEF⊥平面ACD. 14分

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