期末复习---命题、推理与证明.doc

期末复习---常用逻辑用语
一、命题
1．四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题

否命题

逆否命题

2．充分条件与必要条件
如果p⇒q，则p是q的 ，q是p的 ．
如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

4．命题p且q，p或q，非p真假判断表
p
q
p且q
p或q
非p
真
真

真
假
[来K]

假
真

假
假

二、基础检测
1．给出命题“若α＝，则tan α＝1”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为________．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的______命题．
3．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|x＜a}，若p：“xA”是q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____________．
4．在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B，则p是q的______________条件．
5．若命题“∀xR，x2－ax＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
6．已知命题p1：函数y＝lg(x＋)是奇函数，p2：函数y＝为偶函数，则下列四个命题：①p1∨p2；②p1∧p2；③(p1)∨p2；④p1∧(p2)中，为真命题的是__________(填序号)．
7．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是______________．
三、典型例题
例1：设p：函数y＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

例2：设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

变式：已知p：x2－4x－5>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为__________．

例3：求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

期末复习---推理与证明
一、基础检测
1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，应假设：_____________________________________.
2．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反设应该是______________________________________________________________．
3．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，有_________________________________．
4．在共有2 013项的等差数列{an}中，有等式(a1＋a3＋…＋a2 013)－(a2＋a4＋…＋a2 012)＝a1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{bn}中，相应的有等式________成立．
5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为________．

6．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________”．
7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
8．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为______________；由此猜想Sn＝__________.
9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________________________________________________________________________.
10．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是____________________．
11．凸n边形有f(n)条对角线，凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线，则f(n＋1)＝f(n)＋________.
二、典型例题
例1：（1）设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.
（2）若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.

例2：（1）若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．
（2）若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.

例3：数列{an}满足an>0，Sn＝(an＋)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．