人教版正比例函数概念的教学设计与点评.doc

人教版正比例函数概念的教学设计与点评
重庆市教育科学研究院 张晓斌　
重庆市璧山县中学　 王 伟
一、教学目标
（1）理解正比例函数的意义，能根据实际问题抽象出正比例函数并确定其表达式，能辨别一个函数是否是正比例函数，能根据已知条件求出正比例函数的表达式.
（2）经历从实际问题中抽象出正比例函数模型的过程，体会正比例函数来源于实际，体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型.
（3）从不同角度思考数学概念，全面理解概念的内涵与外延，获得今后研究特殊函数的基本思路与方法.
（4）在概念形成阶段，培养学生与他人合作交流的意识和严谨的学习态度；在概念的理解辨析过程中，让学生学会能从不同角度思考问题的思维方法；在运用概念的过程中，培养学生善于思考的良好习惯和创新精神.
二、教学重点和难点
重点：如何合理展示正比例函数的概念生成的逻辑顺序.
难点：从不同角度全面认识正比例函数的意义.
三、教学准备
多媒体课件.
四、我们的思考
正比例函数是学生第一次比较系统学习一类特殊函数的相关知识，其涉及的研究函数的方法对初中阶段以后学习一次函数、反比例函数、二次函数都有引领作用.本课将按照从问题情境出发，通过建模生成概念，挖掘概念的内涵，运用概念解决有关问题进行教学，其中有三个方面至关重要，要引起高度重视.
1.把握好正比例函数的学习基础，为正比例函数的抽象做好铺垫
学习正比例函数是在变量和常量以及函数概念的基础上，对函数表达式“格式化”，因此重点要从以下几方面分析：
（1）在自主探索教材第86页的问题1后，应关注（2）中变量是什么，常量是什么？它们是否成函数关系，自变量是谁，函数是谁.
（2）自变量和常量是运用什么运算符号连接起来的？问题（1）—（3）之间有何关联？
（3）教材第86页的思考（1）—（4）中，在学生通过充分思考建立了函数关系式后，要注意引导学生对函数和自变量的辨别，进一步强化自变量与常量之间的连接符号，同时要注意（4）中，这有助于纠正学生对正比例函数中正比例系数的错误认识，为准确下定义做好准备.
2.把握好学生的认知规律，高度重视概念的生成过程
在充分体验正比例函数的问题情境后，要注意抽象的逻辑顺序——即先用语言描述，再把常量规定为，再让学生尝试写出数学表达式，在此基础上思考常量满足的条件，最后才给出定义.
3.把握好挖掘概念的多种角度，全面认识正比例函数的意义
在理解正比例函数的意义时，一般情况下，正比例函数的表达式从形式上看等号右边是单项式，并可以从系数不为0和次数为1上去认识，但在特定条件下正比例函数自变量的取值范围或表达式都可能有所不同；从本质上讲这个概念是一个结果定义，即要求最后的表达式应化为形如（为常数，）的形式，因此要认清正比例函数的概念的实质.
五、教学设计
活动1：创设情境
PPT展示教材第86页的问题1中的（1）—（3）.
问题探究
提问1：（2）中变量和常量分别是什么？其对应关系是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
提问2：（2）中自变量与常量按什么运算符号连接起来的？
提问3：（1）与（2）之间有何关系？（2）与（3）呢？
师生行为
行为1：先由学生独立完成问题1中（1）—（3）.教师要解释提问1：尽管有小的出入，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间的对应关系.
行为2：教师：（1）说明了（2）中的函数关系的自变量的取值范围，（2）为（3）提供解决问题的模型.
设计意图：此处的提问1以前面学习的变量和常量、函数为基础引入本课，提问2则由此引入新课，转换研究视角，这样教学环节就比较自然、流畅.
活动2：问题再现
PPT展示教材第86页的思考（1）—（4）.
问题探究
提问1：分别写出（1）—（4）的关系式，它们都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？谁是自变量，谁是函数？
提问2：自变量和常量是用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？
提问3：这4个函数表达式与问题1的函数表达式有何共同特征？请你用语言进行描述．
师生行为
行为1：先由学生独立完成教材第86页的思考（1）—（4）.
行为2：提问3中，教师重点关注：
（1）学生是否很快找出问题中两个变量的函数关系；
（2）学生能否准确地用语言表述；
（3）学生是否有与他人交流、合作的意识.
设计意图：提问2帮助学生认识正比例系数既可以为正，也可以为负，消除在小学形成的正比例系数的错误认识，有助于形成正确的概念.
活动3：形成概念
提问1：如果我们把这个常数记为，你们能用数学式子表达吗？
提问2：对这个常数有何要求呢？为什么？
提问3：请你们尝试对这类特殊函数给出定义.
提问4：这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你们能指出它的系数是什么吗？次数为多少？
提问5：正比例函数(常数)的自变量的取值范围是什么？这与教材第86页的问题1和教材第86页的思考（1）—（4）中的函数自变量的取值范围有何不同？
提问6：如何理解与成正比例函数？反之，(常数)表示什么意义？
提问7：在正比例函数(常数)中，关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数就确定了吗？怎样确定呢？
师生行为
行为1：教师应允许学生充分发表意见，学生相互合作、相互交流，尝试给出正比例函数的定义.
行为2：提问5中，一般情况下正比例函数自变量的取值范围为一切实数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同.
行为3：提问6中，要让学生明白：与成正比例函数(为常数，).
行为4：提问7中，要让学生从函数关系去认识：关键是比例系数，比例系数一确定，正比例函数就确定了；必须知道两个变量、的一对对应值即可确定.从方程角度看，如果三个量、、中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量.
设计意图：从不同角度去认知概念，有助于学生理解概念的内涵，为概念运用打下坚实的基础.
活动4：辨析概念
问题1：教材第87页练习第1题：下列式子，哪些表示是的正比例函数？如果是，请你指出比例系数的值．
补充：（5）；（6）.
问题2：教材第87页练习2.
师生行为
行为1：教师既要关注学生对正比例函数形式的理解，也要关注对变量次数以及比例系数的理解.
行为2：对（6）应看学生能否化简后认识正比例函数，说明正比例函数的定义是一个结果定义，并非形式定义，这是识别正比例函数的方法.
设计意图：补充问题（5）对后面学习一次函数有一定的指导作用，（6）可以帮助学生意识到正比例函数的定义是一个结果定义，为识别概念提供方法.
活动5：判定正误
下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若，则是的正比例函数.（ ）
（2）若，则是的正比例函数.（ ）
（3）若，则关于成正比例函数.（ ）
（4）若，则关于成正比例函数.（ ）
参考答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√.
师生行为
教师要充分暴露学生的问题，追问错误的原因，同时进一步丰富概念的内涵和外延.
行为1：一般情况下，正比例函数的形式为(为常数，)，即自变量次数为1，且常数.
行为2：在特定条件下自变量可能不单独为了，要注意自变量的变化.
设计意图：进一步巩固正比例函数的概念，丰富概念的内涵和外延，达到对概念的深刻理解、灵活掌握.
活动6：理解概念
问题1：如果是关于的正比例函数，则满足__________.
问题2：如果是关于的正比例函数，则_________.
问题3：如果是关于的正比例函数，则_________.
参考答案：问题1：；问题2：2；问题3：4.
师生行为
行为：教师要围绕概念询问结果的由来，暴露学生的思维过程.
设计意图：运用概念，扩大思维量，提高学生辨析概念的能力.
活动7：运用概念
问题1：已知正比例函数，当时，，求出的值.
问题2：若关于成正比例函数，当时，.
（1）求出与的关系式；
（2）当时，求出对应的函数值.
参考答案：问题1：；问题2：（1），（2）.
师生行为
行为：教师要以问题1为基础，引导学生理解问题2中“关于成正比例函数”的意义，同时求“与的关系式”的关键就是求出比例系数的值.
设计意图：达到对概念的活学活用，为以后学习待定系数法做好铺垫.
活动8：课堂小结与作业布置
课堂小结：你们如何理解正比例函数？能从哪几个方面去认识正比例函数？
作业布置：
1.下列函数是正比例函数的是（ ）
A. 　B. C. 　D.
2.下列问题中的与成正比例函数关系的是（ ）
A.圆的半径为，面积为
B.某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/，若某月通话时间为，该月通话费用为元
C.把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入本，第二个抽屉放入本
D.长方形的一边长为4，另一边长为，面积为
3.关于说法正确的是（ ）
A.是关于的正比例函数，正比例系数为
B.是关于的正比例函数，正比例系数为
C.是关于的正比例函数，正比例系数为
D.是关于的正比例函数，正比例系数为
4.若是关于的正比例函数，则________.
5.若是关于的正比例函数，则满足的条件是________.
6.已知关于成正比例函数，当时,，则与的关系式为_____　__.
7.若是关于的正比例函数，试求的值，并指出比例系数.
8.若关于成正比例函数，当时，.试求出与的函数关系式.
参考答案：1.B；2.D；3.D；4.；5.；6.；7.，比例系数为6；8..
师生行为
行为1：引导学生总结.
（1）正比例函数的语言描述和形式特征；
（2）特殊情况下，自变量的范围和表达式会有所不同，要认真体会正比例函数的意义；
（3）可以从语言描述、外形特征、结果形式、函数关系和方程角度等方面去认识正比例函数.
行为2：作业针对正比例函数的概念，在教材“复习巩固”中没有相应习题，故补充这些习题作为作业.
设计意图：通过课堂小结达到学会梳理知识，进一步明确概念的意义，掌握求正比例函数的思想方法，使本课学习内容得到进一步发展；通过补充的作业巩固所学知识，使知识和技能都得到落实和内化.
六、本课点评
正比例函数的意义正如笔者提到的：“是学生第一次比较系统学习函数相关知识，其涉及的研究函数的方法对初中阶段以后学习一次函数、反比例函数、二次函数等都有引领作用”，本课时的核心是正比例函数的概念，是以后研究此函数的性质及其图象的基础.本课教学就只有一个中心——正比例函数的概念，教学中紧紧围绕这个中心，从概念生成、概念理解、概念辨析和概念运用等都对概念教学提供了很好的范例.具体讲有如下几个特点.
1.问题设计精巧，逻辑清晰
首先在概念的准备阶段，不惜用大量的问题串引导学生逼近概念，如“它们都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？谁是自变量，谁是函数？自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？”，这些问题自上而下，从函数这个大前提逐步向特殊函数——正比例函数过渡，为正比例函数的概念的生成提供了充分的保证；其次在概念的生成阶段，先用语言描述共同特征，再规定常数为，“你能用数学式子表达吗？对这个常数有何要求呢？请你尝试对正比例函数给出定义”，这些问题自下而上合理演绎了认知过程，这样定义的形成就水到渠成了.试想：如果没有“先用语言描述”、“规定常数为”和对“常数的要求”，哪来正比例函数的概念呢？
2.概念辨析充分，认识深刻
在理解正比例函数的意义时，除了从形式上分析——是单项式，并从系数和次数上做出了辨析外，还对“如何理解与成正比例函数？反之(常数)表示什么意义？”进行了辨析，为基础练习4做好了充分的准备，并在此基础上通过基础练习1（6）挖掘出正比例函数的定义是一个结果定义，也为确定正比例函数提供了一个判定方法，接着再从基础练习2（4）若，得出是关于成正比例函数的，丰富了概念的内涵．又如“在正比例函数(常数)中关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数就确定了吗？怎样确定呢？”，这些问题可以帮助学生深刻认识确定正比例函数关系的关键以及要把函数与方程联系起来理解正比例函数，也为后面活动7与活动8中的问题的解决奠定了坚实的基础.以上这些具体问题为全面认识正比例函数提供了不同的视角，从而促使学生正确把握概念的内涵与外延.
3.教学活动丰富，渐进展开
在活动1和活动2概念准备阶段，采用了学生主体与教师指导相结合的教学原则，通过学生的充分活动获得基本的活动经验后，教师再对所得结果进行引导；在活动3概念的形成与辨析中，采用教师主导为主的教学策略，通过设置问题串的方式，引导学生最终形成定义并对概念进行深入辨析；在活动4至活动8概念的运用与理解中，采用了学生自主和教师引导的教学方式，通过学生先“悟”，教师再点评开展教学，让学生在做的过程中深刻理解正比例函数的概念的内涵与外延.
4.渗透思想方法，形成能力
本课设计充分让学生经历由具体到抽象再到具体的探索思路历程，不但形成了理性认识――正比例函数的概念，而且获得了今后研究特殊函数的基本思路与方法，从概念的剖析中还获得了判定一个函数是否为正比例函数的方法，同时也获得了如何确定正比例函数关系的方法――待定系数法，以及要善于把函数与方程联系起来解决问题的意识，这些都有利于提高学生的思维能力.
总之，本课设计的整个教学活动中，教学方式灵活多样，学生活动充分，注重能力培养．
6