2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末考试数学(理)试题.doc

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才
学校2018届高三上学期期末考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
2.设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3.若，且为第二象限角，（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量与的夹角为，，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）

A．1 B． C． D．
6.已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．

7.若满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
8.把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）
A.12种 B. 24种 C.36种 D.48种
9.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．

10.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．

11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）
A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙
12.已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足，则 ．
14.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ．
15.已知双曲线的两个焦点为，渐近线为，则双曲线的标准方程为 ．

16.等比数列的前项和记为，若，则 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 中，角的对边分别为，.
（1）求的值；
（2）若，边上的高为，求的值.

18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：
甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133
乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146
（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；
（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.
(注：方差，其中为的平均数）

20.已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.

19.如图，在底面是菱形的四棱锥中,平面，，点分别为的中点，设直线与平面交于点.

（1）已知平面平面，求证：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21.已知函数.
（1）时，求在上的单调区间；
（2）且，均恒成立，求实数的取值范围.

22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线交于两点，且.
（1）求的大小；
（2）过分别作的垂线与轴交于两点，求.

试卷答案
一、选择题
1-5: BCBBB 6-10: DCCAA 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 7 15. 16.
三、解答题
17.（1）∵，∴，∴，∵，∴.
（2）由已知，，∵，∴
又∴
∴ ∴
18.（1）茎叶图略，，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩
（2）由已知，的可能取值为0，1，2，
，，的分布列为（略）
19.（1）∵,平面,平面.
∴平面,∵平面,平面平面∴.
（2）∵底面是菱形，为的中点 ∴
∴ ∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则∴，，
设平面的法向量为，有得
设，则，
则解之得，∴，
设直线与平面所成角为则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）与联立得由得，设，则 ∵,∴
∴，∴ ∴ ，满足题意.
（2）设弦的中点为,则，∵ ∴ ∴，
则，∴，∴ ∴ ∴
∴面积为
21.（1）时，，设，
当时，，则在上是单调递减函数，即则在上是单调递减函数，
∵∴时，；时，
∴在上的单调增区间是，单调减区间是；
（2） 时，,即；
时，,即；
设则
时，，∵，∴在上单调递增
∴时，；时，，∴符合题意;
时，，时，，∴在上单调递减，
∴当时，，与时，矛盾；舍
时，设为和0中的最大值，当时，，
∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾；舍综上，
22.（1）由已知，直线的方程为，∵，，∴到直线的距离为3，则，解之得∵且，∴（2）
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