高二第一次学情.doc

2012—2013高二年级第一学期第一次学情调研
数学试卷 命题人：吉徐华
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1、不等式的解集为_______________________．
【答案】
2、设，，中较大的一个是 (填a，b)．
【答案】b
3、已知1，a，b，c，9这五个数成等比数列，则正数；
【答案】3
4、已知数列满足=1, 且 , 则 等于　　．
【答案】
5、设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为 ．
【答案】6
6、数列是首项为-10，公差为2的等差数列，前项和为，则的最小值为________．
【答案】-30
7、已知正数满足，则当取最大值时的值为____________．
【答案】
8、由不等式组所确定的平面区域的面积等于__________；
【答案】4
9、设等差数列的公差为正数，若则 ．
【答案】105
10、已知下列四个结论：

①若则； ②若,则；
③若则； ④若则。
其中正确的是____________________．
【答案】 ④
11、已知数列的前项和，则此数列的通项___________________．
【答案】
12、（文科）设，若，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
（理科）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
13、（文科）若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
（理科）已知函数，且对于恒成立， 则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
14、（文科）
原题为已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】4
（理科）已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若，则的最大值是 ．
【答案】
二、解答题（本大题共6小题，总分90分）
15、已知关于x的不等式的解集为M.
（1）当时，求集合M；（2）当1ÎM且3时，求实数a的范围.
解：（1）当时，解集为，…………7分
（2）由题意可知：，…………10分
所以 ……………14分
16、已知数列的前项和为，且
（1）若数列是等差数列，且，求使的正整数的最大值；
（2）若数列是等比数列，求公比的值。
解：（1）因为，所以，所以………2分
所以………4分
由得，所以，所以的最大值为7.……7分
（2）因为，所以因为，…………10分
所以，所以。…………14分
17、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
17、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
…………………………………………………4分
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………8分
（2）设该单位每月获利为,
则…………………………………………………………………10分

因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分

18、设等差数列的前项和为,
（1）若，求的值；
（2）（文科）若，求的取值范围．
（理科）若，求的取值范围．
解（1）因为，所以，所以，…………4分
所以；………7分
（2）（文科）……11分
（图不画，扣1分）
的取值范围是；……15分
（理科）……10分
（图不画，扣1分）
的取值范围是；……12分

所以的取值范围是。………15分
19、已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）当时；求方程的解，并猜想当时，方程的解得个数（不必证明）。
（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）由得
当时，恒成立
∴……………2分
当时，得或又
∴……………4分
所以不等式的解集为……………5分
（2）由得
解得……………8分

由得
令
由函数图象知两函数图象共有三个交点，
所以当时，方程有三个解。……………10分
（3）
当时，，，
所以………12分
当时

① 当时，，即，令
时，，所以
时，，所以，
所以……………14分
②当时，，即
所以，………15分
综上，的取值范围是…………16分
（不合并扣1分）
20、已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若对于一切正整数均有成立，求的最小值。
（3）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．
解：（1）在中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得

所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……3分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足．……5分
（2）令：

即，所以对一切正整数均成立。……7分
又因为所以即，所以的最小值为21。………10分

（3）因为Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ …………12分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝ …………………14分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得＜a＜．……………16分。

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