省扬高中高三暑假作业（三）.doc

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省扬高中高三暑假作业（三） 姓名　　　　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
a←5，S←1
S←S×a
a←a－1
结束
a≥2
否
是
开始
输出S

（第3题图）
1．的值等于______.
2．如图所示的流程图中，输出的结果是______.
3．设数列是等差数列, , ,
则此数列前20项和等于____.
4．平面向量与的夹角为，，，则______.
5．函数的最小值是______.
6．计算______.
7．已知
，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为______.
8．将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像．
9．对于,有如下四个命题:
①若 ,则为等腰三角形,
②若,则是直角三角形
③若,则是钝角三角形
④若, 则是等边三角形
其中正确的命题个数是______.

10．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为的＂下确界＂，则函数的＂下确界＂等于______.
11．已知2是1-a和1+a的等比中项，则a+4b的取值范围是______.
12．设G是的重心，且，则角B的大小为______.
13．已知函数是奇函数,若的最小值为,且,则b的取值范围是__________．
14．设函数最大值为，则的最小值为

二、解答题
15．已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．

B
A
E
D
C
F
16． 如图的几何体中，平面，平面，
△为等边三角形， ，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

17．已知等比数列中，公比，且，，分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．

18． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）．试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由．

19． 函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．

20．已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明: 对一切，都有成立．

省扬高中高三暑假作业（三）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卷相应的位置上.
1． 1 2． 120 3． 180 4．
5． 6． －20 7． 8．
9． 1 10． 11． 12． 60°
13． 14．

二、解答题
15．解：（1）∵，∴，
又，且，
∴，． …………………………6分
（2）∵，，
∴，又，
∴， …………………………10分
∴
． …………………………14分

B
A
E
D
C
F
G
16．
（1）证明：取的中点，连结．
∵为的中点，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴． 又，∴．
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面， ∴平面．…………7分
（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面，，∴．
∵，∴又，
∴平面．
∵平面， ∴平面平面．………………14分

17．解：⑴由条件知． 即，
又∴，又．∴
∴． …………………………7分
⑵前项和
∴当时，，∴
当时，，

∴…………………………14分

18．解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：
当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立．
①对于函数模型：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则．
所以f(x)≤9恒成立． …………………………3分
因为函数在[10，1000]上是减函数，所以．
从而不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分
②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则．
所以f(x)≤9恒成立． …………………………9分
设g(x)＝4lgx－3，则.
当x≥10时，，
所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，
所以4lgx－3＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．
故该函数模型符合公司要求． …………………………14分

19．解：（1）令，得，且，
∴函数图像恒过定点． …………………………2分
（2）当时，，
∴，即，
令，得．
x
(0，1)
1
（1，＋∞）

－
0
＋
f(x)

极小值

∴，
∵在）上有解，
∴，即，∴实数b的取值范围为．…………………9分
（3），即，令，
由题意可知，对任意，在恒成立，
即在恒成立．
∵，令，得（舍）或．
列表如下：
x
(0，)

（，＋∞）

－
0
＋
h(x)

极小值

∴，解得．
∴m的最小值为． …………………16分
20．解： (1) ，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………..2分
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以．…………………………………………………………..6分
(2) ，则，………………………………………..8分
设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……………………….10分
因为对一切，恒成立，所以；………………..12分
（3） 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………………………………………………………….14分
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……………………………..16分

14．数列满足，则的整数部分是___▲___. 1
14．答案解析：由题，则，故有，由于且，故，所以，其整数部分是．

1．已知集合，，若，则锐角 ▲ ．
2．若 , ，且为 纯 虚 数，则 实 数 的 值为 ▲ ．
3．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为，则 ▲ 220．
开始

输入
结束
输出

4．命题p：函数在上单调递增，命题q：中，是的充要条件，则是 ▲ 命题．（填“真”“假”） 真
5．平面向量与的夹角为，，，
则 ▲ ．
6．执行如图的程序框图，若输出，则整数的
最小值是 ▲ ．8
7．设，若，则实数
的取值范围是 ▲ ．或
8．
9．设函数，若成等差数列（公差不为零），则 ▲ ．2
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α； ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα； ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号有 ▲ ．①②③④
11．在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围
是 ▲ ．
13．已知，：与：
交于不同两点，且，则实数的值为 ▲ ．
14．已知等比数列满足，，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，则公比的取值集合为 ▲ ．

已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．15．解：（1）∵，∴，
又，且，
∴，． …………………………6分
（2）∵，，
∴，又，
∴， …………………………10分
∴
． …………………………14分

17．(本小题满分14分)
B
A
E
D
C
F
如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

B
A
E
D
C
F
G

17．（1）证明：取的中点，连结．
∵为的中点，∴且．
∵平面，平面，
∴，∴． 又，∴．
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面， ∴平面．…………7分
（2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面，，∴．
∵，∴又，
∴平面．
∵平面， ∴平面平面．………………14分

已知等比数列中，公比，且，，分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
16．解：⑴由条件知． 即，
又∴，又．∴
∴． …………………………7分
⑵前项和
∴当时，，∴
当时，，

∴…………………………14分
17．（本小题满分14分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收
益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单
位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现
有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）．试问这两个函数模
型是否符合该公司要求，并说明理由．

17．解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：
当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立．
①对于函数模型：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则．
所以f(x)≤9恒成立． …………………………3分
因为函数在[10，1000]上是减函数，所以．
从而不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求． …………………………7分
②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则．
所以f(x)≤9恒成立． …………………………9分
设g(x)＝4lgx－3，则.
当x≥10时，，
所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，
所以4lgx－3＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．
故该函数模型符合公司要求． …………………………14分
19．（本小题满分16分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；
（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．
19．解：（1）令，得，且，
∴函数图像恒过定点． …………………………2分
（2）当时，，
∴，即，
令，得．
x
(0，1)
1
（1，＋∞）

－
0
＋
f(x)

极小值

∴，
∵在）上有解，
∴，即，∴实数b的取值范围为．…………………9分
（3），即，令，
由题意可知，对任意，在恒成立，
即在恒成立．
∵，令，得（舍）或．
列表如下：
x
(0，)

（，＋∞）

－
0
＋
h(x)

极小值

∴，解得．
∴m的最小值为． …………………16分
已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明: 对一切，都有成立．
20．解： (1) ，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………..2分
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以．…………………………………………………………..6分
(2) ，则，………………………………………..8分
设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……………………….10分
因为对一切，恒成立，所以；………………..12分
（3） 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………………………………………………………….14分
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……………………………..16分

高三暑假作业（三）　　　奋斗，让我们与众不同。　 第14页