基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析.pdf

引用格式：张居敏，王鹏，邓在京基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析 J.海南大学学报（自然科学版），2 0 2 3，4 1（2）：2 1 8-2 2 5.Citation:Zhang Jumin,Wang Peng,Deng Zaijing.Shear stress-deformation analysis of torsional circular shaftbased on the assumption of multiple thin-walled circular tubes set J.Natural Science Journal of Hainan Univer-sity,2023,41(2):218-225.Jun.2023Vol.41 No.2第4 1 卷第2 期2023年6 月海南大学学报自然科学版NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYDOl:10.15886/ki.hdxbzkb.2023.0024基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力一变形量分析张居敏，王鹏，邓在京（华中农业大学工学院，湖北武汉4 30 0 7 0）摘要：针对材料力学、工程力学等教材中圆轴扭转章节的切应力-变形量公式，提出了一种基于多个薄壁圆管套装假设的新推理方法，导出了厚壁圆管及实心圆轴的切应力公式、单位长度扭转角公式等.提出用薄壁圆管扭转实验测量切应变和切应力参数，并验证两者之间的正比例关系即剪切胡克定律的正确性，从而测量材料切变模量G.提出用受扭薄壁圆管实例辅助证明切应力互等定理.研究结果有助于提高教学质量关键词：材料力学；工程力学；薄壁圆管；圆轴扭转；剪切胡克定律；切应变；力学实验中图分类号：0 34 2文献标志码：A文章编号：1 0 0 4-1 7 2 9(2 0 2 3)0 2-0 2 1 8-0 8受扭圆轴的切应力-变形量理论公式在材料力学、工程力学等力学课程中占有重要地位，也是教学重难点 1-4 当前教材都采用楔形微体理论导出这些公式 5-9 ,方法过于单一，过程有点抽象，初学者不易接受.文献 1-4 给出了楔形微体理论在实际教学中的具体教法建议,指出了平面假设在该理论中的核心性地位，文献 1 0 试图用能量法推导受扭圆轴的切应力-变形量理论公式，该方法理论价值高，但比较抽象、复杂，不便于课堂教学。笔者以薄壁圆管的切应力-变形量理论及公式为基础，基于多个薄壁圆管套装假设，推导了厚壁圆管的切应力-变形量公式，并指出厚壁圆管的切应力-变形量公式完全适用于薄壁圆管，最后以薄壁圆管为例阐述了切应变角的物理含义及具体测量方法，为剪切胡克定律公式的正确性提供了实验验证方法。研究结果有助于提升圆轴扭转理论的内在逻辑关系，有助于课堂教学，文内涉及的所有轴和圆管,其材质及受力都与教材文献 5-9 中圆轴扭转切应力-变形量理论公式的适用对象相同，即满足：均匀性、连续性、各向同性、线性小变形等诸多条件.1薄壁圆管1.1扭转切应力薄壁圆管扭转切应力分析在材料力学、工程力学等教材中一般都有讲解 5-9 ,为保持本文整体上的独立可读性与完整性，并方便论文后半部分对其引用，现做简要介绍.圆管外圆半径与内圆半径的平均值称为平均半径，用R.表示；圆管厚度即外圆半径与内圆半径的差值用8 表示，通常把/R。1/1 0 的圆管称为薄壁圆管，否则为厚壁圆管.设某薄壁圆管两端受到扭矩T的作用，受扭前后分别如图1 所示.在图1 b中沿垂直轴线的1-1 截面假想截断后取左边半圆管为研究对象，并让左边仍然保持截断前的静力学平衡状态.设左边环形断茬面上受到均匀切应力的作用，如图1 c所示，由于壁很薄，可以近似认为切应力沿壁厚均匀分布。收稿日期：2 0 2 2-0 6-2 9基金项目：华中农业大学课程思政示范建设研究课题（sz2021072）作者简介：张居敏（1 9 7 2 一），男，河南南召人，博士，副教授，研究方向：水田机械化耕整，E-mail：50 1 7 1 1 2 8 9 q q.c o m长度扭转角IA219张居敏等：基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析第2 期a受扭前b受扭后tdAdodARoA放大圆管截面上的均匀切应力d圆管截面参数及受力图1薄壁圆管受扭前后对比及横截面上切应力分布图1 中T表示圆管两端面上受到的扭矩；R。表示圆管平均半径；8 表示圆管厚度.在图1 c中，环形切应力流形成的力系向截面圆心0 点简化，力系主矢为零（对称），主矩等于外扭矩T.如图1 d所示，2元2元TTdA.Ro=J,t.R.do.S.Ro=2元Ro.T,0即T(1)T=2元R8这就是薄壁圆管受扭时横截面上切应力计算公式。1.2扭转变形在图1 b中，沿1-1 截面右侧截取长度为dx的一段圆环，放大后如图2 a所示.设受扭后圆环右端面相对于左端面转过的角度为dp，微体abcd距离观察者最近，设该微体上边缘转过的角度为，如图2 b所示（已再次放大）.微体abcd受扭后为abcd.根据观察知道角（即切应变）很小，于是有即IddI=ladltan y=R。d p,t a n y ,doytan y=R(2)式(2)带人剪切胡克定律公式即t=G,则有t=GR。%,带入式(1)得dT(3)dxG.2元R.8:圆管扭转时的变形情况，等号左边为薄壁圆管单位式（3)反应了薄壁圆管扭转时的变形情况，等号左达dx0dxRoddadabdbCa扭转b切应变图2薄壁圆管扭转变形dxt,=GR,do2表示2023年220海南大学学报自然科学版2厚壁圆管2.1扭转变形如图3所示，假设厚壁圆管是多个薄壁圆管的套装组合，其受扭处都存在一个垂直于轴线的刚性圆片，刚性圆片与各薄壁圆管都焊接在一起，外部扭矩作用在刚性圆片上，刚性圆片把外部扭矩分配到各套装薄壁圆管上.各薄壁圆管对应的单位长度扭转角都由式（3）确定，由于各薄壁圆管都焊接在刚性圆片上，所以受扭后其变形步调一致，即单位长度扭转角必然相等，于是由式（3)得dT,T,T,T,(4)dxG.2元R;dRG.2元R2dRG2元R;dRG.2元R,dR其中，T，T,，T,，T.分别表示第1,2,3，n个薄壁圆管端面上受到的刚性圆片分配的扭矩；R，R，R，,R,分别表示第1,2,3,n个薄壁圆管的平均半径;dR表示各薄壁圆管的统一厚度.由中学数学理论知道：=y+n其中x,m都不为零.于是由式(4)得Xmx+mT.dTi=1(5)dxGI,.Z(2元R dR)nG.i=111d其中，,=Z(2元R;dR)=2元R3.dR=元R4元D*(1-4）,d表示厚壁圆管内直径；D232D2文厚壁圆管外直径；d=0时为实心圆轴，a扭转前b扭转后图3厚壁圆管扭转.2扭转切应力厚壁圆管由多个薄壁圆管套装而成，设其中第个薄壁圆管横截面上的切应力为t日式（1）得T,T=(6)2元R?dR由式(4)得带人式(6)得把式（5）带人得dT,dT,GRdxG.2元R;dRdx2元R?dRTTT,=(GRRGI,于是得厚壁圆管横截面上与轴线距离为p的地方切应力为TT,=,P.(7)在式（7）中，p=D时切应力最大，最大切应力为T1TTmax(8)2P221张居敏等：基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析第2 期其中,W,=21,1d元D(1-),=D16D式（5)为厚壁圆管扭转时的变形量即单位长度扭转角计算公式；式（7)和（8)同属切应力计算公式，这些公式与教材上基于楔形微体理论推导出的公式相同 5-9 这种相同性并非偶然，因为2 种推理方法都满足扭转平面假设，即圆轴受扭变形后横截面仍然保持平面，其形状、大小、间距都不改变，而且半径仍然为直线段 5-9 .笔者把厚壁圆管看作由多个薄壁圆管套装在一起，这些薄壁圆管受扭后变形步调一致，即单位长度扭转角相同，所以各薄壁圆管之间没有相对运动，也就没有摩擦力.或者说不计摩擦，把厚壁圆管直接看作由多个光滑的薄壁圆管套装在一起.另外，扭转平面假设提到圆轴受扭后形状、大小、间距都不变，即直径不变、轴向长度不变，说明直径方向和轴线方向的正应变都为零，由公式=E8（即正应力等于弹性模量乘以正应变）可知：这2 个方向的正应力都为零.再由公式=FIA（即正应力等于拉力或压力除以受力面积）可知，受扭后圆轴在直径方向和轴线方向都不受力，说明将厚壁圆管看作由多个薄壁圆管套装在一起时，各薄壁圆管之间不存在直径方向上的相互压力或拉力，没有压力就没有摩擦力，即各薄壁圆管相互之间没有摩擦力.3厚壁圆管切应力-变形量公式对薄壁圆管的适用性分析薄壁圆管切应力-变形量计算由式（1)和(3)确定；厚壁圆管切应力-变形量计算由式（5）、（7)和(8)确定.实际上式（5）和（8）不但适用于厚壁圆管，也适用于薄壁圆管。例1 设某薄壁圆管平均半径为R，壁厚为8,两端受到扭矩T作用.试分别按薄壁圆管和厚壁圆管计算切应力-变形量，并比较2 种算法的差距，解令S/R=入即S=入R。，入为常数.按厚壁圆管处理时内外直径及Ip、W,依次为d2-2d=2R-S=R(2-入),D=2R+8=R。(2+),D2+元，112元D元R(2+2)1323211元D元R(2+2)11616依次带人式（1）和（8）得2 种算法的最大切应力TTTT=T2元R82元R元W,，max令,=Tmax-t100%，整理化简得Tmax(2-2)2(2+2)100%,(9)T其中，,表示2 种算法应力差值在厚壁圆管最大切应力中所占百分比.再由式(3)和(5)得2 种算法的单位长度扭转角dTTdTdxG2元R5G.2元Ra(dxGI,;12dododxdx2100%，整理化简得dedx2100%,(10)4其中d分别表示2 种算法对应的单位长度扭转角；。表示扭转角差值在厚壁圆管扭转角中所dxdx2占百分比。由式（9)和（1 0)可知，入趋近零时3.,5。也都趋近零.这说明薄壁圆管管壁越来越薄时，无论用薄壁圆2023年222海南大学自然科学版管公式还是用厚壁圆管公式，由此计算出的切应力及单位长度扭转角差距都会越来越小。表1 列出了不同入值时的.和。值，进一步证实了此观点。表1不同入值时的5、5,值入1/101/201/301/401/501/605./%4.522.381.611.220.980.825.1%-0.250 0-0.062 5-0.027 8-0.015 6-0.010 0-0.0069 4由于假设薄壁圆管扭转切应力沿壁厚均匀分布，所以管壁越薄则薄壁圆管的切应力-变形量公式就越准确.厚壁圆管的切应力-变形量公式是由积分得到的：把圆管划分为无穷多个厚度无限趋近零的薄壁圆管，再依次用薄壁圆管公式计算切应力-变形量，然后叠加.因此有理由认为，厚壁圆管切应力-变形量公式也适用于薄壁圆管，而且计算精度更高.例2两圆管套装在一起，内管内外直径依次为d、d,，外管内外直径依次为d,、D.两圆管长度相等、切变模量都为G,两圆管左端面焊接在同一个刚性端盖上、右端面焊接在另一个刚性端盖上，在两端刚性端盖上各加一个旋向相反的扭矩T.求：1)右端盖相对于左端盖绕圆管轴线转过的角度；2)圆管的最大切应力.解1）内外圆管右端面相对于左端面绕轴线转过的角度相同，所以两者的单位长度扭转角相同。由式（5）得dTTdxG1.lGI,2(11)PD2其中,T和T,分别表示内、外圆管受到的扭矩,Ip受到的扭矩，I,和I分别表示内、外圆管的极惯性矩11I,I=32(ndf-d),lp2=(元D4-元d;).32n+n用中学数学公式兰简化式(1 1),Xmx+mdT(12)dxGI,其中,T=T+T,依题意知T为施加在圆管两端端盖上的扭矩;I,=Ip,+Ip，即111(元d+-元d)+(元D4-元d;)(元D4-元d*).323232P2）内外圆管各自的最大切应力都在外壁处，由式(8)得内外圆管最大切应力依次为 mx2plT2TD,结合式(1 1)和(1 2),则有Tmax1TD.因此，切应力最大值发生在外圆max22max222管外壁处，即TTmax=T,(13)max2max2W，PP21,1D(1-*),=d其中,W,D16D21d元D(1-),=D16D从例2 计算结果即式（1 2）和（1 3可知，2 个圆管套装后的单位长度扭转角和最大切应力，等同于套装后整体上作为一个圆管的单位长度扭转角和最大切应力.同理，多个圆管套装后整体上等同于一个圆管，或者说一个厚壁圆管可以分解为多个（甚至无穷多个）薄壁圆管的套装组合.例2 间接验证了“基于多个薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析”理论及公式的正确性。4用薄壁圆管扭转实验检验剪切胡克定律的正确性设某薄壁圆管两端受到扭矩T作用，如图4 a所示，受扭前圆管表面平行于轴线的母线如图中虚线所示，受扭后母线如图中实线所示，变为螺旋线.薄壁圆管切应变即角如图4 a所示，大小由式（2)确定.由式（2)可知，切应变角实际上就是母线在薄壁圆管受扭后所形成螺旋线的螺旋角正切值，由于其很小，故即223第2 期张居敏等：基于多薄壁圆管套装假设的圆轴扭转切应力-变形量分析角近似等于其正切值.如图4 b所示，在直角三角形ABC中，AB边代表薄壁圆管的轴向长度L，令BC，9 角表示受扭后薄壁圆管右端面相对于左端面绕轴线转过的角度，结合式（2）,则有doRoytany=1(14)dxLRo2元R当=2时，L就等于螺旋线的螺距H,即 tan=可以想象，螺距H相对于平均半径R。而言LH是很大的.Ba扭转切应变角6螺旋角图4薄壁圆管扭转后的切应变角当前教材一般都没有给出切应变参数的测量方法，也没有给出切应变与切应力之间符合正比例关系即剪切胡克定律公式的正确性验证方法，而是直接理所当然地给出剪切胡克定律公式并加以引用 5-9 由于缺乏必要的验证性实验，而让切应变这一物理参数显得很抽象，甚至有初学者怀疑该参数的实际可测性。从式(1 4)即切应变角的表达式可以看出，该参数看得见、摸得着，是可以实际测量的.若把图4 b所示直角三角形ABC纸片粘贴在图4 a所示薄壁圆管的圆柱面上，让直角边AB与受扭前圆柱母线重合，则贴合后斜边AC就与薄壁圆管受扭后母线形成的螺旋线重合.材料力学课程实验一般有2 个：拉伸和扭转.建议把扭转试验中的实心圆轴改为薄壁圆管或另外增加薄壁圆管扭转实验.在可行性方面，文献 1 1 报道了用百分表测量铝制薄壁圆管剪切模量G的方法；文献 1 2 提到对圆管两端加柱塞，以辅助装夹圆管.式（1)为薄壁圆管受扭后横截面上切应力的计算公式；式（1 4)为薄壁圆管受扭后切应变角的计算公式.由剪切胡克定律可知与成正比，比例系数即为材料的切变模量G.因此，可以用薄壁圆管扭转实验测量切应变角和切应力各自的具体值、可以检验剪切胡克定律的正确性、可以测量材料的切变模量G.如果再结合材料力学中拉伸实验所测的弹性模量E、泊松比的值 1 3,还可以检验参数G、Eu 三者之间的关系，即式（1 5)的正确性.EG=(15)2(1+M)5用薄壁圆管辅助证明切应力互等定理设某薄壁圆管两端受到扭矩T作用，如图1 b所示，沿1-1 截面假想截取长度为dx的圆环微段，放大后如图2 a所示，再假想割取距观察者最近的微体abcd，该微体割取前后受力平衡，如图5所示（微体已放大）.微体左、右两侧面受到的切应力大小由式（1)确定、方向则相反，切应力乘以侧面面积得切力，于是左、右两侧面的切力大小相等、方向相反，形成顺时针力偶，为使微体受力平衡，顶面和底面必有反向切力形成逆时针力偶，设顶面和底面的切应力为t，,则有ZM,=0=t(dy0)dx-t(dx)dy=0=t dv=t dv,dxb图5切应力互等定理2242023年海南大学学报自然科学版T=ti,(16)其中,dx,dy,8分别表示微体的长度、宽度和厚度;du表示微体体积，du=dxdyS.式（1 6)即为切应力互等定理表达式，即在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力大小相等，方向都指向或背离交线.图5中微体左、右两侧面上的切应力由式（1)确定；顶面和底面上的切应力T，是通过静力学平衡理论求解得到。如果t，不存在即,=0，则微体将不再受力平衡而必将加速运动，这与客观现实不相符，因此z,必然存在.对微体列静力学平衡方程，求解得T,=T，从而得出切应力互等定理。整个逻辑推理过程理顺成章，很有说服力，易于被初学者接受.有些教材在完全忽略图1 b、图2 a情况下直接在绪论中利用图5所示微体证明切应力互等定理 7-8 ，此做法可能不便于学生自主学习。6小结1）以薄壁圆管的切应力-变形量理论公式为基础，把厚壁圆管和实心圆轴看作是由多个薄壁圆管套装在一起，由此导出了厚壁圆管和实心圆轴的切应力-变形量公式，结果与教材中基于楔形微体理论导出的公式相同。2）厚壁圆管的切应力-变形量公式也适用于薄壁圆管，而且计算精度更高。3）对于当前材料力学课程中的扭转实验，建议用薄壁圆管替代实心圆轴，或另外增加薄壁圆管扭转实验。这样可以验证剪切胡克定律的正确性，可以测量切应力、切应变及材料切变模量G.切应变角是薄壁圆管母线在圆管受扭后所形成螺旋线的螺旋角。4）建议用受扭薄壁圆管辅助证明切应力互等定理，否则会让证明过程中涉及到的微体成为无本之木、无源之水，初学者甚至会怀疑这种微体在工程实际中的客观存在性.参考文献：1】张丽华.基于研究性课堂教学的圆轴扭转切应力公式的推导 J.力学与实践，2 0 1 2,34（6)：59-6 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430070,China)Abstract:In the report,aimed at the shear stress-deformation formulas in the circular shaft torsion chapter ofmechanics textbook,a new derivation method based on the hypothesis of multiple thin-walled circular tubes wasproposed,and the strength and stiffness formulas of thick-walled circular tubes and solid circular shafts were de-rived.The torsion experiment of thin-walled circular tubes was performed to determine the shear strain and shearstress parameters,the correctness of the proportional relationship between them,the shear Hooke s law,wereverified.So,the shear modulus G was obtained,the example of twisted thin-walled circular tube was used toprove the reciprocal theorem of shear stress.Our data are helpful for improving the teaching effects.Keywords:mechanics of materials;engineering mechanics;thin-walled tube;torsion of circular shaft;ShearHooke s Law;shear strain;mechanical experiment