双参数C半群及其生成和表示定理.pdf

1引言为求解无穷维空间上的算子值函数方程T(s+t)=T(s)T(t),s,t沂R+,T(0)=IHille 于 1936 年开启了对一些特殊算子半群的研究袁 使得 Banach 空间上的算子半群得以蓬勃发展遥 1948 年 K.Yosida 和 E.Hille 提出的无穷小生成元的概念袁建立了基本的表示定理袁得到了算子半群很多重要的结论袁其在发展方程尧调和分析尧散射理论尧量子场论等领域中有着广泛地应用遥 而继C0半群之后袁Arent 提出的积分半群1和 Davis 和Pang 提出的 C 半群2是单参数算子半群理论逐渐发展起来的两个主要分支袁其理论已日臻完善3-7遥近年来袁双参数以及 n 参数半群理论也得到了很多重要的结论袁并有着广泛地应用8-18遥 而算子半群中的生成定理和指数公式尧表示问题依然是多参数算子理论中的两类热门且有意义的数学问题遥 C 半群是强连续半群的一个重要推广遥 M.Janfada 定义了双参数 C 半群袁 并且讨论了两参数抽象柯西问题解的存在和唯一性10曰Mohamed Akkouchi 等展示了 Banach 空间上双参数半群的理论框架袁 并推广了单参数算子半群的 Hille-Yosida 定理11曰薛双尧赵华新等在 Banach 空间上以单参数 C0群为基础袁结合双参数 C 半群的无穷小生产元与 C 群的性质袁提出双参数 C 群的无穷小生成元概念袁 并讨论了双参数有界 C 群无穷小生成元的性质袁 得出双参数有界线性算子在(0,0)处的全微分与 C-1的积即为双参数有界 C 群的无穷小生成元12曰姚岚尧赵华新等不仅把单参数的 C 半群推广到多参数的 C 半群袁 而且讨论了多参数的 C 半群对生成元的连续依赖等一些关于多参数半群生成元的性质13曰根据经典算子半群理论中的方法袁毕伟在多参数 n 阶 琢次积分 C 半群概念的基础上袁引入了多参数 n 阶 琢次积分 C 半群无穷小生成元的定义袁 并给出了多参数 n 阶 琢 次积分 C 半群的生成定理14曰蔡亮尧宋晓秋等根据单参数 C0半群的指数公式和 Yosida 逼近袁 证明了双参数 C0半群的表示问题中的指数公式15曰赵华新尧赵拓等利用 C 半群的 Yosida 逼近袁讨论了双参数 C 半群的 Yosida 逼近指数公式袁 其证明方法类似于 C0半群表示定理中拆分积分区间的双参数 C 半群及其生成和表示定理秦喜梅1,2袁 张玉1袁 陈佩树1袁 葛国菊1渊1.巢湖学院数学与大数据学院袁 安徽合肥238024曰2.中国科学技术大学管理学院袁 安徽合肥230026冤摘要院算子半群作为泛函分析的一个分支袁在微分方程尧概率论尧量子理论等方面有着广泛的应用遥如何利用生成元的特性来研究算子半群与生成元之间的依赖关系尧 根据指数公式涉及的表达形式来研究算子半群的表示问题袁这些都是算子半群理论讨论的经典话题遥 因此对每一个半群袁它的生成定理尧表示定理都是算子半群理论中研究的重要内容遥 本文利用经典的算子半群理论和双参数 C0半群中的方法袁把强连续半群生成元的相关特性推广至双参数 C 半群袁讨论了双参数 C 半群生成元的性质及生成定理曰受强连续半群表示定理中指数公式的启发袁根据单参数 C 半群的表示定理和 C 预解式的性质袁证明了双参数C 半群的表示定理遥关键词院双参数 C 半群曰生成元曰指数有界中图分类号院O177.2文献标识码院A文章编号院1673-260X渊2023冤05-0029-07Vol.39 No.5May 2023赤 峰 学 院 学 报 渊 自 然 科 学 版 冤Journal of Chifeng University(Natural Science Edition)第 39 卷第 5 期2023 年 5 月收稿日期院2023-03-03基金项目院安徽高校自然科学研究重点项目(KJ2021A1032袁2022AH051718)曰巢湖学院重点建设学科(kj22zdjsxk01)曰巢湖学院高水平科研成果奖培育项目(kj20zkjp04)曰巢湖学院科研项目(XLY-202104)曰巢湖学院校级教学研究重点项目(ch21jxyj02)29-办法16,17曰仓定帮等借助概率论这一工具袁采用 Rie鄄mann-Stieltjes 积分尧矩生成函数等方法袁给出了双参数算子半群的概率逼近指数公式18遥 本文把强连续半群生成元的相应性质推广至双参数 C 半群袁得到双参数 C 半群生成元的性质及生成定理袁并借助 C 半群的表示定理和 C 预解式的性质袁 证明了双参数 C 半群表示问题中的指数公式袁 此证明方法更具一般性遥设空间 X 是一个 Banach 空间袁且 C沂B(X)是单射算子袁其中 B(X)表示 X 上的有界线性算子全体所构成的 Banach 空间遥所有算子均为线性算子遥R+表示非负实数集遥2半群的基本概念和表示定理定义 2.1称S(t)t逸0是指数有界的 C 半群袁如果S(t)t逸0是 X 上强连续的有界线性算子族袁且满足(i)S(0)=C;(ii)S(s,t)C=S(s)S(t)袁坌s,t沂R+;(iii)存在常数 M逸0 和 a逸0 使得|S(t)|臆Meat袁坌t沂R+遥引理 2.22设S(t)t逸0指数有界的 C 半群袁算子 Z 是其生成元袁则 Z 在 X 上是闭算子袁且S(t)t逸0的 C 预解式 L姿(Z)=(姿-Z)-1C=肄0乙e-姿tS(t)dt 存在袁且满足|(姿-Z)-nC|臆M(姿-a)n袁n=0,1,2,噎,姿a遥引理 2.33设S(t)t逸0指数有界的 C 半群袁算子 Z 是其生成元袁则S(t)x=limn寅肄(I-tnZ)-nCx袁坌x沂X袁且极限关于 t 在 R+的任何有界子集上是一致的遥引理 2.410设 A 是指数有界的单参数 C 半群S(t)t逸0的生成元袁令A姿=姿AL姿(A)=姿2L姿(A)-姿C袁则S(t)x=lim姿寅肄CetA姿x,坌x沂D(A)遥注 1若 C 有稠的值域袁则 D(A)=X2遥 此时S(t)x=lim姿寅肄CetA姿x袁坌x沂X遥3双参数 C 半群3.1双参数 C 半群的定义定义 3.110算子族W(s,t)s,t沂R+奂B(X)称为指数有界的双参数 C 半群(以下简称为双参数 C 半群)袁如果其满足院(i)W(0,0)=C曰(ii)W(s+s,t+t)C=W(s,t)W(s,t)袁坌s,s,t,t沂R+曰(iii)lim(s,t)寅(s,t)W(s,t)x=W(s,t)x袁坌x沂X曰(iv)存在 M,棕0袁使得|W(s,t)|臆Me(s+t)棕遥注 2当 C=I 时袁双参数 C 半群即为双参数 C0半群8,9遥下面的例子说明指数有界的双参数 C 半群的存在性遥例 1任取 C0半群T(s)s沂R+和指数有界的 C半群S(t)t沂R+遥 对任意的 s,t沂R+袁令W(s,t)=T(s)S(t)遥当 T(s)和 S(t)可交换时袁W(s,t)s,t沂R+是指数有界的双参数 C 半群遥 特别当 C=I 时袁W(s,t)s,t沂R+是双参数 C0半群遥证明由于T(s)s沂R+是 C0半群袁S(t)t沂R+是指数有界的 C 半群袁则W(0,0)=T(0)S(0)=IC=C袁且分别存在 M1,M2,棕1,棕20袁使得|T(s)|臆M1e棕1s袁|S(t)|臆M2e棕1t袁坌s,t逸0遥令 M=M1窑 M2袁棕=max棕1,棕2袁则|W(s,t)|臆Me棕(s+t)袁从而定义 3遥 1 中的(i)和(iv)成立遥 另外由T(s)s沂R+和S(t)t沂R+的强连续性得定义 3.1 中的(iii)成立遥由于 T(s)和 S(t)可交换袁故有W(s+s,t+t)C=T(s+s)S(t+t)C=T(s)T(s)S(t)S(t)=T(s)S(t)T(s)S(t)=W(s,t)W(s,t)袁这就证明了定义 3.1 中的(ii)成立遥然而并不是每一个双参数 C 半群都是指数有界的遥 下面给出一个非指数有界的双参数 C 半群的例子遥例 2设 XL2(R)袁且 H 是 X 上的无界自伴算子袁满足数理研究30-Hf(x)=sf(x)袁坌f沂X袁x沂R遥令 C=e-H2袁使得 Cf(x)=e-x2f(x)袁坌f沂X袁x沂R遥 定义W(s,t)=eH(s+t)e-H2袁坌s,t沂R+袁则|W(s,t)|=supex(t+s)-x2袁x沂R=supe-(x-12(t+s)2+(t+s)24袁x沂R=e(t+s)24袁因此W(s,t)s,t沂R+是指数无界的双参数 C 半群遥3.2双参数 C 半群生成元的性质设W(s,t)s,t沂R+是一个双参数 C 半群袁令 U(s)=W(s,0)袁V(t)=W(0,t)袁则由定义 1 知U(s)s沂R+和V(t)t沂R+分别是指数有界的单参数 C 半群袁 且对于任意 s,t沂R+袁有U(s)V(t)=V(t)U(s)袁坌s,t沂R+遥简记双参数 C 半群W(s,t)s,t沂R+的生成元为(H1,H2)袁其中 H1和 H2分别是 U(s)和 V(t)的生成元遥将强连续半群和 C 半群生成元的相关性质推广至双参数 C 半群的情形可得如下结果遥定理 3.2设(H1,H2)生成一个双参数 C 半群W(s,t)s,t沂R+袁则对任意的 x沂X 有(i)任意 t逸0袁V(t)x沂D(H1)且 H1V(t)x=V(t)H1(x)袁任意 s逸0袁U(s)x沂D(H2)且 H2U(s)x=U(s)H2(x)曰(ii)任意 s,t逸0袁有 W(t,s)x沂D(H1)疑D(H2)并且L姿(H1)W(s,t)x=W(s,t)L姿(H1)x,L姿(H2)W(s,t)x=W(s,t)L姿(H2)x遥(iii)任意 s,t逸0袁有lim(h,k)寅(0,0)1hkh0乙k0乙W(s,t)xdsdt=Cx遥证明(i)由 V(t)的强连续性得H1V(t)x=C-1lims寅0U(s)V(t)x-CV(t)xs=C-1V(t)lims寅0U(s)x-Cxs=C-1V(t)CH1x=V(t)H1x遥同理可得另一个结论成立遥(ii)坌姿棕袁根据 W(s,t)的强连续性得L姿(H1)W(s,t)x=肄0乙e-姿rW(r,0)W(s,t)xdr所以L姿(H1)W(s,t)x=W(s,t)肄0乙e-姿rW(r,0)W(s,t)xdr=W(s,t)L姿(H1)x遥同理有 L姿(H2)W(s,t)x=W(s,t)L姿(H2)x遥(iii)首先1hkh0乙k0乙W(s,t)xdsdt-Cx=1hkh0乙k0乙(W(s,t)-Cx)dsdt遥由于映射(t,s)|寅W(t,s)强连续袁则lim(h,k)寅(0,0)|W(s,t)x-Cx|=0遥因此袁坌着0袁存在 啄0袁当 0s2+t2姨啄 时袁有|W(s,t)x-Cx|着遥从而当 0s2+t2姨啄 时袁有1hkh0乙k0乙(W(s,t)x-Cx)dudv臆1hkh0乙k0乙|W(s,t)x-Cx|dudv0 使得对任意的 s,t逸0 有|W(s,t)|臆M0袁则(i)坌x沂D(H1n)袁有|W(0,t)H1n-1x|2臆4M02窑|H1n-2x|窑|H1nx|曰(ii)坌x沂D(H2n)袁有|W(s,0)H2n-1x|2臆4M02窑|H2n-2x|窑|H2nx|遥证明(i)根据10中定理 2.3 知W(s,t)x-W(0,t)x=s0乙W(滋,t)H1xd滋,x沂D(H1)袁故对任意的 x沂D(H1n)袁有W(s,t)H1n-1x-W(0,t)H1n-1x=s0乙W(滋,t)H1xd滋袁所以W(s,t)H1n-2x-W(0,t)H1n-2x数理研究31-=s0乙W(0,t)H1n-1x+滋0乙w(v,t)H1nxdv蓸蔀d滋袁从而W(s,t)H1n-2x-W(0,t)H1n-2x=sW(0,t)H1n-1x+s0乙滋0乙W(v,t)H1nxdvd滋袁交换积分顺序得W(s,t)H1n-2x-W(0,t)H1n-2x=sW(0,t)H1n-1x+s0乙sv乙W(v,t)H1nxd滋dv=sW(0,t)H1n-1x+s0乙(s-v)W(v,t)H1nxdv遥由此可得|W(0,t)H1n-1x|臆1s(|W(s,t)H1n-2x|+|W(0,t)H1n-2x|)+1s|s0乙(s-滋)d滋|窑|W(v,t)H1nx|臆2M0s窑|H1n-2x|+M0s2|H1nx|遥如果|H1nx|=0袁则|W(0,t)H1n-1x|=0袁此时结论成立曰如果|H1nx|屹0袁令 s=2|H1n-1x|12窑|H1nx|-12袁则可得|W(0,t)H1n-1x|2臆4M02窑|H1n-1x|窑|H1nx|遥(ii)由10中定理 2.3 知宰渊s,t冤x-W(s,0)x=s0乙W(s,滋)H2xd滋,x沂D(H2)袁采用(i)中同样的方法可得结论(ii)成立遥3.2双参数 C 半群的生成定理算子半群的生成定理是算子半群理论的核心问题之一遥 对于单参数的强连续半群袁Hille-Yosida定理是半群理论的最基本定理之一袁 是指某个 C0类算子半群由其生成元生成该算子半群的充分必要条件的定理袁其形式有多种遥 结合 C0类算子半群的一些结论袁推广 C 半群的生成定理袁给出双参数C 半群的两个生成定理遥定理 3.4设U(s)s沂R+和V(t)t沂R+分别是空间 X上指数有界的单参数 C 半群袁H1和 H2分别是它们的生成元遥 若 C 有稠的值域袁则 W(s,t)=U(s)V(t)是双参数 C2半群当且仅当存在 棕0袁使得(棕,肄)奂籽(Hi)袁i=1,2,姿1,姿2逸棕袁有L姿1(H1)L姿2(H2)=L姿2(H2)L姿1(H1)遥证明若已知W(s,t)s,t沂R+是双参数 C2半群袁则U(s)V(t)=W(s,0)W(0,t)C-2=W(0,t)W(s,0)C-2=V(t)U(s)遥已知 H1和 H2分别是指数有界的单参数 C 半群U(s)s沂R+和V(t)t沂R+的生成元袁则由引理 2.2 知存在 棕1袁棕20袁使得对任意的 姿1逸棕1袁姿2逸棕2袁有 L姿1(H1)x和 L姿2(H2)x 存在袁且有L姿1(H1)x=肄0乙e-姿1sU(s)xds袁L姿2(H2)x=e-姿2tV(t)xdt遥因此L姿1(H1)V(t)x=肄0乙e-姿sU(s)V(t)xds=肄0乙e-姿sV(t)U(s)xds=V(t)肄0乙e-姿sU(s)xds=V(t)L姿1(H1)x遥取 棕=max棕1,棕2袁则坌姿棕袁L姿1(H1)有界袁i=1,2袁从而L姿1(H1)L姿2(H2)x=L姿1(H1)肄0乙e-姿2tV(t)xdt=肄0乙e-姿2tL姿1(H1)V(t)xdt=肄0乙e-姿2tL姿1(H1)xdt=L姿2(H2)L姿1(H1)x遥必要性证明完毕遥若存在 棕0袁使得(棕,肄)奂籽(Hi)袁坌姿1,姿2逸棕袁i=1,2袁有 L姿1(H1)和 L姿2(H2)存在且可交换袁则 H1姿1和 H2姿2也可交换袁其中 Hi姿i=袁姿i2L姿i(Hi)-姿iC袁i=1,2遥 根据引理2.4 得袁U(s)x=lim姿1寅肄CesH1姿1x袁V(t)x=lim姿2寅肄CetH2姿2x遥由此可得U(s)V(t)x=lim姿1寅肄CesH1姿1V(t)x袁所以U(s)V(t)x=lim姿1寅肄lim姿2寅肄CesH1姿1CetH2姿2x数理研究32-=lim姿1寅肄lim姿2寅肄CetH2姿2CesH1姿1x=lim姿1寅肄V(t)CesH1姿1x=V(t)U(s)x袁再由定义 3.1 知 W(s,t)=U(s)V(t)是双参数的 C2半群遥注 3若 C2=C袁 此定理就是双参数 C 半群的生成定理遥定理 3.5设W(s,t)s,t沂R+是双参数 C 半群袁其中 W(s,t)满足|W(s,t)|臆Me棕1s+棕2t袁M,棕1,棕20袁若(H1,H2)是W(s,t)s,t沂R+的生成元袁则(i)H1,H2在 X 上是闭算子袁且L姿1(H1)L姿2(H2)=L姿2(H2)L姿1(H1)袁姿1棕1袁姿2棕2曰(ii)(棕1,+肄)奂籽(H1)袁(棕2,+肄)奂籽(H2)且|(姿1-H1)-nC|臆M(姿-棕1)n袁姿1棕1袁n=0,1,2,噎,|(姿2-H2)-nC|臆M(姿2-棕2)n袁姿棕2袁n=0,1,2,噎遥反之袁若存在 M,棕1,棕20 使得(i)和(ii)成立袁且 C有稠的值域时袁(H1,H2)生成一个指数有界双参数 C2半群W(s,t)s,t沂R+:|W(s,t)|臆M2e棕1s+棕2t遥证明若(H1,H2)是双参数 C 半群W(s,t)s,t沂R+的生成元袁令U(s)=W(s,0)袁V(t)=W(0,t)袁则H1和 H2分别是指数有界的单参数 C 半群U(s)s沂R+和V(t)t沂R+的生成元袁两者可交换袁且满足|U(s)|=|W(s,0)|臆Me棕1s袁|V(t)|=|W(0,t)|臆Me棕2t遥由于L姿1(H1)L姿2(H2)x=肄0乙e-姿1sU(s)L姿2(H2)xds,所以L姿1(H1)L姿2(H2)x=肄0乙e-姿1sU(s)(肄0乙e-姿2tV(t)xdt)ds=肄0乙肄0乙e-姿1se-姿2tU(s)V(t)xdtds遥同时L姿2(H2)L姿1(H1)x=肄0乙e-姿2tV(t)L姿1(H1)xdt=肄0乙e-姿2t渊肄0乙e-姿1tU(s)xds)dt=肄0乙肄0乙e-姿1te-姿2tV(t)U(s)xdsdt遥因为 U(s)和 V(t)可交换袁故根据 Fubini 定理得L姿1(H1)L姿2(H2)x=L姿2(H2)L姿1(H1)袁再根据引理 2.2 知结论成立遥反之袁若存在 M,棕1,棕20 使得(i)和(ii)成立袁且 C有稠的值域时袁由 H1,H2半群的 Hille-Yosida 定理2知袁H1,H2分别是指数有界的单参数 C 半群的生成元袁设为U(s)s沂R+和V(t)t沂R+袁且|U(s)|臆Me棕1s袁|V(t)|臆Me棕2t遥令 W(s,t)=U(s)V(t)袁则由定理 3.4 知 W(s,t)是指数有界的 C2半群袁且满足|W(s,t)|臆Me棕1s+棕2s遥3.3双参数 C 半群的表示定理在实数域中有重要极限之limx寅肄(1+1x)x=e袁而对于强连续单参数算子值方程 T(s+t)=T(s)T(t)袁s,t沂R+的连续解具有类似于指数函数的形式袁C0半群可以用其生成元来表示相应算子半群袁即为T(t)x=limn寅肄(I-tnA)-nx袁x沂X袁其中 T(t)是 C0半群袁A 是其生成元遥 由引理 2.3 知袁对于 C 半群也有类似的极限表示形式遥 这种表示形式便于用分析手段来研究算子半群的结构遥受此启发袁 以下讨论双参数 C 半群如何用其生成元来表示的问题遥定理 3.6设W(s,t)s,t沂R+是双参数 C 半群袁则任意 x沂X 有W(s,t)x=limn寅肄(I-snH1)-n(I-tnH2)-nC2x袁且极限关于(s,t)在 R2+的任意紧子集上是一致的遥证明任取 S,T沂R+袁由 S 和 T 的任意性袁只需证定理在0,S伊0,T奂R2+上成立遥由于W(s,t)s,t沂R+是双参数 C 半群,则存在 M1,M2,棕1,棕20袁使得|U(s)|臆M1e棕s和|V(t)|臆M2e棕t袁其中U(s)=W(s,0)袁V(s)=W(0,t)分别是单参数 C 半群遥因此|U(s)|臆M1e棕1S袁|V(t)|臆M2e棕1T袁坌(s,t)沂0,S伊0,T遥(1)数理研究33-根据引理 2.3 知U(s)x=limn寅肄(I-snH1)-nCx袁V(t)x=limn寅肄(I-tnH2)-nCx(2)且极限分别关于 s沂0,S和 t沂0,T是一致的遥坌着0袁令 着1=着3M1e棕1S袁则存在 N10袁坌m逸N1袁有|V(t)x-(I-tmH2)-mCx着1袁坌t沂0,T遥(3)由引理 2.2 知袁当 0s0袁使得(nSnS-棕1)n臆M軗遥 令 M3=M軗窑 M1袁则有|(I-snH1)nC|臆M3袁坌s沂0,S(4)同理存在 M40袁使得|(I-tnH2)nC|臆M4袁坌t沂0,T(5)令 着2=着3M3袁则存在 N20袁坌n,m逸N2袁有|(I-tnH2)-nCx-(I-tmH2)-mCx|臆着2袁坌t沂0,T(6)令 着3=着3M4由(2)知 U(s)x=limn寅肄(I+snH1)-nCx袁则存在 N30袁当任意的 n逸N3时袁对任意的 s沂0,S袁有|U(s)x-(I-snH1)-nCx|臆着3遥(7)取 N=maxN1,N2,N3袁坌(s,t)沂0,S伊0.T袁坌n逸N袁由(1)和(3)得|U(s)V(t)x-U(s)(I-tNH2)-NCx|臆|U(s)|窑|V(t)x-(I-tNH2)-NCx|臆M1e棕1S窑 着1臆M1e棕1S窑 着1窑着3M1e棕1S=着3曰由(5)和(7)得|U(s)(I-tNH2)-NCx-(I-snH1)-nC(I-tNH2)-NCx|臆|(I-tNH2)-NC|窑|U(s)x(I-snH1)-nCx|臆M4窑 着3=M4窑着3M4=着3曰由(4)和(6)得|(I-snH1)-nC(I-tNH2)-NCx-(I-snH1)-nC(I-tnH2)-nCx|臆|(I-snH1)-nC|窑|(I-tNH2)-NCx-(I-tnH2)-nCx|臆M3窑 着2=M3窑着3M3=着3遥综上袁当 n逸N 时有|W(s,t)x-(I-snH1)-n(I-tnH2)-nC2x|=|W(s,t)x-(I-snH1)-nC(I-tnH2)-nCx|=|U(s)V(t)x-U(s)(I-tNH2)-NCx|+|U(s)(I-tNH2)-NCx-(I-snH1)-nC(I-tNH2)-NCx|+|(I-snH1)-nC(I-tNH2)-NCx-(I-snH1)-nC(I-tnH2)-nCx|着3+着3+着3=着袁因此W(s,t)x=limn寅肄(I-snH1)-n(I-tnH2)-nC2x遥数理研究34-4结语本文主要介绍了指数有界的双参数 C 半群生成元的一些性质和双参数 C 半群的生成定理及表示定理袁这些结果有利于以后关于双参数 C 半群尧双参数 C 群等相关领域的扰动尧 逼近和齐次抽象柯西问题及非齐次抽象柯西问题的研究遥要要要要要要要要要要要要要要要要要要要参考文献院也1页Ardent W.Vector-valued Laplace transformsandCauchyproblemsJ.IsraelJournalofMathematics袁1987袁59(03):327-352.也2页Davies袁 E.B.袁 Pang袁 M.M.H.The CauchyProblem and a Generalization of the Hille-Yosida TheoremJ.Pro-ceedings of the LondonMathematical 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