北师大版初三数学之中考动点问题专题训练.docx

刘老师亲笔
北师大版初三中考动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC 中，AB = AC =10厘米，BC = 8厘米，点D为 AB 的中点．
P
BC
B
C
（1）如果点 在线段 上以 3 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点
Q
CA
C
A
在线段 上由 点向 点运动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是
Q
P
否全等，请说明理由；
Q
P
Q
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能
够使△BPD 与△CQP 全等？
C
P
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时
B
出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在△
P
Q
ABC
的哪条边上相遇？
A
D
Q
B
C
P
3
2、直线 y = - x + 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q同时从O 点出发，
4
同时到达 A点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，
点 P 沿路线O → B → A运动．
（1）直接写出 A、B 两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为 S ，求出S 与t 之间的函数关系
式；
48
（3）当S = 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O、P、Q 为顶点的平行四
5
边形的第四个顶点 M 的坐标．
y
B
P
x
O
Q
1A

刘老师亲笔
l y x
x y
A
3如图，在平面直角坐标系中，直线 ： =－2 －8分别与 轴， 轴相交于 ，
B
P k y
P
两点，点 （0， ）是 轴的负半轴上的一个动点，以 为圆心，3 为半径作
P
⊙ .
PA PA PB P x
（1）连结 ，若 = ，试判断⊙ 与 轴的位置关系，并说明理由；
k
P
l
（2）当 为何值时，以⊙ 与直线 的两个交点和圆心 为顶点的三角形
P
是正三角形？
4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A
的坐标为（－3，4），
点 C在 x轴的正半轴上，直线 AC交 y轴于点 M，AB边交 y轴于点 H．
（1）求直线 AC的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P从点 A出发，沿折线 ABC方向以 2个单位／
秒的速度向终点 C匀速运动，设△PMB的面积为 S（S≠0），点 P的运动时间为 t
秒，求 S与 t之间的函数关系式（要求写出自变量 t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此
时直线 OP与直线 AC所夹锐角的正切值．
2

刘老师亲笔
ABC C AC AB
P C
CA
中，∠ =90°， = 3， = 5．点 从点 出发沿 以每秒 1
5 在 Rt△
A
A
AC
个单位长的速度向点 匀速运动，到达点 后立刻以原来的速度沿 返回；点
Q A AB
B
P Q
从点 出发沿 以每秒 1个单位长的速度向点 匀速运动．伴随着 、 的运
DE
PQ PQ D
QB BC CP E P Q
动， 保持垂直平分 ，且交 于点 ，交折线 - - 于点 ．点 、 同
Q B
P
P Q
时出发，当点 到达点 时停止运动，点 也随之停止．设点 、 运动的时间
t t
是 秒（ ＞0）．
t
AP
（1）当 = 2时， =
Q AC
，点 到 的距离是
；
P C A
APQ S
（2）在点 从 向 运动的过程中，求△
的面积 与
的函数关系式；（不必写出 的取值范围）
QBED能否成
t
t
时，请直接写出 的值．
B
E
Q
D
A
C
P
图 16
6如图，在 Rt△ABC 中，ÐACB = 90°，ÐB = 60°， BC = 2．点O 是 AC 的中点，
过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边于点
D．过点C 作CE∥ AB 交直线l 于点 E ，设直线l 的旋转角为a ．
（1）①当 a =
度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长
为
为
；
②当 a =
；
度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长
（2）当 = 9 0°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理
a
l
C
C
由．a
E
O
A
A
B
B
D
O
（备用图）3

刘老师亲笔
7 如图，在梯形
中， AD∥BC，AD = 3，DC = 5，AB = 4 2，∠B = 45°．动
ABCD
点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点 N 同
时从C 点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点
A
D
D运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求 BC 的长．
（2）当 MN ∥ AB时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
N
B
C
M
8 如图 1，在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC ，E 是 AB的中点，过点 E作 EF ∥BC
交CD于点 F ． AB = 4，BC = 6，∠B = 60°.
（1）求点 E 到 BC 的距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM ^ EF 交 BC 于点 M ，过 M 作
MN ∥ AB交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EP = x.
①当点 N 在线段 AD上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求
出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使△PMN 为等腰三角形？
若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.
x
N
A
D
A
D
A
D
N
P
P
E
F
E
F
E
F
B
C B
C B
C
M
M
图 1
图 2
图 3
（第 8 题） A
A
D
D
E
F
E
F
B
C
B
C
图 4（备用）
图 5（备用）
4

刘老师亲笔
ABCD中，点 A、B
的坐标分别为（0，10），（8，4），点 在第
C
9 如图①，正方形
P
ABCD
A A B C D
的边上，从点 出发沿 → → → 匀速运
一象限．动点 在正方形
Q
x
P
动，同时动点 以相同速度在 轴正半轴上运动，当 点到达 点时，两
D
t
点同时停止运动，设运动的时间为 秒．
P
(1)当 点在边
AB
Q
上运动时，点 的横坐标 （长度单位）关于运动时间
t
Q
P
（秒）的函数图象如图②所示，请写出点 开始运动时的坐标及点 运动速
度；
C
(2)求正方形边长及顶点 的坐标；
t
OPQ
P
的面积最大，并求此时 点的坐标；
(3)在（1）中当 为何值时，△
P、Q
P A B C D OP
保持原速度不变，当点 沿 → → → 匀速运动时， 与
t
能否相等，若能，写出所有符合条件的 的值；若不能，请说明理由．
(4)如果点
PQ
5

刘老师亲笔
ABCD
E
是正方形，点 是
10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形
边 的中点．Ð ，且 交正方形外角Ð
BC
AE EF
AEF 90 DCG
EF
CF F
的平行线 于点 ，求
=
证： = ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 的中点 ，连接 ，则
AE EF
AB
M
ME
AM EC
= ，易证△AME ≌△ECF ，所以
=
．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
E
BC
E
（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 是边 的中点”改为“点 是边
BC
B C
AE EF
上（除 ， 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ = ”仍然成立，
你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
C
的延长线上（除 点外）的任意一点，
E BC
（2）小华提出：如图 3，点 是
AE EF
其他条件不变，结论“ = ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，
写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
F
D
D
A
A
D
A
F
F
B
B
E
C
G
E
C
G
B
图 1
图 2
图 3
6

刘老师亲笔
参考答案
1.解：（1）①∵ =1秒，
t
∴
BP CQ
= 3´1= 3厘米，
=
∵
∴
=10厘米，点 为 的中点，
D AB
= 5厘米．
AB
BD
又∵
=
PC BC BP BC
∴
∴
= 8-3 = 5 厘米，
PC
PC BD
=
又∵
=
AB AC
∴Ð = Ð ，
B
C
∴△BPD≌△CQP ． ····················· （4 分）
②∵v ¹ v ， ∴ BP ¹ CQ ，
P
Q
又∵△BPD≌△CQP ，ÐB = ÐC ，则 BP = PC = 4，CQ = BD = 5 ，
BP 4
∴点 P ，点Q 运动的时间t =
CQ 5 15
∴v =
= = 厘米/秒． ················· （7 分）
Q
t
3
（2）设经过 x 秒后点 P 与点Q 第一次相遇，
15
由题意，得 x = 3x + 2´10，
4
80
解得 x = 秒．
3
80
∴点 P 共运动了 ´3 = 80 厘米．
3
∵80 = 2´28+ 24，
∴点 P 、点Q 在 AB 边上相遇，
80
∴经过 秒点 P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇． ········· （12 分）
3
A
B
2.解（1） （8，0） （0，6）·· 1 分
（2） OA = 8，OB = 6
\ AB =10
7

刘老师亲笔
8
点Q由 到 的时间是 = 8（秒）
O A
1
6 +10
点 的速度是
\ P
= 2（单位/秒）1 分
8
当 在线段
P
上运动（或 0≤ ≤3 ）时，
= ，
OQ t OP t
= 2
OB
t
S = t2 ····························· 1 分
当 在线段 上运动（或3 < ≤8）时，OQ = t，AP = 6 +10 - 2t =16 - 2t ,
P
BA
t
48-6t
如图，作
， ······ 1 分
5
1
3
\S = OQ´ PD = - t2 + t ··················· 1 分
2
5
5
（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）
8 24
æ
ö
÷
ø
（3） P ，
························· 1 分
ç
5 5
è
æ 2
ö
æ
ö
I
1
， ，M - ， ，M
，-
·············· 3 分
ç
÷
ç
÷
5
5
è
ø
2
è
ø
3
P x
3.解：（1）⊙ 与 轴相切.
y
x
A
y
OA
k
k
OP
P
l
C D
（2）设⊙ 与直线 交于 ， 两点，连结 ， 当
PC PD
P
OB
3
∵△PCD
2
2
3 3
PE
∴ =
.
2
AOB PEB
ABO PBE
∵∠ =∠ =90°， ∠ =∠ ，
AOB PEB
∴△ ∽△ ，
3 3
AO PE
4
2
∴
∴
，
=
AB PB
,即
=
4 5
PB
3 15
PB =
,
2
8

刘老师亲笔
3 15
2
∴
∴
∴
，
PO = BO - PB = 8 -
3 15
，
-8)
P(0,
2
3 15
2
.
-8
k =
3 15
2
P
OB
P
当圆心 在线段 延长线上时,同理可得 (0,－
－8)，
3 15
k
∴ =－
－8，
2
k
∴当 =
P l
－8 时，以⊙ 与直线 的两个交点和圆心
P
为顶点的三角形是正三角形.
4.
9

刘老师亲笔
8
5.解：（1）1， ；
5
QF AC F AQ CP t
（2）作 ⊥ 于点 ，如图 3， = = ，∴
．
AP = 3-t
AQF ABC
由△ ∽△ ，
，
BC = 52 -32 = 4
10

刘老师亲笔
QF
t
4
QF = t
5
得
．∴
．
=
4
5
1
4
∴
，
S = (3-t)× t
2
5
B
E
2
6
即
．
S = - t + t
2
5
5
（3）能．
DE QB
①当 ∥ 时，如图 4．
Q
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，四边形
QBED是直角梯形．
DE PQ
AQP
此时∠ =90°．
PQ QB
D
A
C
P
图 4
由△APQ
AC AB
B
t 3- t
9
即
=
3
5
8
②如图 5，当 ∥ 时， ⊥ ，四边形
QBED是直角梯形．
此时∠APQ
E
C
由△AQP
A
AB AC
P
t
15
即
=
5
3
8
B
5
（4）
2
P C A
DE
C
①点 由 向 运动， 经过点 ．
连接 ，作 ⊥ 于点 ，如图 6．
G
QC
QG BC
G
3
4
PC = t
QC
QG CG = [ (5-t)] +[4 - (5- t)]
=
+
C(E)
2
2
2
2
2
A
5
5
P
B
3
4
由
PC = QC
t = [ (5-t)] +[4 - (5-t)]
2
2
2
2
2
5
5
P A C
DE
C
②点 由 向 运动， 经过点 ，如图 7．
G
3
4
(6 -t) = [ (5-t)] +[4 - (5-t)]
2
2
2
5
5
D
C(E)
……………………4
A
6.解（1）①30，1；②60，1.5；
P
分
（2）当∠α=90 时，四边形
0
EDBC是菱形.
BC ED
∵∠α=∠ACB=90 ，∴ // .
0
CE AB
∵ // , ∴四边形
EDBC是平行四边形.
……………………6 分
在 Rt△ABC
ACB
B
中，∠ =90 ，∠ =60 , =2,
BC
0
0
A
∴∠ =30 .
0
AB AC
∴ =4, =2 .
3
11

刘老师亲笔
1
∴ = AC = 3 .
AO
……………………
2
8分
AOD A
AD
中，∠ =30，∴ =2.
在 Rt△
0
BD
∴ =2.
BD BC
∴ = .
又∵四边形
EDBC是平行四边形，
∴四边形
EDBC是菱形
……………………10分
7.解：（1）如图①，过A、D分别作 AK ^ BC 于 K ，DH ^ BC 于 ，则四
H
边形 ADHK 是矩形
∴ KH = AD = 3．······················ 1分
2
2
2
= 4 ················ 2分
2
在 Rt△CDH 中，由勾股定理得， HC = 5 - 4 = 3
2
2
∴ BC = BK + KH + HC = 4+ 3+ 3 =10 ············· 3分
A
D
A
D
N
B
C
B
C
K
H
G
M
（图①）
（2）如图②，过D作 DG∥ AB 交 BC 于G 点，则四边形 ADGB 是平行四
边形
∵ MN ∥ AB
∴ MN ∥DG
∴ BG = AD = 3
∴GC =10 -3 = 7 ····················· 4分
由题意知，当 M 、 N 运动到t 秒时，CN = t，CM =10- 2t．
∵ DG∥MN
∴∠NMC =∠DGC
又∠C =∠C
∴△MNC ∽△GDC
12

刘老师亲笔
CN CM
=
CD CG
∴
······················ 5 分
······················ 6 分
t 10 - 2t
即 =
5
7
50
17
解得，t =
（3）分三种情况讨论：
①当 NC = MC 时，如图③，即t =10- 2t
10
∴t =
························ 7 分
3
A
D
A
D
N
N
B
C
B
C
E
M
（图④）
（图③）
②当 MN = NC 时，如图④，过 N 作 NE ^ MC 于 E
解法一：
1
1
2
2
=
NC
=
=
t
5
······················· 8 分
∵∠C =∠C，ÐDHC = ÐNEC = 90°
∴△NEC ∽△DHC
NC EC
∴
=
DC HC
t 5-t
即 =
5
3
25
∴t =
························ 8 分
8
1
1
③当 MN = MC 时，如图⑤，过M 作 MF ^ CN 于 F 点. FC = NC = t
2
2
解法一：（方法同②中解法一）
13

刘老师亲笔
1
2
t
A
D
FC
3
cosC =
=
=
MC 10 - 2t 5
60
N
解得t =
17
F
解法二：
B
C
H M
∵∠C =∠C，ÐMFC = ÐDHC = 90°
∴△MFC ∽△DHC
FC MC
（图⑤）
∴
=
HC DC
1
t
2
=
3
5
60
17
∴t =
10
综上所述，当t = 、t = 或t = 时，△MNC 为等腰三角形 · 9分
17
3
8
8.解（1）如图 1，过点 E 作 EG ^ BC 于点G． ···1分
∵ E 为 AB 的中点，
A
D
1
∴ BE = AB = 2．
2
E
F
在 Rt△EBG 中，∠B = 60°，∴∠BEG = 30°．·· 2 分
1
∴ BG = BE =1，EG = 2 -1 = 3．
2
2
2
B
C
G
即点 E 到 BC 的距离为 3．········· 3 分
图 1
（2）①当点 N 在线段 AD上运动时，△PMN 的形状不发生改变．
∵ PM ^ EF，EG ^ EF，∴ PM ∥EG．
∵ EF ∥BC，∴ EP = GM ， PM = EG = 3．
同理 MN = AB = 4． ······················ 4分
如图 2，过点 P 作 PH ^ MN 于 ，∵ MN ∥ AB，
H
∴∠NMC =∠B = 60°，∠PMH = 30°．
N
A
D
1
3
∴ PH = PM =
P
2
2
E
F
H
3
∴ MH = PM cos30° = ．
2
B
C
G M
3 5
则 NH = MN - MH = 4 - = ．
图 2
2 2
æ
ö
2
5
3
æ ö
2
在 Rt△PNH 中， PN = NH + PH =
+
= 7．
ç
÷
2
2
ç ÷
ç
÷
2
2
è ø
è
ø
∴△PMN 的周长=PM + PN + MN = 3 + 7 + 4． ········· 6分
14

刘老师亲笔
②当点 N 在线段 DC 上运动时，△PMN 的形状发生改变，但△MNC 恒为等
边三角形．
当 PM = PN 时，如图 3，作 PR ^ MN 于 R ，则 MR = NR．
3
类似①， MR = ．
2
∴ MN = 2MR = 3． ······················ 7分
∵△MNC 是等边三角形，∴ MC = MN = 3．
此时， x = EP = GM = BC - BG - MC = 6-1-3 = 2． ········ 8分
A
D
A
D
A
D
N
P
P
F
E
F（P）
E
F
E
N
R
N
C
B
B
C
B
C
G
G
M
G
M
M
当 MP = MN 时，如图 4，这时 MC = MN = MP = 3．
此时， x = EP = GM = 6 -1- 3 = 5 - 3．
当 NP = NM 时，如图 5，∠NPM =∠PMN = 30°．
则∠PMN =120°，又∠MNC = 60°，
∴∠PNM +∠MNC =180°．
因此点 P 与 F 重合，△PMC 为直角三角形．
∴ MC = PM tan30° =1．
综上所述，当 x = 2或 4或 5- 3 时，△PMN 为等腰三角形． ··· 10分
9解：（1） （1，0） ······················ 1分
Q
P
点 运动速度每秒钟 1个单位长度．················ 2分
BF y
（2） 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8，
．
B
F
BE
x
E
y
D
在 Rt△AFB
2
2
过点 作 ⊥ 轴于点 ，与 的延长线交于点 ．
G
C
x
FB
H
C
A
∵
P
M
F
H
x
∴
BH = AF = 6, CH = BF = 8
B
O
N Q
E
G
∴
．
OG = FH = 8+ 6 =14,CG = 8+ 4 =12
C
∴所求 点的坐标为（14，12）．
4分
P PM y M PN
N
（3） 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，
x
15

刘老师亲笔
APM ABF
则△ ∽△ ．
AP AM MP
= =
AB AF BF
t
AM MP
=
∴
．
．
\
=
10
6
8
3
4
3
4
∴
． ∴
．
AM = t，PM = t
PN = OM =10 - t, ON = PM = t
5
5
5
5
设△OPQ
的面积为 （平方单位）
S
1
3
47
3
∴
（0≤ ≤10） ··········· 5分
t
S = ´(10- t)(1+ t) = 5+ t - t2
2
5
10 10
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
47
3
∵ <0 ∴当
a = -
时， △OPQ
的面积最大．····· 6分
=
3
10
94
53
此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分
P
15
10
295
OP PQ
与 相等．············ 9分
（4） 当
t =
13
10.解：（1）正确．············ （1分）
证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ．（2分）A
D
\BM = BE ．\ÐBME = 45 ，\ÐAME =135 ．
°
°
F
CF 是外角平分线，
M
\ÐDCF = 45 ，
°
B
E
C
G
\ÐECF =135 ．
°
\ÐAME = ÐECF ．
ÐAEB + ÐBAE = 90 ，ÐAEB + ÐCEF = 90 ，
°
°
\ ÐBAE = ÐCEF
\△AME ≌△BCF （ASA）． ·················· （5分）
\AE = EF ． ························ （6分）
（2）正确．·············· （7分）
证明：在 BA的延长线上取一点 N ．
使 AN = CE ，连接 NE ． ········ （8分）
\BN = BE ．
N
A
F
D
\ÐN = ÐPCE = 45 ．
°
四边形 ABCD是正方形，
\AD BE ．
∥
B
C E G
16

刘老师亲笔
\ÐDAE = ÐBEA．
\ÐNAE = ÐCEF ．
\△ANE ≌△ECF （ASA）． ·················· （10 分）
\AE = EF ． （11 分）
17

刘老师亲笔
APM ABF
则△ ∽△ ．
AP AM MP
= =
AB AF BF
t
AM MP
=
∴
．
．
\
=
10
6
8
3
4
3
4
∴
． ∴
．
AM = t，PM = t
PN = OM =10 - t, ON = PM = t
5
5
5
5
设△OPQ
的面积为 （平方单位）
S
1
3
47
3
∴
（0≤ ≤10） ··········· 5分
t
S = ´(10- t)(1+ t) = 5+ t - t2
2
5
10 10
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
47
3
∵ <0 ∴当
a = -
时， △OPQ
的面积最大．····· 6分
=
3
10
94
53
此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分
P
15
10
295
OP PQ
与 相等．············ 9分
（4） 当
t =
13
10.解：（1）正确．············ （1分）
证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ．（2分）A
D
\BM = BE ．\ÐBME = 45 ，\ÐAME =135 ．
°
°
F
CF 是外角平分线，
M
\ÐDCF = 45 ，
°
B
E
C
G
\ÐECF =135 ．
°
\ÐAME = ÐECF ．
ÐAEB + ÐBAE = 90 ，ÐAEB + ÐCEF = 90 ，
°
°
\ ÐBAE = ÐCEF
\△AME ≌△BCF （ASA）． ·················· （5分）
\AE = EF ． ························ （6分）
（2）正确．·············· （7分）
证明：在 BA的延长线上取一点 N ．
使 AN = CE ，连接 NE ． ········ （8分）
\BN = BE ．
N
A
F
D
\ÐN = ÐPCE = 45 ．
°
四边形 ABCD是正方形，
\AD BE ．
∥
B
C E G
16

刘老师亲笔
\ÐDAE = ÐBEA．
\ÐNAE = ÐCEF ．
\△ANE ≌△ECF （ASA）． ·················· （10 分）
\AE = EF ． （11 分）
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刘老师亲笔
APM ABF
则△ ∽△ ．
AP AM MP
= =
AB AF BF
t
AM MP
=
∴
．
．
\
=
10
6
8
3
4
3
4
∴
． ∴
．
AM = t，PM = t
PN = OM =10 - t, ON = PM = t
5
5
5
5
设△OPQ
的面积为 （平方单位）
S
1
3
47
3
∴
（0≤ ≤10） ··········· 5分
t
S = ´(10- t)(1+ t) = 5+ t - t2
2
5
10 10
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
47
3
∵ <0 ∴当
a = -
时， △OPQ
的面积最大．····· 6分
=
3
10
94
53
此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分
P
15
10
295
OP PQ
与 相等．············ 9分
（4） 当
t =
13
10.解：（1）正确．············ （1分）
证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ．（2分）A
D
\BM = BE ．\ÐBME = 45 ，\ÐAME =135 ．
°
°
F
CF 是外角平分线，
M
\ÐDCF = 45 ，
°
B
E
C
G
\ÐECF =135 ．
°
\ÐAME = ÐECF ．
ÐAEB + ÐBAE = 90 ，ÐAEB + ÐCEF = 90 ，
°
°
\ ÐBAE = ÐCEF
\△AME ≌△BCF （ASA）． ·················· （5分）
\AE = EF ． ························ （6分）
（2）正确．·············· （7分）
证明：在 BA的延长线上取一点 N ．
使 AN = CE ，连接 NE ． ········ （8分）
\BN = BE ．
N
A
F
D
\ÐN = ÐPCE = 45 ．
°
四边形 ABCD是正方形，
\AD BE ．
∥
B
C E G
16

刘老师亲笔
\ÐDAE = ÐBEA．
\ÐNAE = ÐCEF ．
\△ANE ≌△ECF （ASA）． ·················· （10 分）
\AE = EF ． （11 分）
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