北京市海淀区高三数学二模考试-文.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （文科） 2011.5
选择题 （共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 在复平面上，复数对应的点在
A．第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知全集 集合,，则右图中阴影部分所表示的集合为
A. B.
C. D.
3．函数的零点所在区间为
A． B. C. D.
4．若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为
A． B.
C. D.
5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：

甲

乙

9
8
8
1
7
7
9
9

6
1
0
2
2
5
6
7
9
9

5
3
2
0
3
0
2
3

7
1
0
4

根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
6. 圆与直线相切于点，则直线的方程为
A. B. C. D.
7. 已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有
A．0条 B.1条
C. 2条 D.3条

8. 若椭圆：（）和椭圆：（）
的焦点相同且.给出如下四个结论：
① 椭圆和椭圆一定没有公共点 ②
③ ④
其中，所有正确结论的序号是
A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

非选择题（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9．双曲线：的渐近线方程为 ；若双曲线的右焦点和抛物线的焦点相同，则抛物线的准线方程为 .
10．点在不等式组表示的平面区域内，
则的最大值为_______.
11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
为____________.
12. 已知的面积，，则_________.
13.已知数列满足且（），
则；=________.
14.已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:
①若，则 ；
② 设函数则的
大小关系为 .（用“<”连接）

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（II）若，求的最大值及相应的值.

16. （本小题共13分）
已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；
（II）求证：平面.

17.（本小题共14分）
某学校餐厅新推出四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意
一般
不满意
A套餐
50%
25%
25%
B套餐
80%
0
20%
C套餐
50%
50%
0
D套餐
40%
20%
40%

（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中
的概率；
（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

18. （本小题共14分）
已知函数
（I）若，求函数的解析式；
（II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围.

19．（本小题共14分）
已知椭圆:两个焦点之间的距离为2，且其离心率为.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 若为椭圆的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满
足，求外接圆的方程.

20. （本小题共13分）
对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令
.
(Ⅰ) 若数列： 求数列；
(Ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(Ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.

海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（文）
答案及评分参考 2011．5
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
D
B
C
非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9. ， 10. 6 11.
12. 2 13. 2， 14. 1 ，
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15. （共13分）
解：（Ⅰ），
…………………1分

…………………4分
. …………………6分
（Ⅱ）
…………………8分

， …………………9分
由 得 ， …………………11分
所以，当，即时，取到最大值为. ……………13分
16. （共13分）
证明：（Ⅰ）由已知可得，，
四边形是平行四边形，
， ……………1分
平面，平面，
平面； ……………2分
又 分别是的中点，
， ……………3分
平面，平面，
平面； ……………4分
平面，平面， ……………5分
平面∥平面 . ……………6分
(Ⅱ) 三棱柱是直三棱柱，
面，又面，
. ……………7分
又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，
是正三角形，， ……………8分
而， 面 ，面 ，
面 ， ……………9分
故 . ……………10分
四边形是菱形，， ……………11分
而，故 , ……………12分
由面，面，
得 面 . ……………13分
17. （共13分）
解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人， ……………1分
其中选A款套餐的学生为40人， ……………2分
由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了 份. ……………4分
设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分
则 . ……………6分
答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是.
(II) 由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分
记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d. ……………8分
设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐” ……………9分
从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分
而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分
则 . ……………13分
答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是.
18. （共14分）
解：（Ⅰ）因为 ， …………………2分
由即得 ， …………………4分
所以的解析式为. …………………5分
(Ⅱ)若，则， ， …………………6分
（1）当，即时，恒成立，那么在上单调递增，
所以，当时，在区间上单调递增； …………………8分
（2）解法1：当，即或时，
令解得，
…………………9分
列表分析函数的单调性如下：

…………………10分
要使函数在区间上单调递增，
只需或，
解得或. …………………13分

解法2：当，即或时，
因为的对称轴方程为 …………………9分
要使函数在区间上单调递增，
需或
解得或. …………………13分
综上：当时，函数在区间上单调递增. …………………14分

19. （共14分）
解：(Ⅰ) ， ……………1分
，
， …………4分
椭圆的标准方程是 . ………………5分
(Ⅱ)由已知可得， …………………6分
设，则 ，
，
，即 ， …………………8分
代入，得：或 ，
即或. ………………10分
当为时，,的外接圆是以为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为； ………………12分
当为时，，所以是直角三角形，其外接圆是以线段为直径的圆.由线段的中点以及可得的外接圆的方程为. ………………14分
综上所述，的外接圆的方程为或.
20. （共13分）
解：(Ⅰ)由变换的定义可得 ………………2分
………………4分
(Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分
证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
所以中至少有10对连续相等的数对. ………………8分
(Ⅲ) 设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，
所以，
所以，
由可得，
所以，
当时，
若为偶数，,
,

.
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足.
若为奇数，

.
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足.
所以 . ………………13分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.

用心 爱心 专心