高三数学-导数的运算性质教案同步教案-新人教A版.doc

高 三 数 学（第6讲）

一、 本讲进度
2． 3 导数
2． 4 导数的运算性质
课本第59页至65页
二、 本讲主要内容
1、 导数及导函数的定义；
2、 导数的运算性质及运用。
三、 学习指导
1、 导数的定义：
（1） 增量的概念
已知函数y=f (x)的图象是曲线C，P（x0，y0）,Q（x1，x2）是曲线C上的两点，当自变量x从一个值x0变为另一个值x1时，相对应的函数由y0=f(x0)变到y1=f(x1)，则称：
差x1-x0为自变量的增量，用△x表示，即：
△x=x1-x0
差y1-y2为函数的增量，用△y表示，即：
△ y=y1-y0，或△y=f(x1)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)
△x，△y分别是自变量x，因变量y在x0处的改变量，它的值可正可负，但不能为零，△x，△y是整体符号，不能把△与x或y分开。
（2） 导数的定义
① 函数的平均变化率：称为函数的平均变化率
② 导数的概念
如果△x→0时，的极限存在，则称该极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数（又叫变化率）
符号：，即：

由导数定义可知，函数y=f(x)在x=x0时导数存在，必须使得y=f(x)在x=x0处附近有定义。函数y=f(x)并不能在每一点都存在导数，只有在△x→0时，的极限存在，才能说y=f(x)在x=x0处有导数。
③ 导数的概念
如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈（a，b），都应看一个确定的导数f’(x)，从而构成了一个新的函数f’(x)，称这个函数f’(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，记作y’，即：

f(x)的导数与函数y=f(x)在x=x0处的导数的关系：当x0∈（a，b）时，函数y=f(x)在x0处的导数就是函数y=f(x)在开区间（a，b）上的导数f’(x)在x0处的函数值，即。因此函数y=f(x)在x0处的导数也记作f’(x0)
④ 求函数y=f(x)的导数的一般步骤
首先求函数改变量：△y=f(x+△x)-f(x)
其次求平均变化率
再次求极限，
（3） 导数的几何意义
函数y=f(x)在P（x0，y0）的导数为y=f(x)对应的曲线C在该点的斜率，即：

当曲线C在点x0处切线的倾斜角为时，y=f(x)在点x0处导数不存在（△x=0），不能用求导方法求切线斜率，但切线方程仍然存在（x=x0）。
2、 基本初等函数的导数
利用导数的定义，很容易得到常数函数与幂函数的导数。
C’=0（C为常数）
，实际上n∈R亦成立
特例，
3、 导数的运算性质
如果f(x)，g(x)有导数，那么：

即有限个函数的和或差的导数，等于这个有限个函数的导数的和或差；常数与函数积的导数，等于常数乘函数的导数。
由此得多项式函数导数
4、导数是一种特殊的函数极限，是函数的一个局部性质，若函数y=f(x)在x=x0处导数存在，则称函数y=f(x)在x=x0处可导，否则称为不可导，导数的概念体现了运动变化，有限代替无限及数形结合的思想。
四、 典型例题
例1、 求函数的导数
解题思路分析：先化简再利用导数的运算性质

∴
例2、 求曲线y=x3-3x上的切线平行于x轴的点的坐标
解题思路分析：
利用导数求出切线的斜率

∵ 切线平行于x轴
∴ 其斜率为0
∴ 令3x2-3=0得x=±1
当x=1时，y=-2
当x=-1时，y=-2
∴ 所求点的坐标为（-1，2），（1，2）
例3、 函数f(x)=2x3+3x-5，求f’(x)，(f’(x))’，f’（2）,（f(2)）’
解题思路分析：
直接利用导数的运算性质
f’(x)=(2x3+3x-5)’=(2x3)’+(3x)’-5’=6x2+3
(f’(x))’=(6x2+3)’=(6x2)’+3’=12x
f’(2)=6×22+3=27
∵ f(2)=17是一个常数 ∴ (f(2))’=0
例4、 求下列函数的导数
(1)y=(x+1)(x-1)；（2）y=(x2+1)2
解题思路分析：
（1） y=x2-1
y’=(x2-1)’=(x2)’-1’=2x
（2） y=x4+2x2+1
y’=(x4+2x2+1)’=（x4）’+(2x2)’+1’=4x3+4x
例5、 自变量x取哪些值时，抛物线y=x2与曲线y=x3的切线平行？
解题思路分析：
设它们在点x0处的切线平行
∵ (x2)’=2x，(x3)’=3x2 ∴ 2x0=3x02 ∴ x0=0，或x0=
∴ 当x=0或x=时，抛物线y=x2与y=x3的切线平行
五、 同步练习
（一） 选择题
1、 y=(x-1)2的导数是：
A、2(x-1) B、(x-1)2 C、-2 D、2(1-x)
2、 函数在x=2处的导数是：
A、 B、 C、 D、
3、 设函数f(x)在点x0处有导数，且f’(x0)≠0，则当|△x|很小时，f(x0+△x)≈
A、f(x0) B、f’(x0)△x C、△y D、f(x0)+f’(x0)△x
4、 设函数f(x)在x=x0处有导数，且=1，则f’(x0)=
A、1 B、0 C、2 D、
5、 曲线在点（1，）处切线的倾斜角是
A、1 B、 C、 D、
（二） 填空题
6、 已知函数f(x)=4(2x-1)2，则f’(x)=______________。
7、 已知函数f(x)=3x(x-1)，则f’(1)=______________。
8、 曲线y=x3+x2+2在点P（-1，2）处的切线方程是______________。
9、 曲线y=2x-x3上一点P（1，1，）处切线的倾斜角是____________。
10、抛物线y=ax2+bx+c在点P（x0，y0）的切线过原点，则a，b，c应满足__________。
11、设曲线，则过点P（1，1）的切线方程是____________。
（三） 解答题
12、求下列函数导数：
（1） y=2x5-4x2；（2）y=(1+2x2)2；（3）y=x2(2x-1)；（4）y=(x-1)(x-2)(x-3)。
13、已知曲线y=2x3+x-3的切线与y=7x平行，求切点坐标。
14、已知直线l过原点且与曲线y=x3-3x2+2x相切，求直线l方程。
15、在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离S=27t-0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车，刹车后又运行了多少米？
六、 参考答案
（一）选择题
1、A 2、D 3、D 4、D 5、B
（二）填空题
6、16(2x-1) 7、3 8、y=x+3 9、 10、 11、x-2y+11=0
（四） 解答题
12、（1）y’=10x4-8x （2）y’=16x3＋8x （3）y’=6x2-2x （4）y’=3x2-12x+1
13、7x-y-7=0，7x-y+1=0
14、y=2x，
15、30秒，405米

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