江苏省常州市西夏墅中学高中数学-数列专题复习2-数列中的数学思想教学设计-苏教版必修5.doc

数列专题复习2——数列中的数学思想
教学目标：
1．知识与技能：
能够灵活运用方程思想、化归与转化思想、函数思想对数列问题进行求解．
2．过程与方法：
使学生在已掌握的数列题型求解方法上进一步提高解题水平，明确数列与数学思想的内在联系．

教学重点：
掌握数列题型中数学思想方法的应用；
教学难点：
掌握数列题型中数学思想方法的应用．

教学方法：
讲练结合、自主探究．

教学过程：
一、问题情境
问题1．我们以前的学习中接触过哪些数学思想方法？
问题2．前一段的数列学习中运用了哪些数学思想方法？
二、学生活动
1．数列中有方程思想、化归与转化思想、函数与数形结合思想．
2．讨论并从习题中找出具体的题目中分别体现哪些思想方法．
三、建构数学
引导学生自己总结出数学中几种思想方法．
（一）数列中的方程思想：
等差数列有两个基本量，等比数列有两个基本量，等差与等比数列的两个基本问题都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个关于基　本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法．
（二）数列中的化归与转化思想：
我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决．
（三）数列中的函数与数形结合思想：
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前项和公式都可以看成的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析，加以解决．
四、数学运用
例1　在等比数列中，
如果 .
分析　以等比数列的首项和公比为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.
解　，．
变式　已知等比数列中前8项的和，前16项的和，求.
解　设的公比为，当时，，
， 故.

得 带入（1）式可得，
.
点评　解题过程中应注意对等比数列中这种特殊情况的讨论.另外本题的求解需要有整体思想，即必须把当成一个整体来解.
例2　已知数列满足，且，
（1）证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式.
解　（1）令，故只需证是等比数列，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
即数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2），即，
∴.
变式　已知数列的前项和满足，且，
（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和.
解　
令，故只需证是等比数列，
，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
即数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2），即 ∴.

y
例3　已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且（），若，,则的大小关系为 .
x
Ｏ
分析　（方法一），，所以．
（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（）时是定义在正整数集上的指数函数．由，知两函数有两个交点如图，显然，而且当N时都有，当时，.
五、 要点归纳与方法小结
1. 数列中的方程思想：基本量法是通法，要注意运算技巧.
2. 数列中的化学与转化思想：将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破点.
3. 数列中的函数与数形结合思想：构造函数，用图象辅助，能起到出奇制胜的效果
.
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