全国高中数学竞赛二试模拟训练题(14).doc

加试模拟训练题（14）
1、非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。

2、对任意实数，
试证：

3、设是正整数，我们说集合{1，2，…，2}的一个排列（）具有性质P，是指在{1，2，…，2－1}当中至少有一个，使得求证，对于任何，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

4、求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.

加试模拟训练题（14）
1、非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。
证明 （1）因为∽，∽，所以有，从而有，即是的角平分线。

（2）设的外心为，连，则。由于
，所以，于是有，即与相切于。同理与的外接圆相切于，从而在与的外接圆的根轴上，即三点共线。
2、对任意实数，
试证：
证明：当时，所证不等式显然成立.
当不全为零时， 将所证不等式可变形为

令 ①
①式中的均可取一切实数（不同时为零即可）.
不妨取变量作为考查对象.
（1）当时，，由，得即
（2）当时，将①式整理，得
可以为0，当时，不等式显然成立；
当时，因，，即或
由得

当时，不等式显然成立； 当时，

即

即解得：或
同理，由，得，对任意实数都满
足的充要条件是：解得
综合以上，可得的取值范围是：
由此可得 即所证不等式成立.
3、设是正整数，我们说集合{1，2，…，2}的一个排列（）具有性质P，是指在{1，2，…，2－1}当中至少有一个，使得求证，对于任何，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.
（1989，第30届IMO试题6）
【证明】设A为不具有性质P的排列的集合，B为具有性质P的排列的集合，显然为了证明，只要得到就够了.使作容斥原理.
设()中,与相邻的排列的集合为则由容斥原理得

=
4、（普特南竞赛题）求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.
解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设，，即。若，从余数去讨论，，为奇数。
，所以，
，
提取公因数，有，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。为偶数，注意到。
，，
令，，观察最后两项，只能， ， ，从而
综上，考察到对称性，原方程恰有两组解：

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