资源描述
课 题：含有绝对值的不等式（1）
教学目的：
1．理解含有绝对值的不等式的性质；
2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识；
3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；
4．认识不等式证法的多样性、灵活性
教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用
教学难点：对性质的理解、常见证明技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题
我们知道，当a＞0时，
|x|＜a－a＜x＜a,
|x|＞ax＞a或x＜－a
根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质
二、讲解新课：
定理：
证明：∵
①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②
综合①②:
注意：1° 左边可以“加强”同样成立，即
2° 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3° a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：≤
推论2：
证明：在定理中以-b代b得：
即
三、讲解范例：
例1 已知|x|＜，|y|＜,|z|＜, 求证 |x+2y－3z|＜ε
证明：|x+2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|=|x|＋2|y|＋3|z|
∵|x|＜，|y|＜,|z|＜,
∴|x|＋2|y|＋3|z|＜
∴|x＋2y－3z|＜ε
说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备
例2 设a, b, c, d都是不等于0的实数，求证≥4
证明：∵
∴ ①
②
又 ③
由①，②，③式，得
说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法
例3 已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1
证明：＜1＜1
由|a|＜1,|b|＜1,可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，所以 ＜1
说明：此题运用了|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性
例4 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2
证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2
当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2
∴|a+b|+|a-b|<2
例5 已知 当a¹b时 求证：
证法一：
O
A
B
a
b
1
证法二：（构造法）如图，
，由三角形两边之差小于第三边得
四、课堂练习：
已知：|x－1|≤1,
求证：（1）|2x＋3|≤7; (2)|x2－1|≤3
证明：（1）∵|2x＋3|=|2(x－1)＋5|≤2|x－1|＋5≤2＋5=7
(2)|x2－1|=|(x＋1)(x－1)|=|(x－1)[(x－1)＋2]|
≤|x－1||(x－1)＋2|≤|x－1|＋2≤1＋2=3
五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性
六、课后作业：
1证明下列不等式:
(1)a,b∈R,求证|a+b|≤|a|+|b|;
(2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求证:|hk|<ε;
(3)已知|h|<cε, c <|x| (c>0,ε>0),求证:||<ε
分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:
|ab|=|a|·|b|;|an|=|a|n,||=等
证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|
∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b|
证法2:(平方作差)(|a|+|b|)2-|a+b|2=a2+2|a||b|+b2-(a2+2ab+b2)
=2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)2≥|a+b|2
又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0，所以|a|+|b|≥|a+b|, 即|a+b|≤|a|+|b|
(2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0)，∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε
(3)由0<c<|x|可知:
0<且0≤|h|<cε,∴·cε,即||<ε
2求证:|x+|≥2(x≠0)
分析:x与同号,因此有|x+|=|x|+||
证法一:∵x与同号,∴|x+|=|x|+
∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2
证法二:当x>0时,x+≥2=2
当x<0时,-x>0,有
-x+
∴x∈R且x≠0时有x+≤-2,或x+≥2
即|x+|≥2
方法点拨:不少同学这样解:
因为|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2
学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的
3已知:|A-a|<,|B-b|<,求证:
(1)|(A+B)-(a+b)|<ε；(2)|(A-B)-(a-b)|<ε
分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会
证明:因为|A-a|<,|B-b|<
所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε
即|(A+B)-(a+b)|<ε
(2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε
即|(A-B)-(a-b)|<ε
方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握
七、板书设计（略）
八、课后记：
下课啦，咱们来听个小故事吧:
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。
（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。
3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。
（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。
（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。
（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？
甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。
乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。
主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？
齐：主动关好。
小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？
主持人：可以。
小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？
答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。
小记者：请这位同学谈谈好吗？
答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。
小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！
水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！
主持人：你们还有发言的吗？
答：有。
生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。
动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！
花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！
水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。
主持人：水伯伯，您这是干什么呢？
水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！
主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！
4.主持人：大家欢迎老师讲话！
同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。
5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。
6.活动效果：
此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。
主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。
栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。
主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。
2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。
（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。
（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。
3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。
（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。
（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。
（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？
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