函数型部分线性单指标空间自回归模型.pdf

高校应用数学学报2023,38(2):151-165函数型部分线性单指标空间自回归模型李云霞1，王心愉1,2(1.浙江财经大学数据科学学院，浙江杭州31 0 0 1 8;2.温州理工学院数据科学与人工智能学院，浙江温州32 50 35)摘要：该文提出了函数型部分线性单指标空间自回归模型，该模型综合并拓展了函数型单指标模型和空间自回归模型基于拟极大似然估计(QMLE)和局部线性方法，构造了一个四阶段估计器来估计参数和非参数分量，并由假设条件给出了参数和非参数分量估计的渐近性质在此基础上，通过MonteCarlo模拟研究了估计器的有限样本性能，最后对加拿大气象数据的年总降雨量和日均气温曲线建立了函数型单指标空间自回归模型，研究发现年总降雨量存在负向空间自相关性，日均气温与年总降雨量正相关.关键词：空间自回归模型；函数型数据；单指标模型；QMLE；局部线性回归中图分类号：0 2 1 2.7S1 引 言文献标识码：A“空间计量经济学 最早是在1 9 7 4年由Paelinck提出，Anselin(1998)1对Clif和Ord(1973)2在空间自回归模型(SAR)的开拓性研究进行了梳理，总结了有关空间计量模型参数估计和检验方法的系列框架，为空间计量经济学的研究奠定了基础。最开始多数学者采用线性的空间计量模型来解释经济现象.Anselin(1988)1,Lee(2004)3利用极大似然估计法(MLE)和QMLE研究空间计量模型，Kelejian和Prucha(1998)4探究了带有空间自回归扰动的空间自回归模型的估计方法，提出了可行的广义两阶段最小二乘估计.Lee(2007)5将广义矩方法(GMM)运用到求解SAR模型中去，并发现GMM虽无法得到参数的解析式，但相较于MLE更具计算优势.MLE有非常良好的理论基础以及较好的渐近性质，但该方法的计算复杂度较高，且在模型有设错的可能性时，QMLE作为该方法的改进效果更佳.早在1 9 7 9 年Paelinck和Klaassen在文 6 中便指出空间中的计量经济学关系往往会导致高度非线性关系，因此简单的线性形式并不能很好地解释经济现象.Su和Jin(2010)7,Su(2012)8考虑到变量间存在的非线性关系以及空间依赖性，在SAR基础上添加了非参数部分来诠释变量间的非线性变化随后由于非参数模型在变量的维度变高时受限于维数诅咒，单指标收稿日期：2 0 2 0-1 0-0 8 修回日期：2 0 2 2-0 9-30基金项目：教育部人文社会科学研究规划基金(2 2 YJA910001)文章编号：1 0 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 1 51-1 5152高校应用数学学报第38 卷第2 期模型作为一种既可以保留高维数据的特征，又能避免维数灾难的半参数模型被广泛应用.文 9-1 3 结合单指标模型建立了一系列单指标SAR模型的理论框架以及研究方法.张(2 0 1 5)9 ,Cheng和Chen(2021)10)利用局部线性估计和MLE结合的方法求解部分线性单指标SAR模型，后者给出了在一定的假设条件下未知参数和未知链接函数的渐近性质，并对波士顿住房数据进行拟合，发现存在较强的空间相关性。而Sun(2017)11,Sun和Wu(2018)12,Cheng等(2 0 1 9)1 3 则将局部线性估计和GMM结合，其中Sun和Wu(2018)12针对未知链接函数是否为线性建立了假设检验，最后拟合我国的房价数据发现我国房价存在空间依赖性和非线性关系.关于SAR模型的研究目前主要集中在截面数据和面板数据，而大数据时代的兴起，使得函数型数据和空间计量模型结合的研究变得十分迫切.事实上，大多数的经济活动都是呈现为一个连续的状态，因此将函数型数据拓展到SAR模型中是非常有必要的函数型数据是一类定义在概率空间上的随机过程的实现，它不同于截面数据与面板数据，它比这些数据所包含的信息都要更加充分和完善Ramsay和Silverman(1997)14首次将函数型数据引入线性回归模型，随后因线性模型存在的局限性，Ferraty和Vieu(2006)15将模型拓展到非参数以及半参数领域，并对函数型非参数以及半参数模型的研究方法进行了总结在对函数型数据单指标模型的研究中，Chen等(2 0 1 1)1 6 结合最小二乘法和局部线性方法来估计未知参数和未知链接函数，并利用自适应的函数型数据线性投影进行多指标建模，最后证明了该方法能实现多项式收敛率的预测.Ye和Hooker(2020)17为了探讨环境变化对物种丰度的非线性影响，利用局部二阶近似估计未知链接函数，最小化残差平方和得到未知参数的估计，最后证明了该方法下估计值的渐近性质.考虑到函数型数据在空间经济学等领域存在着的依赖关系，将函数型线性回归模型进行空间上的拓展，构建函数型的SAR模型由于线性模型并不能很好地解释如经济现象中的非线性关系，而单指标模型不仅能有效拟合数据中的非线性关系又不会造成维数灾难，因此本文考虑将函数型数据作为解释变量引入单指标SAR模型，建立函数型部分线性单指标SAR模型为了得到参数的解析式以及方便探讨参数的渐近性质，采用局部线性回归与QMLE相结合的估计方法来进行统计推断论文的框架如下：8 2 介绍函数型部分线性单指标SAR模型及其估计方法，8 3给出函数型部分线性单指标SAR模型的假设条件以及参数的渐近性质，S4对本文提出的模型算法进行梳理，9 5建立MonteCarlo模拟，$6 拟合加拿大气象数据进行实证分析，最后对论文进行总结.S2模型和估计2.1函数型部分线性单指标SAR模型本文考虑将函数型数据作为解释变量进行SAR建模，且考虑到模型的灵活性，将函数型数据以单指标形式对SAR模型的响应变量进行解释，则本文的模型形式为ni=wiui+Z2ji(/:()(t)dt)i=,n.ji用矩阵形式表示则有Y=pWY+Z+g(/X其中响应变量Y=（u 1,2，y n)T 是标量向量；ll1是未知的空间自回归参数；W=(wis）n x n 是空间权重矩阵；Z是np维标量解释变量矩阵，其中p代表标量解释变量的个数；Pj=1X(t)(t)dt)+e,(1)李云霞等：函数型部分线性单指标空间自回归模型153是p1维未知参数；X(t)是L2(T)空间上的随机曲线，平方可积且可进行内积的运算，;(t)代表x(t)第条观测曲线，了X(t)(t)dt=(Ji(t)(t),J an(t)(t)T;B(t)是未知参数曲线,J2(t)dt=1；链接函数g()是未知的非参数变量；=（e 1,2，,e n)是均值0，方差为常数2 的随机误差项，且与X(t),z独立。令=（,p,o2)，其中o。=（%T,p o,0)表示式(1)中参数的真实值.为了表示以及书写方便，下文令G=g(JX(t)(t)dt)，代表未知链接函数，将c;(t)(t)dt简写为Ji,则模型简化为Y=pWY+Z+G+e.2.2估计方法求解SAR类模型时，通常先令A(p)=Inp W,则式(2)的对数似然函数为nln L:2那么，?的QMLE估计为=(A(p)Y-G)(I-Pz)(A(p)Y-G),其中Pz=Z(ZTz)-1zT,则求解p的集中对数似然函数为-2 1n(2)-2 1 02-2 1n 4(e).2ln L=n若要得到模型参数的估计值，还需G的估计才能运用QMLE求解空间部分参数.接下来开始详细介绍函数型部分线性SAR模型的四阶段估计器.第一阶段，假设0,(t)已知，求G的估计.该阶段借鉴Ye和Hooker(2020)17在点处对链接函数进行Taylor展开的方法求解G.g(）=g(c o）g（c o)(a o)，由局部线性估计理论可以得到(ao,a1)=min Z(7)h其中ut=i-pDi+i wiji-D=-1 2i,(u),g(u)=(ao,a1),令p,j=(1,J X-(J ajp)1)1其中1 为n1维全i列向量,Kp,j=diag(K(h-1(Jai-Jaj),K(h-1(Jan-JajB),通过式(7)可以求得g(Ja;B)=($F,Kp,jp,s)-(sF,Kp,)(A(p)Y-Z).(9(a;B)(2)22(A(p)-Z-G)T(A(p)-Z-G)+ln|A(p)I.=(zTz)-zT(A(p)Y-G),nnyt-(ao+ai(/;(t)(t)dt-u)K(3)(4)(5)(6)n a;(t)(t)dt-=),(8)结合式(8),则G的估计为G=(g(/1P),.,9(此时得到的G是关于参数,(t)的函数.第二阶段，将G的估计结果带入空间部分，求解空间自回归部分参数将G带入式(3)可得n1nL1n(2元02通过QMLE更新,o2,=(z(I-)(I-)z)-zT(I-)(I-4)A(p),2=I(A(p)Y)T(I-)T(I-Pz)(I-)A(p)Y,nTanP)=$(A(p)Y-Z).(A(p)-Z-G)(A(p)-Z-G)+InA(p),(9)(10)(11)154高校应用数学学报第38 卷第2 期G=$(A(p)Y-Z).此时得到的,2 是关于参数p,(t)的函数.第三阶段，通过最大化集中似然函数更新p.将式(1 1)带入式(6)，得到新的集中似然函数1n(2元n第四阶段，利用阶段二，三中的更新结果更新(t)。根据Chen等(2 0 1 1)1 6 中的理论，利用最小化残差平方和式(1 3)来更新(t).(13)nj=1其中g(Ja;3)来自式(8),9(JajB)=n,K(h-1(J aiB-/ajp),将更新后的估计值代入式(1 0)到式(1 2)，得到参数和非参数分量的最终估计结果.$3假设和渐近性质(12)2lnL=S()=nK(h-i(/ai-J ajB)n2k=Jn+13.1假设为了得到=(,p,2)T,(t),g(Jai)的渐近性质，本文做了以下假设.A1(i)ci;(t),zi)=1是独立同分布的，且在LTRP上一致有界;(i)在附近的ERP满足zTlcz，其中c,是正常数;(ii)实值函数g(u)是二阶连续可微有界函数.9，g/满足Lipschitz条件.这意味着存在一个正常数cg，满足在任意u,E U处有lg(u)g(u)c g l u l.A2(i)矩阵A(p)对于所有的|pl1是非奇异的;(i)空间系数矩阵W是非随机的，其中对于i,j=1,2,，n，有wi=0,wi=Op(1/ln),lim ln/n=0;(i)矩阵W和A-1(p)在行(列)和上一致有界.A3(i)核函数K()是具有有界闭支撑集的非负对称函数，即存在常数ck0这样的支撑集-Ck,Ch C R和k(u)0,使得|ul c;时,k(u)0;(ii)令(K)=k(u)udu,i(K)=J k2(u)udu,其中l是非负整数;(ii)|k2()M,其中M是常数;(iv)当n ,h 0,有nh 0;(v）当K满足Lipschitz条件时，N-W估计下g的也是Lipschitz条件.A4定义序列Jn，当Jn 0,n0时,有，Sikb%=O(J-),其中入 0,Jn=o().A5假设 supf(a|)太平洋气候区 大陆气候区 北极气候区.2010ArcticAtlanticContinentalxPacificVictoria0Halifax-10-20-30WinnipegResolutemAMJAS0ND图34个气象站的日均气温图图2 加拿大35个气象站的空间分布图由图3可知，日均气温图可视为一条函数型数据，且该曲线呈现为正弦函数形态，最早的关于该数据的研究在Ramsay和Silverman(1997)中出现过.下面将基于剔除北极气候区3个站点后的32 个站点的加拿大气象数据，建立函数型单指标SAR模型，模型如(2 6)所示.n(26)j:ji其中yi为32 个站点年总降雨量的对数，c;(t)为32 个站点日均气温考虑到数据的周期性，利用Fourier基函数对离散的每个站点的日均气温进行拟合，采用queen型分区空间权重矩阵进行分析.基于模型计算得到空间自回归参数为-0.1 90 8，说明加拿大三大气候区的年总降雨量存在偏弱的负空间自相关性参数(t)的估计结果见图4该参数相当于给日均气温分配了影响权重，从图4中可以看到，8 月的气温分配到的权重最小，符合夏季气温高降雨量少的特点；1 0 到1 1 月分164高校应用数学学报第38 卷第2 期3.80.0060.004.-0.002-000-0.002-0.0043.63.2-2.UmAMJJASmonth图4参数(t)的估计结果(t)气候区AManticContinentalPacificN-3.0图5链接函数的估计结果-2.5-2.0-1.5-1.0配的权重最值，该月份对降雨量的影响最大.根据估计所得的(t)以及链接函数，可以得到链接函数如图5所示.可以很明显地从图5看出，链接函数呈线性形式，且各个气候区在图中存在相对明显的分区.总体来看，估计得到的链接函数值均在2.2 到3.1 之间，这一结果表明日均气温与年总降雨量之间存在正向的相关关系.通过参数(t)能将日均气温曲线转换成横轴上的数值，从结果看，大陆气候区转换后数值偏低，则由该数值计算得到的链接函数值也偏低；大西洋气候区转换后数值在高数值区，计算得到的链接函数值高；而太平洋气候区转换后数值则相对中庸，遍布坐标轴，这一结果恰好与气候区的实际降雨情况相对应.结论为了使SAR模型能够应用于函数型数据领域，本文结合单指标模型提出了一种函数型部分线性单指标SAR模型基于局部线性方法和QMLE的优点，提出了一种四阶段估计法来估计模型中的参数和非参数分量MonteCarlo仿真结果表明，该四阶段估计性能良好.实证分析对加拿大气象数据建立了函数型单指标SAR模型，结果表明加拿大三大气候区存在负向的空间相关性，1 0 到1 1 月份气温对降雨量的影响最大，由估计的链接函数得日均气温与年总降雨量正相关.参考文献：123 45 Lee L F.GMM and 2SLS estimation of mixed regressive,spatial autoregressive modelsJ.Journal of Econometrics,2007,137(2):489-514.6Paelinck J,Klaassen L.Spatial EconometricsM.Farnborough:Saxon House,1979.Anselin L.Spatial Econometrics:Methods and ModelsM.New York:Springer,1988.Cliff A D,Ord J K.Spatial autocorrelationM.London:Pion Ltd.,1973.Lee L F.Asymptotic distributions of quasi-maximum likelihood estimators for spatial au-toregressive modelsJ.Econometrica,2004,72(6):1899-1925.Kelejian H H,Prucha I R.A Generalized spatial two-stage least squares procedure for es-timating a spatial autoregressive model with autoregressive disturbancesJ.The Journal ofReal Estate Finance and Economics,1998,17(1):99-121.李云霞等：函数型部分线性单指标空间自回归模型165LI Yun-xia,WANG Xin-yul.,2325035,China)7Su Liangjun,Jin Sainan.Profile quasi-maximum likelihood estimation of partially linearspatial autoregressive modelsJJ.Journal of Econometrics,2010,157(1):18-33.8Su Liangjun.Semiparametric GMM estimation of spatial autoregressive modelsJ.Journalof Econometrics,2012,167(2):543-560.9张静.空间单指标自回归模型的估计与检验D.乌鲁木齐：新疆大学，2 0 1 5.10 Cheng Suli,Chen Jianbao.Estimation of partially linear single-index spatial autoregressivemodelJ.Statistical Papers,2021,62(1):495-531.11Sun Yan.Estimation of single-index model with spatial interactionJ.Regional Science andUrban Economics,2017,62:36-45.12 Sun Yan,Wu Yueqin.Estimation and testing for a partially linear single-index spatialregression modelJ.Spatial Economic Analysis,2018,13(4):379-382.13 Cheng Suli,Chen Jianbao,Liu Xuan.GMM estimation of partially linear single-index spatialautoregressive modelJ.Spatial Statistics,2019,31,100354.14Ramsay J O,Silverman B W.Functional Data AnalysisM.New York:Springer,1997.15 Ferraty F,Vieu P.Nonparametric Functional Data AnalysisM.New York:Springer,2006.16 Chen Dong,Hall P,Muller H.G.Single and multiple index functional regression models withnonparametric linkJJ.The Annals of Statistics,2011,39(3):1720-1747.17Ye Zi,Hooker G.Local quadratic estimation of the curvature in a functional single indexmodelJ.Scandinavian Journal of Stats,2020,47(4):1307-1338.18 Ichimura H.Semiparametric least squares(SLS)and weighted SLS estimation of single-indexmodelsJ.Journal of Econometrics,1993,58(1-2):71-120.19 Wang Guochang,Zhou Yan,Feng Xiangnan,et al.The hybrid method of FSIR and FSAVEfor functional effective dimension reductionJJ.Computational Stats and Data Analysis,2015,91:64-77.20 Case AC.Spatial patterns in household demandJ.Econometrica,1991,59(4):953-965.Functional partial linear single index spatial autoregressive model(1.School of Data Sciences,Zhejiang University of Finance and Economics,Hangzhou 310018,China;2.School of Data Science and Artificial Intelligence,Wenzhou University of Technology,WenzhouAbstract:This paper presents a functional partial linear single index spatial autoregressive model,which synthesizes and extends the functional single index model and spatial autoregressive model(SAR).Based on the quasi maximum likelihood estimation(QMLE)and local linear method,a four stage esti-mator is constructed to estimate parametric and nonparametric components.The asymptotic propertiesof parametric and nonparametric component estimators are given build on the assumptions.On thisbasis,the limited sample performance of the estimator is studied by Monte Carlo simulation.Finally,a functional data spatial single index autoregressive model is established for the curves of annual totalrainfall and daily average temperature of Canadian meteorological data.It is found that there is a weaknegative spatial autocorrelation for the total rainfall in this model,and the daily average temperatureis positively correlated with the annual total rainfall.Keywords:SAR;functional data;single index model;QMLE;local linear regressionMR Subject Classification:62F10;62G05