整数的二进制表示中1的个数.docx

－整数的二进制表示中1的个数
题目：输入一个整数，求该整数的二进制表达中有多少个1。例如输入10，由于其二进制表示为1010，有两个1，因此输出2。
分析：这是一道很基本的考查位运算的面试题。包括微软在内的很多公司都曾采用过这道题。
一个很基本的想法是，我们先判断整数的最右边一位是不是1。接着把整数右移一位，原来处于右边第二位的数字现在被移到第一位了，再判断是不是1。这样每次移动一位，直到这个整数变成0为止。现在的问题变成怎样判断一个整数的最右边一位是不是1了。很简单，如果它和整数1作与运算。由于1除了最右边一位以外，其他所有位都为0。因此如果与运算的结果为1，表示整数的最右边一位是1，否则是0。
得到的代码如下：
int NumberOf1_Solution1(int i)
{
int count = 0;
while(i)
{
if(i & 1)
count ++;

i = i >> 1;
}

return count;
}
可能有读者会问，整数右移一位在数学上是和除以2是等价的。那可不可以把上面的代码中的右移运算符换成除以2呢？答案是最好不要换成除法。因为除法的效率比移位运算要低的多，在实际编程中如果可以应尽可能地用移位运算符代替乘除法。 
这个思路当输入i是正数时没有问题，但当输入的i是一个负数时，不但不能得到正确的1的个数，还将导致死循环。以负数0x80000000为例，右移一位的时候，并不是简单地把最高位的1移到第二位变成0x40000000，而是0xC0000000。这是因为移位前是个负数，仍然要保证移位后是个负数，因此移位后的最高位会设为1。如果一直做右移运算，最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。
为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字i。首先i和1做与运算，判断i的最低位是不是为1。接着把1左移一位得到2，再和i做与运算，就能判断i的次高位是不是1……这样反复左移，每次都能判断i的其中一位是不是1。基于此，我们得到如下代码：
int NumberOf1_Solution2(int i)
{
int count = 0;
unsigned int flag = 1;
while(flag)
{
if(i & flag)
count ++;

flag = flag << 1;
}

return count;
}
另外一种思路是如果一个整数不为0，那么这个整数至少有一位是1。如果我们把这个整数减去1，那么原来处在整数最右边的1就会变成0，原来在1后面的所有的0都会变成1。其余的所有位将不受到影响。举个例子：一个二进制数1100，从右边数起的第三位是处于最右边的一个1。减去1后，第三位变成0，它后面的两位0变成1，而前面的1保持不变，因此得到结果是1011。
我们发现减1的结果是把从最右边一个1开始的所有位都取反了。这个时候如果我们再把原来的整数和减去1之后的结果做与运算，从原来整数最右边一个1那一位开始所有位都会变成0。如1100&1011=1000。也就是说，把一个整数减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0。那么一个整数的二进制有多少个1，就可以进行多少次这样的操作。
这种思路对应的代码如下：
int NumberOf1_Solution3(int i)
{
int count = 0;

while (i)
{
++ count;
i = (i - 1) & i;
}

return count;
}
扩展：如何用一个语句判断一个整数是不是二的整数次幂？
PS：n&(n-1)==0;//二进制数只有一位位1，则该数是2的整数次幂.

题目：输入一个整数，求该整数的二进制表达中有多少个1。例如输入10，由于其二进制表示为1010，有两个1，因此输出2。
分析：
首先想到的方法应该就是通过取余、作除来转换为二进制，进而求的整数中1的个数。但是该方法存在一个问题：即如果该整数位负数，如-7，则求的结果实际是正7的二进制形式中1的个数。我们可以考虑另一种方法，依据如下：
xxx1000 &(xxx1000-1)=xxx0000
即整数n-1会使得该整数的二进制形式中最后一个1变为0，而该1之后的所有位变为1，然后再与n做与操作，即可将该位置0，也即会把该整数最右边一个1变成0。这样，整数的二进制形式中有多少位为1，就可以进行多少次这样的操作，进而求出该整数的二进制形式中有多少个1.而负数在计算时会被转换为补码，同样可以计算出二进制中1的个数。
参考代码：
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int count1InNum(int num)
{
int result=0;
while(num!=0)
{
num &=(num-1);
result++;
}
return result;
}
//此方法如果num为负数，比如-7，则求的1的个数实际是7的二进制形式中1的个数
int count(int num)
{
int result=0;
while(num!=0)
{
if(num%2!=0)
result++;
num /= 2;
}
return result;
}
int main()
{
int num;
scanf("%d",&num);
while(num!=0)
{
char s[33];
itoa(num, s, 2);
printf("The number of 1 in %d (%s) is %d.\n",num,s,count1InNum(num));
printf("The number of 1 in %d (%s) is %d.\n",num,s,count(num));
scanf("%d",&num);
}
getchar();
return 0;
}

运行结果举例：

统计一个整数n的二进制表示中1的个数
统计一个整数n的二进制表示中1的个数；
分析：此题有多种解法.
1. 除2取余法：求一个整数的二进制的表示是，用的方法是除2取余。对于本题，只是统计一下余数为1的个数而已。
2. 位模式法+移位：1的变种，用移位代除2，该方法更高效。用位模式，与1相与，取得一位。
3. 模式位法： n = n& (n -1);  考虑 n 与 n -1的二进制表示，两者相&, n-1总能将n的最低位的1，置0.   
4. 分而治之法：分析，n的二进制表示中位为1的位中1，还可以表示该位的1的个数为1。基于这个计数的性质。
    要求一个n位的整数的二进制的表示中1的个数：
   (1).若n为1，返回该位的值；即该位上1的个数；
   (2) 若n>1时，等于其前n/2位中1的个数+后n/2位中1的个数；

具体实现代码及其测试如下：
//采用分而治之的方法统计n的二进制表示中1的bits
int countBitsOf1(int n) {
        n = (n & 0x55555555) + ((n & 0xaaaaaaaa) >> 1); //2bits一组，用2bit表示这个2bit中1的个数
        n = (n & 0x33333333) + ((n & 0xcccccccc) >> 2); //4bits一组
        n = (n & 0x0f0f0f0f) + ((n & 0xf0f0f0f0) >> 4); //8bits组
        n = (n & 0x00ff00ff) + ((n & 0xff00ff00) >> 8); //16bits组
        n = (n & 0x0000ffff) + ((n & 0xffff0000) >> 16); //32bits组
        return n;
}
//统计n的二进制表示中1的个数:模2取余法
int numOfOnes_0(int n) {
        unsigned m = (unsigned)n;
        int count = 0;
        while(m) {
                if(m%2) ++count;
                m /= 2;
        }
        return count;
}

//统计n的二进制表示中1的个数:模2取余法的变种，模式位+移位法
int numOfOnes_1(int n) {
        unsigned m = (unsigned)n;
        int count = 0;
        while(m) {
                if(m & 1) ++count;
                m >>= 1;
        }
        return count;
}

//统计n的二进制表示中1的个数:模式位法：n&(n-1) 总能将n的最右边的1置0;
int numOfOnes_2(int n) {
        int count = 0;
        while(n) {
                ++count;
                n = n & (n-1);
        }
        return count;
}

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#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int NumberOf1_Solution1(int i)
{
int count=0;
while(i!=0)
{
i &=(i-1);
count++;
}
return count;
}

int NumberOf1_Solution2(int i)
{
int count=0;
while(i!=0)
{
if(i%2!=0)
count++;
i /= 2;
}
return count;
}

int main()
{
int i;
scanf("%d",&i);
while(i!=0)
{
char s[33];
itoa(i, s, 2);
printf("The number of 1 in %d (%s) is %d.\n",i,s,NumberOf1_Solution1(i));
printf("The number of 1 in %d (%s) is %d.\n",i,s,NumberOf1_Solution2(i));
scanf("%d",&i);
}
getchar();
return 0;
}