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第6 0 卷第7 期2023年7 月15日电测与仪表Electrical Measurement&InstrumentationVol.60 No.7Jul.15,2023负载对 DCVM Cuk PFC变换器稳定性的影响周群,刘天成，余铁钞,赵明,吴天强（四川大学电气工程学院，成都6 10 0 0 0）摘要：以不连续电容电压模式Cuk功率因数校正变换器为例，描述了当系统负载增大时存在的慢尺度分岔现象。分析了慢尺度分岔现象的特点和产生原因，根据功率平衡原理推导了系统的谐波平衡解，并进行仿真验证文中理论。结果表明，随着负载电阻的增大，系统会进入倍周期分岔继而进入混沌状态，电路在轻载状态下容易发生分岔现象。这类慢尺度分岔现象及相关分析得到了实验验证。关键词：Cuk；功率因数校正；不连续电容电压模式；慢尺度分岔D0I:10.19753/j.issn1001-1390.2023.07.007中图分类号：TM46Influence of load on stability of DCVM Cuk PFC converterZhou Qun,Liu Tiancheng,Yu Tiechao,Zhao Ming,Wu Tianqiang(School of Electrical Engineering,Sichuan University,Chengdu 610000,China)Abstract:Taking the Cuk power factor correction(PFC)converter working in the discontinuous capacitor voltage mode as anexample,the phenomenon of slow scale bifurcation when the system load increases is described.In this paper,the characteris-tics and causes of slow scale bifurcations are analyzed,the harmonic balance solution of the system is derived based on the prin-ciple of power balance,and the theory is verified by simulation.The simulation results show that with the increase of the loadresistance,the system will enter the period doubling bifurcation and then enter the chaos state,and the circuit is prone to bifur-cate under light load.This kind of slow scale bifurcation phenomenon and related analysis have been verified experimentally.Keywords:Cuk,PFC,discontinuous capacitor voltage mode,slow scale bifurcatio0引言由于开关的不断切换，使得电力电子电路是一个分段光滑的非线性系统。自上世纪8 0 年代开始，人们在DC-DC变换器中发现了边界碰撞等非线性现象12 。近年来，功率因数校正变换器（Power FactorCorrection)的非线性现象逐渐引起人们的重视3-15与DC-DC变换器不同,PFC变换器的输人电压为工频正弦交流3,因此PFC变换器具有更加复杂的非线性行为，已有研究表明PFC变换器存在三种分岔类型5-7 ：快尺度、中尺度和慢尺度分岔。其中慢尺度分岔主要有以下几个特点：分岔行为发生在工频附近，慢尺度分岔引起输出电压谐波增大，输入电流发生畸变，功率因数降低 。因此研究PFC 变换器的慢尺度分岔具有重要意义。PFC电路的工作模式可以分为四种：连续导通模式(（Continuous Conduction Mode,CCM）、不连续电感电流模式(Discontinuous Inductor Current Mode，D ICM）、不连续电容电压模式（Discontinuous CapacitorVoltageMode,DCVM）以及不连续准谐振模式（DiscontinuousQuasi-Resonant Mode,DQRM),其中,DICM 和 DCVM主文献标识码：A文章编号：10 0 1-1390(2 0 2 3)0 7-0 0 47-0 5要应用在低功率（Uramp时,比较器输出高电平,开关管S导通；当。Uramp时，比较器输出低电平,开关管S关断。因此,开关管占空比d为：(3)由文献16 可知,电容C,的放电时间与开关周2CzU2U2+L2(C2V2+RLU2)+k(Vrer+2)dt)+Vnug-ki(Ver+v2)-kpu2/由式(9)可知,该式只与状态变量u2有关,含有U2的一阶微分，二阶微分和积分项,采用谐波平衡法将电压u2进行Fourier级数展开，可求得u2的数值表达式，具体过程见文献2 0 。21DCVMCukPFC变换器慢尺度分岔数值仿真2.1电阻R,对系统稳定性影响选择主电路参数为：Uin,ms=110 V,T=20 ms,T,=20s,C,=47 nF,L,=9.8 mH,L,=250 H,C2=3 300 F,R,=20 2,Vrer=-35 V,Vh=10 V,VL=0 V,kp=1,kr=200。图2 是R.取不同值时电容电压的仿真波形及其局部放大图。取R=20时，由图2(a)可知,u的周期是0.0 1s，由的局部波形可知,在每一个半工频周期内，电容Ci主要工作于DCVM,系统工作于稳定状态。当RL=35Q时,由图2(b)可以看出,u,的周期变成了0.0 2 s,系统发生了工频周期的倍周期分岔现象。同时,在i的每个一48 一电测与仪表Electrical Measurement&Instrumentation+V期T,的比值d,为：2u,R,Cf.￥D。C2 十！RPWM SignalPIrampV2(C2V2+R十Vu+(kp(Vrer+2)+k f(Ver+u2)dt)2f.C.VV+hp(Ver+u2,)+ki(Ver+,)d)?0.02s的周期里，有0.0 1s的时间,u,的工作模式是单一的CCVM,另外的0.0 1 s的时间,ui主要工作于DCVM,还有少部分的CRM（Cr i t i c a l Co n d u c t i o n M o d e，CR M)。为R=50时，由图2（c)可以看出，系统已经丧失了周期性，处于混沌状态。此时，U不再具有周期性,工作模式存在CCVM、D CVM 和CRM多种模式的相互切换，且工作模式切换无规律。由图2 可知，随着电阻R,的增大,电容C,两端的电压工作模式在不同的半工频周期由DCVM模式转变为DCVM和CCVM两种模式的切换，引起系统发生倍周期分岔,最后过渡到多种模式的无规律切换，导致系统进入混沌状态，从而丧失功率因数校正功能。取负载电阻RL=20,采用谐波平衡法可得u2的近似周期平衡：V2=35.023 714-0.254 358coswot-1.262 475sinwot+0.017 024cos2wot-0.008 217sin2wot。Vol.60 No.7Jul.15,2023(4)根据系统输人输出功率平衡16 ，可得：du2+Li2dtdizC2V2dtC,两端电压,与输入电压的关系为19：i=1-d(1)当占空比和开关频率f.固定时,DCVMCukPFC变换器的等效输人电阻R。为一常数19：R.=(L2C.f.由式(5)和式(7)可得流过电感L,的电流和流过电感L2的电流i分别为：(2)2f.CiUR。(1-d)2du212dt2R根据式(5)的功率平衡方程,忽略开关周期T,内流过电感L,的电流i的变化,将式（1）、式（3）、式（4）、式(6)和式(8)代人式(5),令=dvz/dt,=dvz/dt，。=d u z/d t,则状态变量u2的非线性微积分方程为：CiuVHRduiCu+L,idtdt/Viug Vh+(kp(Vrer+(9)di(5)R(6)(7)(8)第6 0 卷第7 期2023年7 月15日当R=20Q时，电压2 和电流的时域图如图3所示。由图3可知,输出电压2 与采用谐波平衡法所求结果一致，电路工作于稳定状态，系统功率因数为0.97 14。当RL=35Q时，电压z和电流i的时域图如图4所示。由图4可知,电路工作于周期2 状态，电流i和电压U2波形的周期都是周期1状态时的两倍，即电路发生了倍周期分岔，谐波含量增多,系统功率因数为0.6 938。当R=50Q时，电压2 和电流的时域图如图5所示。由图5可知,电路工作于混沌状态，电流和电压v2波形的周期都很长。谐波含量进一步增多,电路基本失去功率因数校正能力。60040020000.280.29 0.3 0.310.32(a)Rt=20 250040030020010004002000.280.30.32.0.34(c)Rt=50 Q2图2R取不同值时电容电压Ui仿真波形Fig.2Simulation waveform of capacitor voltage Viwhen R,takes different values4540353037365353433-02(c)ii和v2的相平面图图3R=20Q时波形Fig.3Waveform when R,=20 2电测与仪 表Electrical Measurement&Instrumentation40535300260.28030.320.34(a)电压 v237362353433202(c)）i 和v2的相平面图图4R=35Q时波形Fig.4Waveform when R,=35 2DCVM403530250.243736N.35CCVM3433-02DCVM(c）i 和v2的相平面图0.280.30.32(b)R,=35Q21.5A0.50V0.28029(a)电压 v20.20.6i/AVol.60 No.7Jul.15,20231.510.5028(b)电流i10.20.6i/A0.28 0.32(a)电压v20.20.6i/A图5RL=50时波形CRMFig.5Waveform when R,=50 2为了确定具体的分岔位置,文中采用Floquet理论CCVM确定分岔的边界值。在所求得的数值表达式的基础DCVM上，施加微小扰动，得到系统的Jacobi矩阵,Jacobi矩阵存在着基础解矩阵,称为系统的状态转移矩阵,该状态转移矩阵的特征值即为Floquet乘子,具体推导介绍参考文献2 0 。根据Floquet 理论,若所有 Floquet 乘子均在单位圆内,则系统的周期解是渐近稳定的；若至少有一个 Floquet 乘子穿越单位圆,则系统不稳定。Flo-quet乘子与系统分岔行为之间存在三种关系，具体如下：（1）一个实Floquet乘子沿着负实轴穿越单位圆，而其他乘子均在单位圆内,则系统将发生倍周期分岔；030.290.30310320.33(b)电流110080604020010200400600 800J/Hz(d)电压v2谐波谱0311.40.3625020015010050010 100 300 500 700 900f/Hz(d)电压v2谐波谱(2）一个实Floquet乘子沿着正实轴穿越单位圆，而其他乘子均在单位圆内,则系统将发生叉形分岔；（3）一对共轭复数Floquet乘子穿越单位圆，而其他乘子均在单位圆内,则系统发生Hopf分岔。改变电路参数R，得到如表1的的数据，由表1可知，当负载R为34时，有一个实Floquet乘子入沿负实轴穿越单位圆，而其他乘子均在单位圆内，系统发生了倍周期分岔，增大R,至43Q时，系统进人混沌状态。仿真与理论推导一致,验证了理论推导的正确性。49-0320200 400 600800f/Hz(d)电压v,谐波谱1.20.8W0400.28(b)电流i;0.320.36第6 0 卷第7 期2023年7 月15日R/0152532344043502.2其它参数对系统稳定性的影响当输入电压发生变化时,负载电阻的值随之改变，以实现系统的稳定运行。现改变输入电压，如图6 所示,输入电压vin,ms在8 0 V220V的变化过程中,系统稳定运行所需要的电阻R的临界值会越来越小。同理,改变控制参数kp，如图7 所示，可以看到随着kp的增加，系统稳定运行所需要的电阻R变化不大,且整体有逐渐增大的趋势。说明在一定的范围内,控制参数kp对系统稳定运行的影响不大，主电路参数的改变对系统稳定运行影响较大。PSIM仿真和理论计算所得值的变化规律一致,且结果基本相符，给实际参数设计提供了理论依据。由于电路在建模过程中进行了平均简化,因此两者之间存在合理范围内的误差。6050403020稳定区域1080100120 140 160180200220Vin,ms/V图6输入电压Uin.ms与负载电阻R的关系曲线Fig.6Relationship curve of input voltage Vin,msand load resistance R,40Vin.ms=110V不稳定区域C:3020100.51图7kp与负载电阻R,的关系曲线Fig.7Relationship curve of kp and load resistance R3实验验证DCVMCukPFC变换器稳定实验如图7 所示，当R=20时，输出电压2、电感电流i、输入电压v输电流i、电容电压以及2 i的相谱图分别如图8（a）、一50 一电测与仪 表Electrical Measurement&Instrumentation表1电阻R,取不同值时Floquet乘子及电路状态Tab.1Floquet multiplexer and circuit states with different resistance Rr values入120.235 6 0.917 9j0.605 9 0.755 6j-0.324 7 0.819 4j-1.009 5-1.021 7-1.293.71.3285kp=1不稳定区域一理论计算+数值仿真稳定区域+理论计算23kpVol.60 No.7Jul.15,2023入3.4入50.704 9 0.610 8 j0.999 30.510 2 0.704 8 j0.997 20.371 6 0.746 2j0.997 0-0.301 20.046 1 0.860 7j0.365 20.375 1 0.649 2 j-0.416 7-0.319 4 0.728 3 j-0.490 60.102 6 0.901 4 j+数值仿真451入1,2 10.947 60.968 50.881 40.995 70.993 60.992 20.990 7图8(b）、图8(c）、图8(d)和图8(e)所示,输人电流能较好地跟踪输入电压，电路具有良好的功率因数校正能力，系统主要工作于DCVM模式。当RL=35Q时，得到实验结果如图9所示，1、U2和i的周期为0.0 2 s,系统发生了倍周期分岔，输人电流不能较好地跟踪输入电压，系统功率因数校正能力急剧降低,系统在DCVM和CCVMoya(5yaivimAdi)(d)vi(100V/div)t(5 ms/div)一(a)电压v2;(b)电流ir;(c)输入电压vin和im输入电流;(d)电压vI;(e)i和v2的相平面图图8 RL=20时实验波形Fig.8Experimental waveform when R,=20 2()(d)(a)电压v2;(b)电流i;(c)输人电压vi和in输人电流;(d)电压vI;(e)i和v2的相平面图图9 RL=35时实验波形Fig.9Experimental waveform when R,=35 1入3,410.92200.866 10.832.90.861 20.744 30.795 30.907 2v2(10 V/div)t(10 ms/div)(bi(500mA/div)t(5 ms/div)ev2(1V/divwwwi(500mA/div)(a)v2(10V/div)t(20ms/div)(b)i(500mA/div)t(10ms/div)vi(100V/div)v2(2V/divwt(5ms/div)i(200mA/div)电路状态稳定稳定稳定倍周期倍周期混沌混沌第6 0 卷第7 期2023年7 月15日模式之间来回切换。当R=50Q时,结果如图10 所示，U12和i的周期都变得很大,系统不断在DCVM、CCVM和CRM之间无规律的来回切换，处于一种混沌状态,功率因数校正能力进一步降低。实验与仿真结果一致，说明了DCVMCuk电路在轻载情况下易分岔。(Vin(60V/div)im500mA/divv2(10V/div)t(50ms/div)(bi(200mA/div)(20ms/div)()vi(100V/div)t(10ms/div)(a)电压v2;(b)电流i;(c)输人电压vim和i输人电流;(d)电压vi;(e)i和v2的相平面图图10 R=50Q时实验波形Fig.10Experimental waveform when R=50 24结束语以一个DCVM Cuk PFC 变换器为例,通过理论分析、数值仿真和实验验证研究了其慢尺度分岔行为现象。结果表明,随着负载电阻R,的增大，电路逐渐从单一的DCVM模式过渡到多种模式共存的状态,系统发生慢尺度分岔，输出电压谐波增大,功率因数校正能力降低，系统进人混沌不稳定状态，说明系统轻载易分岔,DCVM模式下的Cuk电路不适合应用于轻载场合。通过谐波平衡法和Floquet 乘子确定系统发生倍周期分岔时的电阻R.临界值,并给出了主电路参数和控制参数分别变化时系统稳定工作的区域，为电路参数的设计提供了理论依据，具有重要的理论指导意义。参考文献1 Hamill D C,Jefferies D J.Subharmonics and chaos in a controlledswitched-mode power converter.IEEE Trans.Circuits and Systems,1988,35(8):1059-1061.2 Converters CC.B.O.S.P.Complex behavior of switching 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一），女，教授，硕士生导师，博士，研究方向为电工理论和电能质量。Email:收稿日期：2 0 2 0-0 3-0 4；修回日期：2 0 2 1-0 6-11(田春雨编发）一51一