第一章复数与复变函数.pdf

复变函数复变函数复变函数复变函数教材教材复变函数复变函数郭洪芝郭洪芝滕桂兰滕桂兰天津大学出版社天津大学出版社教材教材：复变函数复变函数，郭洪芝郭洪芝，滕桂兰滕桂兰，天津大学出版社天津大学出版社习题集习题集复变函数与积分变换学习指导复变函数与积分变换学习指导习题集习题集：复变函数与积分变换学习指导复变函数与积分变换学习指导，盖云英，包革军等，科学出版社。，盖云英，包革军等，科学出版社。上课时间：上课时间：18周周考试时间：第考试时间：第9或或10周周考试成绩：平时考试成绩：平时20%（作业，出勤）（作业，出勤）+期末期末80%复变函数主要内容复变函数主要内容1 复变函数1 复变函数2 2解析函数解析函数3 复变函数的积分3 复变函数的积分级数级数2 2解析函数解析函数4 4 级数级数5 留数及应用5 留数及应用6 保角映射6 保角映射后续课程后续课程积分变换积分变换后续课程后续课程：积分变换积分变换7 7 Fourier变换8 变换8 Laplace变换变换9 9 Z变换10 小波变换基础变换10 小波变换基础引 言在十六世纪中叶，卡尔达诺在十六世纪中叶，卡尔达诺G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次时引进了复数。他发现这个方程没有根，把这个方程在研究一元二次时引进了复数。他发现这个方程没有根，把这个方程1040 xx的两个根形式地表示为，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被的两个根形式地表示为，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很引入后，在很长段时间内不被人们所被认为是没有意义的长段时间内不被人们所被认为是没有意义的不能接受的不能接受的“虚数虚数”515515与直到十七与十八世纪随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别直到十七与十八世纪随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别长长一一段时间内不被人们所被认为是没有意义的段时间内不被人们所被认为是没有意义的、不能接受的不能接受的“虚数虚数”。是由于是由于L.Euler（瑞士（瑞士.17071783)的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式：揭示了复公式：揭示了复指数函数与三角函数之间的关系指数函数与三角函数之间的关系然而直到然而直到C Wl(挪威挪威 1745cossiniei指数函数与三角函数之间的关系指数函数与三角函数之间的关系。然而然而一一直到直到C.Wessel(挪威挪威.1745-1818)和和R.Argand（法国（法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，）将复数用平面向量或点来表示，以及以及K.F.Gauss(德国德国1777-1855)与与W.R.Hamilton(爱尔兰爱尔兰1805-1865)定定以及以及K.F.Gauss(德国德国1777 1855)与与W.R.Hamilton(爱尔兰爱尔兰1805 1865)定定义复数义复数a+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。为一对有序实数后，才消除人们对复数的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数复变函数与积分变换与积分变换及应用背景及应用背景(1)代数方程在实数范围内无解代数方程在实数范围内无解.210 x 的概念的概念 从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数Gauss应用复变应用复变的概念的概念,从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论.代 代数基数基本 本定理定理.Gauss函数理论证明了函数理论证明了应用复变应用复变(2)复变函数理论可以应用于计算某些复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函复杂的实函代本代本数的积分数的积分.J.Hadamard说说:实域中两个真理之间的实域中两个真理之间的最短路程是通过复域最短路程是通过复域最短路程是通过复域最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动流体的平面平行流动(3)复变函数理论可以应用于复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动流体的平面平行流动等问题等问题的研究的研究.(4)应用于应用于计算绕流问题中的压力和力矩计算绕流问题中的压力和力矩等等.最著名的例子是机机翼剖面压力的计算最著名的例子是机机翼剖面压力的计算最著名的例子是最著名的例子是飞飞机机翼剖面压力的计算机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题(5)应用于应用于计算渗流计算渗流问题问题从而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题.(5)应用于应用于计算渗流计算渗流问题问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于应用于平面热传导问题、电平面热传导问题、电(磁磁)场强度场强度.例如：热炉中温度例如：热炉中温度的计算的计算.(8)复变函数理论也是复变函数理论也是积分变换的重要基础积分变换的重要基础(8)复变函数理论也是复变函数理论也是积分变换的重要基础积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用积分变换在许多领域被广泛地应用如电力如电力积分变换在许多领域被广泛地应用积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域和其他许多数学、物理和工程技术领域变换应用于频谱分析和信号处理等变换应用于频谱分析和信号处理等.频谱分析是对各次谐波的频率频谱分析是对各次谐波的频率振幅振幅相位之相位之Fourier(9)频谱分析是对各次谐波的频率频谱分析是对各次谐波的频率、振幅振幅、相位之相位之间的关系进行分析间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.变换应用于控制问题变换应用于控制问题Laplace(10)变换应用于控制问题变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数是输入量的LaplaceLaplace(10)p变换与输出量的变换与输出量的Laplace变换之比变换之比.(11)Z变换应用于离散控制系统变换应用于离散控制系统.(12)小波分析的应用领域十分广泛小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和如信号分析和图象处理图象处理语音识别与合成语音识别与合成医学成像与诊断医学成像与诊断图象处理图象处理、语音识别与合成语音识别与合成、医学成像与诊断医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等地质勘探与地震预报等等.地质勘探与地震预报等等地质勘探与地震预报等等.(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件工程计算设计的软件MATLAB基基第第一一章章 复数与复变函数复数与复变函数第章第章 复数与复变函数复数与复变函数1.11.1 复数及其表示法复数及其表示法1.11.1 复数及其表示法复数及其表示法1.21.2 复数的代数运算复数的代数运算1.21.2 复数的代数运算复数的代数运算1.31.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.31.3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.41.4 无穷远点与复数球面无穷远点与复数球面1.41.4 无穷远点与复数球面无穷远点与复数球面1.51.5 复变函数复变函数1.51.5 复变函数复变函数1.61.6 复变的极限和连续性复变的极限和连续性1.61.6 复变的极限和连续性复变的极限和连续性 1.1.11.1.1复数 1.1 复数及其表示法1.1 复数及其表示法 1.1.11.1.1 复数由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要,人们引进了复数人们引进了复数.由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要,人们引进了复数人们引进了复数.例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解1040 xx515515x 与在实数范围内无解在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式为了建立代数方程的普遍理论，引入等式21.i 则则515515xii与由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为虚数单位虚数单位1i1.i 复数定义复数定义：称形称形如如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数的表达式为复数，其其复数定义复数定义：称形称形如如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数的表达式为复数，其其中中 x和和y是任意两个实数是任意两个实数.把这里的把这里的x和和y分别称为复数分别称为复数x+iy(或或 x+yi)的的实部实部和和虚部虚部,并记做并记做Re,xz Im.yz 当复数的虚部为零当复数的虚部为零实部不为零实部不为零(即即 y=0)0 x 当复数的虚部为零当复数的虚部为零、实部不为零实部不为零(即即y=0,)时，复数时，复数x+iy 等于等于x+i0 为实数为实数x,而虚部不为零而虚部不为零(即即0 x )的复数称为虚数的复数称为虚数.在虚数中在虚数中,实部为零实部为零(即即x=0,0y )的称为的称为纯虚数纯虚数.例如例如,3+0i=3是实数是实数,4+5i,-3i都都是虚数是虚数 而而-3i是纯虚数是纯虚数0y 是虚数是虚数,而而-3i是纯虚数是纯虚数.复数集合复数集合（C）全体复数组成的集合全体复数组成的集合即即复数集合复数集合（C）：全体复数组成的集合全体复数组成的集合，即即实数中可以判断两实数相等、大小，复数中？实数中可以判断两实数相等、大小，复数中？复数相等：复数相等：他们的实部和虚部都相等，特别地：他们的实部和虚部都相等，特别地：复数大小复数大小？：5i2i?错错 与实数不同与实数不同 一一般说来般说来 任任复数大小复数大小？：5i2i?错错.与实数不同与实数不同,般说来般说来,任任意两个复数不能比较大小。意两个复数不能比较大小。1.1.2 复平面与复数的表示法1.1.2 复平面与复数的表示法(1).用用XOY平面上的点来表示：平面上的点来表示：复数复数z=x+yi与与一一对有序的实数对有序的实数(x y)对应对应，可用可用XOY坐标平面上惟坐标平面上惟一一的点的点复数复数z x+yi与与对有序的实数对有序的实数(x,y)对应对应，可用可用XOY坐标平面上惟的点坐标平面上惟的点P(x,y)来表示来表示.这时把这时把XOY平面平面称为复平面平面平面称为复平面.有时简称为有时简称为z平面平面.显然显然,实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应,而而x轴以外的点都对应一个虚数轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数纯虚数 iy(y0)与与y轴上的点轴上的点(除原点除原点)对应对应.因此因此,称称x轴为轴为实轴实轴,y轴为轴为虚轴虚轴.今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别,即即“点“点z”和和“复数“复数z”是同一是同一个意思个意思 有时用有时用C 表示全体复数或表示全体复数或复平面复平面y个意思个意思.有时用有时用C 表示全体复数或表示全体复数或复平面复平面.虚轴平面),(yx yyiyxz 虚轴z平面xxo实轴(2).用用以原点为起点而以点以原点为起点而以点P为终点的为终点的向量向量表示表示：(2).用用以原点为起点而以点以原点为起点而以点P为终点的为终点的向量向量表示表示：用表示复数用表示复数z时时,这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上轴上OPy的投影分别为的投影分别为x和和y.OP自由向量自由向量将任意向量的起点平行移至原将任意向量的起点平行移至原自由向量自由向量：将任意向量的起点平行移至原将任意向量的起点平行移至原点点，得到的向量与原来的向量相同得到的向量与原来的向量相同。终点终点P的的坐坐点点得到的向量与原来的向量相同得到的向量与原来的向量相同终点终点 的的标即是点标即是点z=x+iy的实部和虚部。的实部和虚部。“复数“复数z”等价于等价于“向量“向量”y()P x yOzyiyxz (,)P x yxxo(3).用三角函数表示：用三角函数表示：用表示复数用表示复数z时时,这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上的投影轴上的投影分别为分别为x和和y.把向量把向量的长度的长度r 称为复数称为复数z的的模模或称为或称为zOPOPyyiyxz P分别为分别为 和和y 把向量把向量的长度的长度 称为复数称为复数z的的模模或称为或称为z的绝对值的绝对值,并记做并记做|z|.显然显然22xyxoiyxz r22,zrxy,.zxyxzyz xo,zyzyz如果点如果点P不是原点不是原点(即即),那么把轴的正向与向那么把轴的正向与向0z 量的夹角量的夹角 称为复数称为复数 z 的的辐角辐角,记做记做Argz.OP对每个对每个都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角 因为用因为用 表示表示0对每个对每个,都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角,因为用因为用 表示表示复数复数z的一个辐角时的一个辐角时,0z 02 0,1,2,kk 就是就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式.满满的复数的复数 的的称为角称为角满满足足的复数的复数z的的称为称为主辐主辐角角 辐角辐角(或称辐角的主值或称辐角的主值)记做记做则则 Argarg2012zzkk (或称辐角的主值或称辐角的主值),记做记做argz,则则 Argarg2 0,1,2,.zzkk 当当z=0时时,Argz没有意义没有意义,即零向量没有确定即零向量没有确定的方向角；但当的方向角；但当z=0时时,|z|=0.复数复数z=x+yi 可表示为称为复可表示为称为复(cossin),zri 数数z的的三角函数表示式三角函数表示式.(4).用指数表示：用指数表示：利用利用Euler公式公式利用利用Euler公式公式cossin,iei 复数复数z=x+yi 又可表示为又可表示为(cossin),izrire 称为复数的称为复数的指数表示式指数表示式,其中其中r=|z|,=Argz.0z 当时复数表示法的转换：当时复数表示法的转换：（1）：三角表示直角坐标表示）：三角表示直角坐标表示(cossin)zri利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标之间的关系(cossin),zricos,xr sin,yr z=x+iyz x+iy（2）：直角坐标表示三角表示）：直角坐标表示三角表示(i)iz=x+iy(cossin),zri22,zrxyarctan22yArg z=0+2k=arg z+2k(k为任意整数为任意整数)22xy 0arctan22yxyyiyxz Pxxortyarg z=0yarctanyx0argzarctanyx（b）：第二象限，即：）：第二象限，即：x0，y 0yarg z=0yxo00argzarctanyxarctanyx（c）：第三象限，即：）：第三象限，即：x0，y0yyx xo00argz2xo2（e）：）：x=0，y0yy（e）：）：x 0，y 00argz xxo00argz2（f）：）：x=0，y=0,辐角无意义。辐角无意义。综上，综上，arg z可由下列关系确定可由下列关系确定:arctan,yz在第一、四象限arctanxyz在第二象限arctan,arctanzxyz在第二象限在第三象限arctan,argzzx在第三象限在正虚轴上,2z在正虚轴上2z，在负虚轴上无意义在原点上z无意义，在原点上例例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizi 解解 1)|1244.rzz在第三象限在第三象限,因此因此235ttarctanarctan.3612 555i因此因此6554 cos()sin()466izieyarctanyxo0 x02)显然显然,r=|z|=1,又又33sincoscos,525103cossinsin.52510因此因此31033cossin1010izie1010练习练习：写出的辐角和它的指数形式。写出的辐角和它的指数形式。132iz2解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 1 2332arg22,3ArgzzkkkZ31,rz23.ize 1.2 复数的代数运算 1.2 复数的代数运算设设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数是两个复数加减、乘、除、共轭、加减、乘、除、共轭、乘幂、方根乘幂、方根设设z1x1+iy1,z2x2+iy2是两个复数是两个复数(1)复数的和与差复数的和与差)()(yyixxzz )()(212121yyixxzz (2)复数的积复数的积()()()()iii12112212122112()()()()zzxiyxiyx xy yi x yx y(3)复数的商复数的商11122121221122222222222222()()()()zxiyxiyx xy yx yx yizxiyxiyxyxy2221zzzz 22复数复数x-iy 称为复数称为复数x+yi 的的共轭复数共轭复数(其中其中x,y均均(4)复数共轭复数共轭复数复数x iy称为复数称为复数x yi的的共轭复数共轭复数(其中其中x,y均均为实数为实数),并记做。并记做。z .zzz 复数运算的性质复数运算的性质1交换律交换律1221;zzzz1221.zzzz 1.交换律交换律2结合律结合律123123()();zzzzzz2.结合律结合律123123()().zzzzzz 123123()();1231213().zzzzzzz 3.分配律分配律123123()()12124.;zzzz;2121zzzz 1122.zzzz5.zz 2226Re()Im()z zzzz 6.Re()Im().z zzzz7.2Re(),2 Im().zzzzzizRe(),Im()22zzzzzzi 复数相加的几何意义复数相加的几何意义复数相加的几何意义复数相加的几何意义12zz加减法与平行四边形加减法与平行四边形法则的几何意义法则的几何意义z2z12zz2|z法则的几何意义法则的几何意义:1zzzzz1|z从几何上看从几何上看,复数复数 z2-z1所表所表y1212.zzzz从几何上看从几何上看,复数复数 z2z1所表所表示的向量示的向量,与以与以z1为起点、为起点、z2为终为终等等模模z2z21zz 2z1z点的向量相点的向量相等等(方向相同方向相同,模模相等相等).复数的加、减运算对应于复复数的加、减运算对应于复1zxo;zzzz)平面上相应向量的加、减运算平面上相应向量的加、减运算.1212;zzzz 复数相乘的三角函数表示及其几何意义复数相乘的三角函数表示及其几何意义复数相乘的三角函数表示及其几何意义复数相乘的三角函数表示及其几何意义设复数设复数z和和z的三角表示式为的三角表示式为,sin(cos1111）irz 2222(cossin.zri ）设复数设复数z1和和z2的三角表示式为的三角表示式为,sin(cos1111）irz 2222(cossin.zri）根据乘法定义和运算法则及两角和公式根据乘法定义和运算法则及两角和公式,)sin(cos)sin(cos22211121 irirzz ,121212(coscossinsin)r r(ii)i12121212cos()sin().zzr ri1212(sincoscossin),i 12121212cos()sin().zzr ri于是于是于是于是1 21212,z zr rzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两两两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.应该注意的是应该注意的是中的中的ArgArgArg1 212()z zzz 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.应该注意的是应该注意的是中的中的ggg1 212()z zzz加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的 元素相加构成的集合元素相加构成的集合 1 2121122Arg Arg,Arg.z zzz 例：设例：设121,.zzi 求：求：1 2;1 2.z zArgz z;21 2;iz zie 12,Argzn解解：1 2;1,g2Argzm解解22,2Argzm1 21222Argz zArgzArgzk,k m nZ若取若取1,k 则则1,1,;nmnm 若取若取0,mn则则1.k 两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为yz,sin(cos1111）irz yr1z2222(cossin.zri ）1r2z先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向2 ox2r2z1 旋转角度,再将模旋转角度,再将模2 变到原来的变到原来的 倍倍 于是于是o变到原来的变到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积12.zz 所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积12复数相除的三角函数表示及其几何意义复数相除的三角函数表示及其几何意义复数相除的三角函数表示及其几何意义复数相除的三角函数表示及其几何意义(cossin)(cossin)zz zririr12()1121112221222222(cossin)(cossin)izz zririrezrrz z先将先将 按顺时针方向按顺时针方向y1z先将先将z1按顺时针方向按顺时针方向旋转角度旋转角度再将模再将模 1r2z旋转角度旋转角度,再将模再将模2 变到原来的变到原来的1/r2倍倍,得到得到zr2rz1 2211zzzzoxr2 2211zArgArgzArgzz定定两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数两个复数定定理理2 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质当当0z 时时,ArgArg.zz i i 当时当时,izre .izre 一对共轭复数一对共轭复数z和 在和 在zyiyxz 复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对称的实轴对称的xoiyxz 实轴对称的实轴对称的.iyxz例例3设设z1,z2是两个复数是两个复数,证明证明 2121212Re.z zz zz z 证明证明因为因为证明证明因为因为212112,z zz zz z 所以由运算规律所以由运算规律7，有有所以由运算规律所以由运算规律7，有有 21222121112Re.z zz zz zz zz z 12111本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明.例例4设设z1,z2,z3共线的充要条件：共线的充要条件：3121Im0zzzz21z3z2z2z1z1z3z2证明：当且仅当向量同向或反向时，证明：当且仅当向量同向或反向时，z1,z2,z3共线共线1 31 2z zz z与Arg(zArg(z3121)zzk Arg(zArg(z3121)zzk Arg(zArg(z3121)zzk zArg(z3121)zkz zz3121则是实数zz3121Im0zzzz即：21例例5证为实数的充要条件是证为实数的充要条件是21zz为实数）（即或z0Imz1|z1z证明：为实数的充要条件为：证明：为实数的充要条件为：21zz222111zzzzzz)1()1(22zzzz0)(zzzzzz0)1)(zzzz2|1zzzzz或为实数）（即或z0Imz1|z例例6设设z1,z2为任意复数，证明：为任意复数，证明：|)1(2121zzzz、|)2(2121zzzz、|)3(|-|-|)3(2121zzzz、（1）可用复数的分量证明，（）可用复数的分量证明，（2）、（）、（3）几何上成立。代数上？）几何上成立。代数上？证明：证明：|)1(2122212211212121zzzzzzzzzzzzzz、122122212121221|)2(zzzzzzzzzzzz、2222|2121222112212221|zzzzzzzzzzzzzzxyxzzzzRe|Re|z|22222Re2|zzzz2121Re2|221212221|2|zzzzzz|-|-|)3(2121zzzz、证明证明：利用利用（2）证明证明：利用利用（2）|-|-|)-(|21212212211zzzzzzzzzzz|)(|21212212211|-|-|)-(|21211211122zzzzzzzzzzz因此因此212121-|-zzzzzz即：即：2121-|zzzz 1.3 复数的乘幂与方根 1.3 复数的乘幂与方根乘幂乘幂（为计算方便为计算方便），），一般采用三角表示或指数表示一般采用三角表示或指数表示cossinnninnzr ernin乘幂乘幂（为计算方便为计算方便），），一般采用三角表示或指数表示一般采用三角表示或指数表示证证明明：如果如果 (cossin)1,2,kkkkzrikn cossinzr ernin明明如果如果 那么那么1 21 212cos()nnnz zzrrr 12sin().ni 特别地特别地,如果如果12(cossin),nzzzri (cossin).nnzrnin 那么那么如果写成指数形式如果写成指数形式，即如果即如果如果写成指数形式如果写成指数形式，即如果即如果 1,2,kikkzr ekn,izre 那么那么 12121 2,ninnz zzr rr e.nninzr e 特别地，当特别地，当|z|=r=1时时,cos()z zzrrr1 21 212cos()nnnz zzrrr12sin(),ni 12(),n变为变为cossin(cossin).ninin 称为称为De Movie公式公式.例例 1.21,ii,14 ni21,i ,14iin 32,ii ii ,124 ni4221,iii 43,nii 441.ni 方根方根方根方根 记做记做或或如果如果n1nz对给定的复数对给定的复数z,方程方程wn=z的解的解w称为称为z的的n次次方根方根,记做记做或或如果如果nz.nz(cossin),zri ),sin(cos iw (cossin),zri),s(cos iw于是于是,于是于是,(cossin)(cossin).nninri 0r当时当时,nr ,coscos nsinsin.n 满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是1,nr 2 (0,1,2,),nkk 1其中表示算术根其中表示算术根.于是于是nr kk221 nkinkrzwnn2sin2cos (0,1,2,).k 当取当取k=0,1,2,n-1时时,对一个取定的对一个取定的 可得可得n个相异根如下个相异根如下n个相异根如下个相异根如下,sincos10 irwn,sincos0 ninrw2sin2cos1 irwn,sincos1 ninrwn .)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn nn由三角函数的周期性由三角函数的周期性 122cossinnk nknknwri nn12 2 inkki cossin.nkriwnn可见可见,除除w0,w1,wn-1外外,均是重复出现的均是重复出现的,故故这这n个复数就是所要求的个复数就是所要求的n个根个根.当当z=0时时,w=0就是它的就是它的n次方根次方根.在上面的推导过程中在上面的推导过程中 可取可取 为个定值为个定值 通通常取主辐角常取主辐角 若用指数表示式若用指数表示式 则当则当rei 时时在上面的推导过程中在上面的推导过程中,可取可取 为为一一个定值个定值,通通常取主辐角常取主辐角.若用指数表示式若用指数表示式,则当则当z=rei 时时,21ik 210,1,2,1.iknnkwr ekn 210,1,2,1.iknnkwr ekn 0,1,2,1.kwr eknWk的模都相等的模都相等W0的辐角为的辐角为2相邻两复数相邻两复数辐角之差为辐角之差为Wk的模都相等的模都相等，W0的辐角为的辐角为n，相邻两复数相邻两复数辐角之差为辐角之差为n一般情况下一般情况下,1nnzz y1w0wn个根就是以原点为中心、个根就是以原点为中心、半为半为1的的内接多边的的内接多边ox0半半径径为为nr的的圆圆的内接的内接正正多边多边形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示的复数ox2w3w形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示的复数.例例求方程求方程的个根的个根例例1.4 求方程求方程w4+16=0的的四四个根个根.为为解解因因为为-16=24e(2k+1)i,所以所以w4=24e(2k+1)i.于是于是解解121442422 0,1,2,3.kikiweek 422 cossin2(1)iweii 022 cossin2(1),44weii3413322 cossin2(1),44iweii 545522 cossin2(1)iweii 4222 cossin2(1),44weii 777 7437722 cossin2(1).44iweii w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为恰好是以原点为圆心、半径为2的圆的圆的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点 如图如图|z|=2的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点(如图如图).y1w0w求求oxww求求？6112w3w1.41.4复球面与无穷远点复球面与无穷远点复数可以用平面上的点表示复数可以用平面上的点表示，这是复数的几这是复数的几1.41.4 复球面与无穷远点复球面与无穷远点复数可以用平面上的点表示复数可以用平面上的点表示，这是复数的几这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数复数.设设 是与复平面是与复平面 切于原点切于原点 的球面的球面 过原点过原点设设 是与复平面是与复平面C切于原点切于原点O的球面的球面.过原点过原点O做垂直于平面做垂直于平面C的直线的直线,做垂直于平面做垂直于平面C的直线的直线,与与 的另一交点为的另一交点为N.原原N点点O称为称为 的南极的南极(S极极),点点N称为称为 的北极的北极(如图如图)yOS点点N称为称为 的北极的北极(如图如图).xNP1PxyOS),(yx),(11yx球面上的点球面上的点,除去北极除去北极N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数上的点来表示复数上的点来表示复数.球面上的北极球面上的北极N不能对应复平面上的定点不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极当球面上的点离北极N越近,它所表示的复数越近,它所表示的复数的模越大.的模越大.规定规定:复数中有复数中有一一个唯个唯规定规定:复数中有个唯复数中有个唯一的“无穷大”与复平面上一的“无穷大”与复平面上N 的无穷远点相对应的无穷远点相对应,记作记作.球面上的北极球面上的北极N就是复就是复yOS球面上的北极球面上的北极N就是复就是复数无穷大的几何表示数无穷大的几何表示.xyOS不包括无穷远点的复平面称为不包括无穷远点的复平面称为有限复平面有限复平面,或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为扩充扩充复平面复平面复平面复平面.球面上的点与扩充复平面的点构成了一一球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应,这样的球面称为对应,这样的球面称为复球面复球面.对于复数对于复数的无穷远点而言的无穷远点而言它的实部它的实部虚部虚部对于复数对于复数的无穷远点而言的无穷远点而言,它的实部它的实部、虚部虚部,辐角等概念均无意义,辐角等概念均无意义,规定规定它的模为正无穷大.它的模为正无穷大.:的四则运算规定如下关于的四则运算规定如下关于();(1)加法加法();(2)减法减法无负无穷无负无穷(0);(3)乘法乘法0,(),(0).0 (4)除法除法0 ()除法除法1.51.5复变函数复变函数1.51.5 复变函数复变函数1、预备知识：邻域、区域1、预备知识：邻域、区域2、复数平面上的曲线方程：2、复数平面上的曲线方程：Jordan曲线曲线、连通性连通性Jordan曲线曲线、连通性连通性3、复变函数的定义3、复变函数的定义1、预备知识：邻域、区域1、预备知识：邻域、区域（1）邻域邻域（1）.邻域邻域z0是复平面内的定点是复平面内的定点,满足不等式满足不等式|z-z0|的一切点所组成的集合的一切点所组成的集合 z|z-z0|0.z0的邻域实际上是以的邻域实际上是以z0为中心为中心,为半径的圆为半径的圆z0的邻域实际上是以的邻域实际上是以z0为中心为中心,为半径的圆为半径的圆的内部所有点组成的点集的内部所有点组成的点集,简记为简记为B(z0,).由满足不等式由满足不等式0|z-z0|R(R0)的一切点的一切点(包括无穷包括无穷远点远点)的集合称为无穷远点的邻域的集合称为无穷远点的邻域远点远点)的集合称为无穷远点的邻域的集合称为无穷远点的邻域.用用R|z|0满足满足E,则称则称z0是是E的内点的内点.即存在即存在 0,满足满足 00,.B zzzzE 00,.B zzzzE（3）.外点外点设设E是复平面上的点集是复平面上的点集,z0是一个定点是一个定点,若存若存在在z0的一个邻域的一个邻域,使得在此邻域内的一切点均不使得在此邻域内的一切点均不属于属于E则称则称 是是E的外点的外点 即存在即存在0满足满足属于属于E,则称则称z0是是E的外点的外点.即存在即存在 0,满足满足 BEE（4）边界点边界点 10,.B zEzzzE （4）.边界点边界点设设E是复平面上的点集是复平面上的点集,z0是一个定点是一个定点,若若z0,0,0的任何邻域内都含有属于的任何邻域内都含有属于E的点和不属于的点和不属于E的的点点,则称则称z0是是E的边界点的边界点.即对任意的即对任意的 0存在存在 B()满足满足即对任意的即对任意的 0,存在存在z1,z2 B(z0,),满足满足zE zE12,.zE zEE的边界点的全体所组成的集合称为的边界点的全体所组成的集合称为E的的边界边界,记做记做 E.显然显然,E的内点属于的内点属于E,而外点不属于而外点不属于E,但但边界点既可能属于边界点既可能属于E也可能不属于也可能不属于E边界点既可能属于边界点既可能属于E,也可能不属于也可能不属于E.（5）.区域区域设设D是复平面上的点集是复平面上的点集，如果满足以下两个如果满足以下两个设设D是复平面上的点集是复平面上的点集，如果满足以下两个如果满足以下两个条件条件:(1)属于属于D的点都是内点（的点都是内点（又称为开集又称为开集）；）；(2)D内的任何两点内的任何两点 和和 都可以用条完全都可以用条完全(2)D内的任何两点内的任何两点z1和和z2都可以用都可以用一一条完全条完全在在D内的折线内的折线,把把z1和和z2连连接起来接起来(具有具有这这个性质个性质在在 内的折线内的折线,把把z1和和z2接起来接起来(具有个性质具有个性质的点集叫做连通的的点集叫做连通的).则称则称D是复平面上的区域是复平面上的区域.边界边界 D基本概念的图示基本概念的图示区域区域D 0z 1z 邻域邻域P 边界点边界点2z P 边界点边界点内点内点z外点外点3z外点外点简单地说简单地说 连通的开集