复数与复变函数第一章-复数与复变函数.ppt

3232学学时时复复变变函数与函数与积积分分变换变换的主要内容的主要内容1 1 复数与复复数与复变变函数函数2 2 解析函数解析函数3 3 复复变变函数的函数的积积分分4 4 级级数数5 5 留数及其留数及其应应用用7 7 Fourier变换变换8 8 Laplace变换变换第一章第一章 复数与复复数与复变变函数函数1.1 复数与复平面复数与复平面1.2 复平面点集复平面点集1.3 复复变变函数函数主主 要要 内内 容容 本章主要介本章主要介绍绍复数的概念及表示式、复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念以及复复数的运算、平面点集的概念以及复变变函函数的概念、极限和数的概念、极限和连续连续.1.1 1.1 复数复数1 1 复数的概念复数的概念2 2 复数的四复数的四则则运算运算3 3 复数的表示方法复数的表示方法4 4 乘乘幂幂与方根与方根1.1.1 复数的概念复数的概念 由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要,人人们们引引进进了复数了复数.例如，例如，简单简单的代数方程的代数方程在在实实数范数范围围内无解内无解.为为了建立代数方程的普遍了建立代数方程的普遍理理论论，引入等式，引入等式 由由该该等式所定等式所定义义的数称的数称为为 当复数的虚部当复数的虚部为为零、零、实实部不部不为为零零(即即 y=0,)时时，复数，复数 x+iy 等于等于 x+i0 为实为实数数 x,而虚部不而虚部不为为零零(即即 )的复数称的复数称为为虚数虚数.在虚数中在虚数中,实实部部为为零零(即即x=0,)的称的称为纯为纯虚数虚数.例如例如,3+0i=3是是实实数数,4+5i,-3i都都是虚数是虚数,而而-3i是是纯纯虚数虚数.数数 x+iy(或或 x+yi)的的 ,并并记记做做 称形如称形如 x+iy 或或 x+yi 的表达式的表达式为为复数，其中复数，其中 x和和y是任意两个是任意两个实实数数.把把这这里的里的x和和y分分别别称称为为复复显显然然,z=x+iy 是是 x-yi 的共的共轭轭复数复数,即即 共共轭轭复数复数 复数复数 x-iy 称称为为复数复数 x+yi 的的 (其中其中x,y均均为实为实数数),并并记记做做 .1.1.2 复数的四复数的四则则运算运算 设设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数是两个复数,如果如果x1=x2,y1=y2,则则称称z1和和z2相等相等,记为记为z1=z2.复数复数z1=x1+iy1和和z2=x2+iy2的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定运算定义义如下：如下：(1)复数的和与差复数的和与差(2)复数的复数的积积(3)复数的商复数的商复数运算的性复数运算的性质质1.交交换换律律 2.结结合律合律 3.分配律分配律 解解例例 1.1 设设 求求与与例例 1.2复数能否比复数能否比较较大小，大小，为为什么？什么？思考思考题题1 1：给给定一复数定一复数z=x+yi,在坐在坐标标平面平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P(x,y)与与z=x+yi对应对应.反之反之,对对XOY平面上的点平面上的点P(x,y),存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+yi与它与它对应对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算根据复数的代数运算及向量的代数运算的定的定义义知知这这种种对应对应构成了同构映射构成了同构映射.因此可以因此可以用用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z.这时这时把把XOY平面平平面平面称面称为为复平面复平面.有有时简时简称称为为z平面平面.1.1.3 复平面与复数的表示法复平面与复数的表示法 显显然然,实实数与数与x轴轴上的点一一上的点一一对应对应,而而x轴轴以以外的点都外的点都对应对应一个虚数一个虚数,纯纯虚数虚数 与与y轴轴上的点上的点(除原点除原点)对应对应.因此因此,称称x轴为实轴轴为实轴,y轴为轴为虚虚轴轴.今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区不加区别别,即即“点点z”和和“复数复数z”是同一个意思是同一个意思.有有时时用用C 表示全表示全体复数或复平面体复数或复平面.复数复数z也可以用以原点也可以用以原点为为起点而以点起点而以点P为终为终点的向点的向量表示量表示(如如图图).这时这时复数加、减法复数加、减法满满足向量加、减法中的平足向量加、减法中的平行四行四边边形法形法则则.用用 表示复数表示复数z时时,这这个向量在个向量在x轴轴和和y轴轴上上的投影分的投影分别为别为x和和y.把向量把向量 的的长长度度r 称称为为复数复数z的的 或称或称为为z的的绝对值绝对值,并并记记做做|z|.显显然然 如果点如果点P不是原点不是原点(即即 ),那么把那么把 x 轴轴的的正向与向量正向与向量 的的夹夹角角 q q 称称为为复数复数 z 的的辐辐角角,记记做做Argz.对对每个每个 ,都有无都有无穷穷多个多个辐辐角角,因因为为用用q q0 0表示复数表示复数z的一个的一个辐辐角角时时,就是就是z的的辐辐角的一般表达式角的一般表达式.有有时时,在在进进行行说说明后明后,把主把主辐辐角定角定义为满义为满足足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时,|z|=0.满满足足 的复数的复数z的的 称称为为主主辐辐角角(或称或称辐辐角的主角的主值值),记记做做argz,则则的的辐辐角角,这时这时上式仍然成立上式仍然成立.当当z=0时时,Argz没有意没有意义义,即零向量没有确定即零向量没有确定 当当 时时,有有说说明：当明：当 z 在第二象限在第二象限时时，利用直角坐利用直角坐标标与极坐与极坐标标之之间间的关系的关系 数数z的的三角表示式三角表示式.再利用再利用Euler公式公式 复数复数z=x+yi 可表示可表示为为 称称为为复复复数复数z=x+yi 又可表示又可表示为为 称称为为复数的复数的指数表示式指数表示式,其中其中r=|z|,q q=Argz.解解xy复数复数 的三角表示式的三角表示式为为复数复数 的指数表示式的指数表示式为为例例1.3 将将 化化为为三角表示式与指数表示三角表示式与指数表示式式.解：解：显显然然,r=|z|=1,又又因此因此将将 化化为为三角表示式与指数表示式三角表示式与指数表示式.练习练习：当当 时时,当当 时时,共共轭轭复数的几何性复数的几何性质质一一对对共共轭轭复数复数z和和 在在复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对实轴对称的称的.复数和与差的模的性复数和与差的模的性质质 从几何上看从几何上看,复数复数 z2-z1所表示的向量所表示的向量,与以与以z1为为起点、起点、z2为终为终点的向量相等点的向量相等(方向相同方向相同,模模相等相等).复数的加、减运算复数的加、减运算对应对应于复平面上相于复平面上相应应向量的加、减运算向量的加、减运算.思考思考题题：复数可以用向量表示，复数可以用向量表示，则则复数的复数的 运算与向量的运算是否相同？运算与向量的运算是否相同？一、利用指数表示一、利用指数表示进进行复数的乘除法运算行复数的乘除法运算设设乘法乘法即即(在集合意在集合意义义下下?)?)两个复数乘两个复数乘积积的的幅角等于它幅角等于它们们幅角的和。幅角的和。模等于它模等于它们们的模的乘的模的乘积积；(集合意集合意义义)1.1.4 乘乘幂幂与方根与方根两个复数相乘的几何意两个复数相乘的几何意义义设设两个复数两个复数对应对应的向量分的向量分别为别为先将先将z1按逆按逆时针时针方向方向旋旋转转角度角度 ,再将模再将模变变到原来的到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘就表示乘积积一、利用指数表示一、利用指数表示进进行复数的乘除法运算行复数的乘除法运算设设除法除法(在在集合意集合意义义下下)两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它幅角等于它们们幅角的差。幅角的差。模等于它模等于它们们的模的商；的模的商；即即1.1.4 乘乘幂幂与方根与方根例例1.4计计算算解解 由由有有附附 一些一些“简单简单”复数的指数形式复数的指数形式解解 由由有有练习练习复数复数 z 的的乘乘幂幂，设设 z 是是给给定的复数，定的复数，n 为为正整数，正整数，n 个个 z 相乘的相乘的积积称称为为定定义义二、复数的乘二、复数的乘幂幂与方根与方根1.复数的乘复数的乘幂幂设设则则法法则则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂幂法法则则。即即记为记为二、二、复数的乘复数的乘幂幂与方根与方根1.复数的乘复数的乘幂幂由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r=1，则则得到得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式：棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进进一步易得到正弦与余弦函数一步易得到正弦与余弦函数的的 n 倍倍角公式角公式。例例 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。此外，此外，显显然有然有 .复数复数 w，二、二、复数的乘复数的乘幂幂与方根与方根2.复数的方根复数的方根称称为为把复数把复数 开开 n 次方次方，或者称，或者称为为求复数求复数 的的 复数求方根是复数乘复数求方根是复数乘幂幂的逆运算的逆运算。设设 是是给给定的复数，定的复数，n 是正整数，求所有是正整数，求所有满满足足 的的定定义义n 次方根次方根，记记作作 或或 复数复数 的的 n 次方根一般是多次方根一般是多值值的的。二、二、复数的乘复数的乘幂幂与方根与方根2.复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则则。设设推推导导即即得得 正正实实数的算数的算术术根。根。由由有有二、二、复数的乘复数的乘幂幂与方根与方根2.复数的方根复数的方根描述描述在复平面上，在复平面上，这这 n 个根均匀地个根均匀地为为半径的半径的圆圆周上。周上。根的根的辐辐角是角是分布在一个以原点分布在一个以原点为为中心、以中心、以其中一个其中一个方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根；先找到一个特定的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。例例 求求解解具体具体为为：例例 求解方程求解方程解解具体具体为为：(2)(3)法法则则(1)无意无意义义。无意无意义义。实实部虚部是多少部虚部是多少?问题问题 模与模与辐辐角是多少角是多少?在复平面上在复平面上对应对应到哪一点？到哪一点？一、无一、无穷穷大大1.1.5 1.1.5 扩扩充复平面及其球面表示充复平面及其球面表示定定义义 一个特殊的复数一个特殊的复数，称，称为为无无穷穷大大，满满足足二、无二、无穷远穷远点点1.无无穷远穷远点的概念点的概念(?)定定义义 在在“复平面复平面”上一个与复数上一个与复数 对应对应的的“理想理想”点，点，称称为为无无穷远穷远点点。事事实实上，在通常的复平面上并不存在上，在通常的复平面上并不存在这样这样的点，的点，因此只能因此只能说说它是一个它是一个“理想理想”点点。那么，那么，这这个个“理想理想”点到底在哪里呢？点到底在哪里呢？下面就来看看黎曼下面就来看看黎曼(Riemnann)给给出的解出的解释释。二、无二、无穷远穷远点点2.复球面复球面 如如图图，其中，其中，N 为为北极，北极，S 为为南极。南极。这样这样的球面称作的球面称作复球面复球面。对对复平面上的任一点复平面上的任一点 用用 球面上除球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一点外的所有点和复平面上的所有点一一对应对应，直直线线将将 点与点与 N 点相点相连连，与球面相交于，与球面相交于 点。点。p 球面上的球面上的 N 点本身点本身则对应则对应到了到了“复平面复平面”上的上的无无穷远穷远点点。注注 显显然，复数然，复数 不能写成不能写成 或者或者 。某球面与复平面相切，某球面与复平面相切，球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之的点之间间存在着一一存在着一一对应对应的关系的关系.我我们们用球面用球面上的点来表示复数上的点来表示复数.球面上的北极球面上的北极N不能不能对应对应复平面上的定点复平面上的定点,当当球面上的点离北极球面上的点离北极 N 越近越近,它所表示的复数它所表示的复数的模越大的模越大.二、无二、无穷远穷远点点3.扩扩充复平面充复平面(2)不包括无不包括无穷远穷远点在内的复平面称点在内的复平面称为为有限复平面有限复平面，或者或者简简称称为为复平面复平面。(1)包括无包括无穷远穷远点在内的复平面称点在内的复平面称为为扩扩充复平面充复平面；定定义义M二、无二、无穷远穷远点点4.无无穷远穷远点的点的邻邻域域设实设实数数 M 0，定定义义(1)包括无包括无穷远穷远点在内且点在内且满满足足 的所有的所有点的集合，称点的集合，称为为无无穷穷远远点的点的邻邻域域。(2)不包括无不包括无穷远穷远点在内点在内且且满满足足 的所有点的集合，称的所有点的集合，称为为无无穷远穷远点点的去心的去心邻邻域域，也可也可记为记为1.2 复平面点集复平面点集一、平面点集一、平面点集二、二、区域区域三、三、平面曲平面曲线线一、平面点集一、平面点集1.邻邻域域设设 为为复平面上的一点，复平面上的一点，定定义义d dz0d dz0(1)称点集称点集 为为 点的点的 邻邻域域；(2)称点集称点集 为为 点的点的 去心去心邻邻域域。内点内点一、平面点集一、平面点集2.内点、外点与内点、外点与边边界点界点(1)内点内点外点外点边边界点界点考考虑虑某平面点集某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ，(2)有有外点外点(1)(2)有有边边界点界点(1)不一定属于不一定属于 G；在在 中，中，(2)既有既有又有又有边边界界 G 的的边边界点的全体称界点的全体称为为 G 的的边边界界。3.开集与开集与闭闭集集开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，的每个点都是它的内点，则则称称 G 为为开集开集。一、平面点集一、平面点集闭闭集集 如果如果 G 的的边边界点全部都属于界点全部都属于 G，则则称称 G 为为闭闭集集。4.有界集与无界集有界集与无界集定定义义 若存在若存在 ，使得点集，使得点集 G 包含在原点的包含在原点的 邻邻域内，域内，则则 G 称称为为有界集有界集，否否则则称称为为非有界集非有界集或或无界集无界集。二、二、平面曲平面曲线线1.方程式方程式 在直角平面上在直角平面上 在复平面上在复平面上 如何相互如何相互转换转换？(比比较较熟悉熟悉)(比比较较陌生陌生)(1)(2)(建立方程建立方程)(理解方程理解方程)i-i(1)i-i(2)2i-2(3)1-12-2(4)1-1(5)二、二、平面曲平面曲线线2.参数式参数式 在直角平面上在直角平面上 在复平面上在复平面上例如例如 考察以原点考察以原点为圆为圆心、以心、以 R 为为半径的半径的圆圆周的方程周的方程。(2)在复平面上在复平面上(1)在直角平面上在直角平面上二、二、平面曲平面曲线线3.曲曲线线的分的分类类考考虑虑曲曲线线简单简单曲曲线线当当 时时，简单闭简单闭曲曲线线简单简单曲曲线线且且光滑曲光滑曲线线在区在区间间 上，上，和和 连续连续且且简单简单、不不闭闭简单简单、闭闭不不简单简单、闭闭不不简单简单、不不闭闭连续连续的的简单闭简单闭曲曲线线称称为为Jordan曲曲线线.连续连续曲曲线线连续连续。三、三、区域区域1.区域与区域与闭闭区域区域区域区域 平面点集平面点集 D 称称为为一个一个区域区域，如果它，如果它满满足下列两个条件足下列两个条件:(1)D 是一个是一个开集开集；(2)D是是连连通通的，的，闭闭区域区域 区域区域 D 与它的与它的边边界一起构成界一起构成闭闭区域区域或或闭闭域域,记记作作 D。不不连连通通的一条折的一条折线连线连接起来。接起来。即即 D 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D连连通通三、三、区域区域2.有界有界区域与无界区域区域与无界区域(顾顾名思名思义义)3.内内区域与外区域区域与外区域定定义义 一条一条“简单闭简单闭曲曲线线(?)”把整个复平面分成两个区域，把整个复平面分成两个区域，其中其中有界有界的一个称的一个称为该简单闭为该简单闭曲曲线线的的内部内部(内区域内区域)，称称为该简单闭为该简单闭曲曲线线的的外部外部(外区域外区域)。另一个另一个约约当定理当定理 任何任何Jordan曲曲线线C将平面分将平面分为为两个区域两个区域,即内部区域即内部区域(有界有界)与外部与外部区域区域(无界无界),C是它是它们们的公共的公共边边界界.内部内部外部外部边边界界4.单连单连通域与多通域与多连连通域通域定定义义 设设 D 为为区域，如果区域，如果 D 内的任何一条内的任何一条简单闭简单闭曲曲线线的的内部内部仍仍属于属于 D，则则 D 称称为为单连单连通域通域，多多连连通域通域又可具体分又可具体分为为二二连连域域、三三连连域域、。否否则则称称为为多多连连通域通域。A 省省(二二连连域域)(三三连连域域)三、三、区域区域4.单连单连通域与多通域与多连连通域通域A 省省(单连单连域域)B 省省(单连单连域域)B 省省(非区域非区域)举举例例(杜撰杜撰)飞飞地地区域区域1-2+i闭闭区域区域(角形角形)区域区域四四.有向有向曲曲线线定定义义 设设 C 为为平面上一条平面上一条给给定的光滑定的光滑(或分段光滑或分段光滑)曲曲线线，指定指定 C 的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为为正向，正向，则则 C 为带为带有有方向的曲方向的曲线线，称，称为为有向曲有向曲线线，仍，仍记为记为 C。代表与代表与 C 的方向相反的方向相反(即即 C 的的负负方向方向)的曲的曲线线。如果如果相相应应地，地，则则逆逆时针时针方向方向。区域区域区域区域四四.有向有向曲曲线线 简单闭简单闭曲曲线线的正向一般的正向一般约约定定为为：当曲当曲线线上的点上的点 P 顺顺此方向沿曲此方向沿曲线线前前进时进时,区域区域边边界曲界曲线线的正向一般的正向一般约约定定为为：当当边边界上的点界上的点 P 顺顺此方向沿此方向沿边边界界前前进时进时,曲曲线线所所围围成的有界区域成的有界区域始始终终位于位于 P 点的左点的左边边。所考察的区域所考察的区域始始终终位于位于 P 点点的左的左边边。注意注意区域可以是多区域可以是多连连域。域。曲曲线线(1)圆环圆环域域:例例 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带带形域形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.例例 指出下列不等式所确定的点集指出下列不等式所确定的点集,是否有是否有界界?是否区域是否区域?如果是区域如果是区域,单连单连通的通的还还是多是多连连通的通的?无界的无界的单连单连通区域通区域(如如图图).解解 (1)当当 时时,是角形域是角形域,无界的无界的单连单连通域通域(如如图图).周外部周外部,无界多无界多连连通区域通区域(如如图图).是以原点是以原点为为中心中心,半径半径为为 的的圆圆表示到表示到1,1两点的距离之两点的距离之表示表示该椭圆该椭圆的内部的内部,这这是有界的是有界的单连单连通区域通区域(如如图图).和和为为定定值值 4 的点的的点的轨轨迹迹,因因为为所以所以这这是是椭圆椭圆曲曲线线.内部内部.这这是有界集是有界集,但不是区域但不是区域.令令是双叶玫瑰是双叶玫瑰线线(也称双也称双纽线纽线).表示双表示双纽线纽线的的 例例 满满足下列条件的点集是否区域足下列条件的点集是否区域?如果如果是区域是区域,是是单连单连通区域通区域还还是多是多连连通区域通区域?这这是一条平行于是一条平行于实轴实轴的直的直线线,不是区域不是区域.它是它是单连单连通区域通区域.这这是以是以为为 右右边边界的界的半半平面平面,不包括直不包括直线线它是多它是多连连通区域通区域.它不是区域它不是区域.这这是以是以 为圆为圆心心,以以2为为半径的去心半径的去心圆盘圆盘.这这是以是以i为为端点端点,斜率斜率为为1的半的半射射线线,不包括端点不包括端点i.1.3 复复变变函数函数一、基本概念一、基本概念二、二、图图形表示形表示三、三、极限极限四、四、连续连续一、基本概念一、基本概念 在以后的在以后的讨论讨论中，中，D 常常是一个平面常常是一个平面区域区域，称之，称之为为定定义义域域。按照一定法按照一定法则则，有确定的，有确定的复数复数 w 与它与它对应对应，一般情形下，一般情形下，所所讨论讨论的的“函数函数”都是指都是指单值单值函数。函数。上定上定义义一个一个复复变变函数函数，记记作作定定义义 设设 D 是复平面上的一个点集，是复平面上的一个点集，对对于于 D 中任意的一点中任意的一点 ，z对对每个每个 有唯一的有唯一的 w 与它与它对应对应；单值单值函数函数比如比如 多多值值函数函数 对对每个每个 有多个有多个 w 与它与它对应对应；比如比如则则称在称在 D一、基本概念一、基本概念 一个复一个复变变函数函数对应对应于两个二元于两个二元实变实变函数。函数。分析分析则则 可以写成可以写成设设 其中，其中，与与 为实值为实值二元函数。二元函数。分开上式的分开上式的实实部与虚部得到部与虚部得到于是，复变函数 的极限、连续、一致连续等概念就是映射 的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立.重要注重要注记记：由于由于 ，故一般将，故一般将 理解理解为为以以 为为自自变变量的函数，即量的函数，即 。以后将看到，。以后将看到，这样这样做会做会带带来很多方便，并且具有来很多方便，并且具有“复复风风格格”.分开分开实实部与虚部即得部与虚部即得代入代入 得得解解 记记 G GG二、二、图图形表示形表示C映射映射 复复变变函数函数 在几何上被看作是把在几何上被看作是把 z 平面上的一个平面上的一个平面平面z平面平面w点集点集 变变到到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 的的映射映射(或者或者变换变换)。其中，点集其中，点集 称称为为像像，点集，点集 称称为为原像原像。函数函数、映射映射以及以及变换变换可可视为视为同一个概念。同一个概念。(分析分析)(几何几何)(代数代数)Dzxywuv 对对于复于复变变函数，它反映的是两函数，它反映的是两对变对变量量u，v和和x，y之之间间的的对应对应关系，因而无法用一个平面或一个三关系，因而无法用一个平面或一个三维维空空间间的的图图形形来表示。故在复来表示。故在复变变函数中用两个复平面上点集之函数中用两个复平面上点集之间间的的对应对应关系来表达两关系来表达两对变对变量量 u，v 与与 x，y之之间间的的对应对应关系，以便关系，以便在研究和理解复在研究和理解复变变函数函数问题时问题时，可借助于几何直，可借助于几何直观观.思考思考题题：为为什么在复什么在复变变函数中用两个平面来表示函数中用两个平面来表示 其其图图形？形？二、二、图图形表示形表示反函数与逆映射反函数与逆映射双方双方单值单值与一一映射与一一映射为为 w 平面上的点集平面上的点集 G，设设函数函数 的的定定义义域域为为 z 平面上的点集平面上的点集 D，值值域域的一个的一个(或几个或几个)点点 z，一个函数一个函数它称它称为为函数函数 的的反函数反函数，也称，也称为为映射映射 的的逆映射逆映射。若若映射映射 与它的逆映射与它的逆映射 都是都是单值单值的，的，则则称映射称映射 是是双方双方单值单值的的或者或者一一映射一一映射。则则 G 中的每个点中的每个点 w 必将必将对应对应着着 D 中中按照函数的定按照函数的定义义，在，在 G 上就确定了上就确定了解解(1)点点 对应对应的像的像(点点)为为 (2)区域区域 D 可改写可改写为为：令令则则可得区域可得区域 D 的像的像(区域区域)G 满满足足即即函数函数 对应对应于两个二元于两个二元实变实变函数函数例例因此，它把因此，它把 z 平面上的两族平面上的两族双曲双曲线线分分别别映射成映射成 w 平面上的两族平行直平面上的两族平行直线线xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20例例解解关于关于实轴对实轴对称的一个映射称的一个映射且是全同且是全同图图形形.三、三、极限极限定定义义 设设函数函数 在在 的的去心去心邻邻域域 内有定内有定义义,若存在复数若存在复数使得使得当当 时时，有有记记作作或或注注(1)函数函数 在在 点可以无定点可以无定义义；(2)趋趋向于向于 的方式是任意的。的方式是任意的。则则称称 A 为为函数函数 当当 z 趋趋向于向于 z0 时时的的极限极限，xyz0d d几何意几何意义义三、三、极限极限它的像点它的像点 就落在就落在 A 的的预预先先给给定的定的 e e 邻邻域内。域内。uvAe e 当当变变点点 一旦一旦进进入入 的充分小的的充分小的 d d 邻邻域域时时,z0zf(z)z性性质质 如果如果则则三、三、极限极限与与实变实变函数的极限函数的极限运算法运算法则类则类似似.定理定理三、三、极限极限设设证证明明如果如果则则当当时时，则则必要性必要性“”证证明明 充分性充分性“”则则当当 时时，如果如果定理定理 设设三、三、极限极限则则说说明明三、三、极限极限 关于含关于含 的极限作如下的极限作如下规规定：定：(3)所所关心的两个关心的两个问题问题：(1)如何如何证证明极限存在？明极限存在？(2)如何如何证证明极限不存在？明极限不存在？选择选择不同的路径不同的路径进进行反行反驳驳。放大技巧放大技巧 。(1)(2)例例 试试求求方法一方法一由定理由定理1 1，得，得方法二方法二 由于由于 ，由定理，由定理2 2（3 3）得）得xy讨论讨论函数函数 在在 的极限。的极限。例例当当 时时，当当 时时，因此极限不存在。因此极限不存在。解解 方法一方法一解解当当 时时，当当 时时，因此极限不存在。因此极限不存在。方法二方法二xy方法三方法三沿着射沿着射线线与与 有关，因此极限不存在。有关，因此极限不存在。讨论讨论函数函数 在在 的极限。的极限。例例xy思考思考题题：试试着收集整理复极限的着收集整理复极限的计计算方法以及判算方法以及判别别复极限不存在的方复极限不存在的方法，并用例子法，并用例子说说明明.四、四、连续连续定定义义则则称称 在在 点点连续连续。若若z0若若 在区域在区域 D 内内处处连续处处连续，则则称称 在在 D 内内连续连续。注注(1)连续连续的三个要素：的三个要素：存在；存在；存在；存在；相等。相等。(2)连续连续的等价表示：的等价表示：其中，其中，(3)一旦知道函数一旦知道函数连续连续，反，反过过来可以用来求函数的极限。来可以用来求函数的极限。通常通常说说：当自当自变变量充分靠近量充分靠近时时，函数，函数值值充分靠近充分靠近。性性质质四、四、连续连续(1)在在 连续连续的两个函数的两个函数 与与 的和、差、的和、差、积积、商商(分母在分母在 不不为为零零)在在 处连续处连续。z0z0z0(2)如果函数如果函数 在在 处连续处连续，函数，函数 在在连续连续，则则函数函数 在在 处连续处连续。z0z0(由由基本初等函数基本初等函数的的连续连续性可得性可得初等函数初等函数的的连续连续性性)(3)如果函数如果函数 在有界在有界闭闭区域区域 D 上上连续连续，则则例例 证证明明f(z)=argz在原点及在原点及负实轴负实轴上不上不连续连续.证证明明x y(z)ozz讨论讨论函数函数 的的连续连续性。性。例例(当当 时时)故函数故函数 处处连续处处连续。解解定理定理 设设 则则 f(x)在在 处连续处连续的充分必要条件是的充分必要条件是 都在都在 点点连续连续.注注：这这个定理个定理说说明复明复变变函数函数 的的连续连续性等价两个二元性等价两个二元实实函数函数的的连续连续性性.复复数数平面表示法平面表示法定定义义表示法表示法三角表示法三角表示法曲曲线线与区域与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共共轭轭运算运算代数运算代数运算乘乘幂幂与方根与方根本章内容本章内容总结总结向量表示法向量表示法复复变变函数：极限、函数：极限、连续连续