高数-第一章函数、 极限与连续-主要内容及课后习题全解.pdf

第一章函数、极限与连续内容概要名 称主要内容(1.K 1.2)函 数邻 域U(a,b)=%x-a b(即 U(a,5)=%a-b%a+5)U(a,5)=%0%-a 3(U(a,b)=xa-5%M局 部 单 调 性区间/u。，对区间上任意两点七 2，当了1%2时，恒有：/(%,)/(%2)，则称函数在区间/上是单调减小函数；奇 偶 性设函数/(%)的定义域。关于原点对称；若VxeO,恒有/(%)=/(x),则称/(x)是偶函数；若X/x e。，恒有/(-x)=-f(x),则称f(x)是奇 函数；周 期 性若存在非零常数T,使得对Vx eD,有(x 土 T)。，且/(%+7)=/(x),则称/(%)是周期函数；初等 函数几类基本初等函数：基函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1 1.求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量X的取值的集合;思路：常见的表达式有l og.E l,(口()N/口，(口。0)再(口 a rcs i n口(U g-1,1)等%w 0 x w 0 x g-l,0)o(0,1；解：=1-x2 0-1 A：2x-1,_1-1=-lx43；21+a rcta n=xx X w 0X G(-8,0)u(0,3)；(4)fO0 x-11 -1x e(-OO,-1)U(1,3)；(5)0 A：-1y=l og j(16 nxw(l,2)u(2,4)；0 0nxw 0 x 0,X G 7?,以工为自变量,显然定义域也为实数K；两者作用法则相同“2 口+1”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数;s i n x71 x 3,求，*(71 3.设e(%)（2）,并做出函数0y=（p（x）的图形 知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围;冗解：（一）二 6,冗s i n 一6,7T s i n 一4s i n1(n,(p 2(44(71,(p 2 I 44(兀I 4 J旦 2(p(2)=0；如图:图 1-1-3 4.试证卜列各函数在指定区间内的单调性：(1)y=-(-co,l)(2)y=2x+In x,(0,+oo)1-x知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的 某个子区间上函数的单调性的问题。思路：利用单调性的定义即可。解：(1)设%,%2 (8,1)，当 x2 时，X X X Xy-y2=一!.-=7一4-2一；0，由单调性的定义知是单调增函数；l-x l-x2(1-X1)(1-x2)(2)设,e(0,4-00),X 工2，X.yx-y2=(X+In/)-(x2+In x2)=(xt-x2)+In 由项，x2 e(0,+co),X%2，知一L V 1，故In L 0(对数函数的性质)，则有 x2 x2y1-y20,得结论是单调增函数；5.设/(x)为定义在(一/,/)内的奇函数，若/在(0,1)内单调增加，证明：/(x)在(一/,0)内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设 X,X2 G(-/,0),X1 X2,则 一 X,-工2 (,/),由/(X)在(O,/)内单调增加得，/(/)/(占)(1)，又/(%)为定义在(/，/)内的奇函数，则(1)式变形为一/(%2)/(巧)，则结论成立。6.设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：(2)两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(3)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数/(%),g(%)定义域分别是Q,。2(。1，是关于原点对称区间)；设尸(x)=/(x)+g(x),定义域为2 c A，显然2 CO2也关于原点对称，当/(%)，g(x)均为偶函数时,F(-x)=/(-x)+g(-x)=/(x)+g(x)=F(x),得尸(x)为偶函数；当/(x),g(x)均为奇函数时,F(-x)=/(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),得产(%)为奇函数；(2)令G(x)=/(x)g(x),定义域为Re。？，2 c。2关于原点对称，当/(%)，g(x)均为奇函数时,G()=/(x)g(-x)=-/(x)(-g(x)=G(x),得尸(%)为偶函数；当/(%)，g(x)均为偶函数时,G(-x)=/(-x)g(-x)=/(x)g(x)=G(x),得户(%)为偶函数；当 g(%)为一一一偶时，G(-%)=/(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=G(x),得 G(x)为奇函数；7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？X-X e c(1)y=ta n x-s ec x+1；(2)y=-；(3)y=xcos xecos x；2(4)y=-2)(x+2)o知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解：(1)/(-jc)=ta n(-x)-s ec(-x)+1=-ta n x-s ec x+1,显然既不等于/(%),也不等于/(%),故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数K,关于原点对称/(%)=c TV/-=/(x),故是偶函数;(3)/(-%)=-xcos(-%)/式7)=f(x),故是偶函数;(4)/(-x)=-x(-x-2)(-x+2)=-/(x),故是奇函数;8.下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：(1)y=cos(x-1)；(2)y=x ta n x；(3)j?=s i n2 x 0知识点：函数周期性。思路：利用定义,及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论(如弦函数y=/cos(s+e)+C，则最小正周期T=,切函数也有类似结论)。解：(1)由弦函数周期公式知最小正周期T=2万；(2)对正数T,/(x+T)=(x+T)ta n(x+T),而切函数周期是乃的整数倍，故本题函数 不是周期函数；?1 cos 2x 27 r(3)y=sin x=-，则最小正周期T=-=冗2 2 9.证明：/(x)=xs i n x 在(O,+8)上是无界函数；知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对VA/0(无论加有多大)，三%(0,+8),使其函数值|/(%0)|/即可。证明：对于任意正数，要使|/()|=|%$111%|_,考虑当=2左+，(左 e Z+|1=1 xs i n%|=2左乃+工71 M 冗、兀.要使2左+用，只要左-一)，取左。二2 In 2/M 0(无论有多大)，3x0=2ko冗+，使得 I/(X()1=1 s i n x M,2万f(x)=xs i n%在(0,+8)上是无界函数71(注1：左。取值只要并且确保/2+河 即可，因此取上 71 M-22+2也可;0注2：数学符号“V”表示“任意”；“3”表示“存在&“3”表示“使得”。)10.火车站行李收费规定如下：当行李不超过5 0k g时，按每千克3/20元收费，当超出5 0k g时，超重 部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费/(x)(元)与行李重量x(馆)之间的函数关系式。知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：-x 0 x 50 _x,0 x5 0、20，、203 1=/(%)=i-50+(x-5 0)50 x%-5 50 x20 4 14 11.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的,每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元a)将每台的实际售价。表示为订购量%的函数；b)将厂方所获得利润表示成订购量x的函数；c)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？知识点：函数关系的建立，以及经济函数；/(%)=0 O/(%)=c。思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润二(总收入)K-(总成本)。90-75解：售价恰好降到75元时需订购的台数位-+100=1600，则0 0190,0 x1001(1)：。夕=1 90-(x-100),100 x 1600(2)：9 0 x-60 x,0 x 100/、11L=R-C=px-60a:=90-(x-100)-x-60 x,100 x 1600 30 x,0 Jt1001 2=4-100 x 1600(3)(1000)=-1000 2+31 x1000=21000(元)100习题1-2 1.求下列函数的反函数：1-x 2、(1)y=-；(2)y=-；.1+x 2、+1知识点：反函数求法；思路：解出了的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量;1 y 一%解：(1)y=-=(1+x)y=1-x n%=-=y=-(习惯上自变量用字母x表示)1+x 1+y 1+x(2)X-n y2x+y=2X=2x n 1=l og 2 2+1-1-y 1-yn y=l og 2-。1 X1,2.设/(%)=0,-1,知识点：分段函数的定义;思路：代入即可；1解：/(x-1)=0-11f(x2-l)=o-1 3.设函数 f(x)-x3-x 0 x=0,求 f(x-1),/(x20 x,x-k 0上为/(%_)0-x2-1 f(x2-1)=,x2-1 0(x,=s i n 2%,求/(p1)；1,x i,H 14，/(I)知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：(7)7 rl解：(p =s i n 2=,(12)12 21 y 12)2M A38/=0,/(/(1)=/(0)=03-0=0,=/(0)=0 4.设/(%)=/，求丹/和/(%)。1-X知识点：函数的复合；思路：同上题，逐层代入即可。解:，Y 1 1(1-%)1-XXl-2x/)=4-l-2xxl-2x _%-l-3xl-2x、心 x x li定义域 Z):x w 1,-w 1,-wi n。：1-x 1-2x 2 3X 5.已知/夕=1+cos%,(p(x)=s i n,求/(%)。知识点：函数复合；思路：换元法令e(x)=E=x=0-1”)(此种方法要求易解)，、(x)分别用夕T(。、Z代;换无法将/0(%)的表达式化成用9(%)表达的式子(需要技巧)，再令(x)=E代换;解：用法：/(%)=f s i n =1+cos x=2 cos 2 =2-2 s i n2,I 2；2 2jr令s i n =，n/(r)=2-2?x /(x)=2-2x2(自变量与用何字母表示无关)。6.设/(%)的定义域是0,1,求：(1)/(X2);(2)/(s i n x)；(3)f x+a)+f(x-a)(Ov a)(4)/(V1-x2知识点：复合函数的定义域；思路：/(x)的定义域是0,1,表明若有/,(/),则/w0,1；解：(1)工建(),1=x w-1,1；(2)s i n%e 0,1 n w 0 万Du 2k7v,(2左+1)=U 2左乃，(2左+lrA-gZfx+G 0,L-eO,1%-7,1%e+a,1-a 1i,当a V 1 a时，即0 a W 时，结果为1+a 2X1(%w 1,1 w);2a,1 a；当a之一时，结果为0；21 7.设+,求：/(%)的定义域；/(%)2知识点：函数定义域及函数复合;思路：略。解：（1）%+G_20=/（、）2TNxn xsR,故定义域为全体实数A；/7（%）=/8.f(x)=sinx,/(x)=1-x2,求(x)及其定义域；知识点：函数的复合及定义域；解：/(8(%)=s i n(x)=1-x2 n 0(x)=a rcs i n(1 x?)+2k兀,0(x)的自然定义域为一1 VI%2 NL 3数 歹U极 限时的,切乙，总有xn-a 8数列极限外 性质：了极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；子数列收敛性；l i m/(x)=A x8函数f（x）当X大于某正数时有定义，如果对任意给定正数（无论多小），总存在正数X,使对满足X X的一切,总有1.4函数 的极 限函 数 极 限 定 义l i m f(x)=A函数/（%）在X论多么小），总，总有的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数（无存在正数5,使对满足0 x-S的,切,+8l i m/(x)l i m/(x)=A l i m/(x)=A H l i m/(x)=A x03 X4-00 Xf-00单边极限l i m f(x)x-xol i m/(x)l i m/(%)=/。l i m/(%)=Z且 l i m/(x)=A x-xo x-xQ+x-x0-函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性;1.5无 穷小 与无 穷大（以X-X。）为例无 穷 小定义：极限为零的变量（函数）；定理：定理函数表示：无穷小性质：1.l i m/,（%）=A的充要条件是/（%）=4+o，其中二是当*0X T 时的无穷小；2.有限个无穷小的和仍是无穷小；3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；无 穷 大定义：仃:意给定正数M（无论多大），当x f（）（即存在正数5,当0%-%0 M；正无穷大，负无穷大统称为无穷大；无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；习题1-3 1.观察一般项乙如下的数列卜“的变化趋势，写出它们的极限:313/n 1 1 一 2(2)匕=(一1)一；(3)乙=2+七；(4)乙=-n n n+2 xn=（一1）”知识点：数列定义。思路：写出前儿项，观察规律。1111解：T 0;3 9 27,811111(2)-1,，,一()；2 3 4 5(3)2+1,2H,2d-,2 H-,2 H-8 27 64 125-2；4 4(4)x 1-n 1-,n+2 3一,1-,1-4 5 100f 1(5)-1,2-3,4,-8。2.利用数列极限定义证明：1，皿-1+3 3 n+2.（1）l i m =0（%为正常数）；（2）l i m-=；（3）l i m-s i n =0。8 乂一84-1 4 8 匐 _ 2知识点：极限定义。思路：按定义即可。1 1（1 k证明：（1）l i m =0：对任意给定的正数,要使*10,即一 0,当n N时，就有丁 一 0-，.取 N16e7+4e16e3+l 34-1 474(4-1)0,当 N时，就有3w+l 34w-l 48 4一 4n+2.(3)l i m-s i n =0n 2证明:n+2由于-s i n w-0 n2-2n+22 rn-21n-2因此对任意给定的正数，要使“：2 s i n 一 0 ,只要 一-2,因为前面的有限项对极限无影响）取N=+2，则对任意给定的 0,当 N时，就有 2 n-0 ,s n2-2l i m-s i n =08 -2 n tc 3.设数列不的一般项了”=cos-o问l i m%=？求出N,使得当N时，乙与其极n 2 nfg限之差的绝对值小于正数。当=0-001时，求出N。知识点：数列极限定义思路：按极限定义即可 n 7i解：观察可得：l i mcos =0,证明该结果如下：n 21 n兀由于 一cos-0 n 2 7 T 1因此对任意给定的正数,要使一COS-0 ,只要一 0,当n N时，就有一COS-0 8；则l i mkT81 1.1 H-s i n2k)2左万=0；2取另一个子列=4左+1,k e N,.（4左+1）万 s i n-、7Ts i n 2kn-，当8 时，左 00,贝 H i m fl+.（4左+1）乃s i n-=l i m左一81+-=1;44+1得%“1=1、1+-I 4 左一821+V1 （4k+1J2；I 4左+1J2综上，原极限不存在。5.设数列卜有界，又l i m兄=0，证明：l i m x”兄=0。一8 一8知识点：数列有界及数列极限定义思路：有条件可知yn sx,如何让两者结合，证明xny 成立，是解决问题的关键。M;证明：数列卜，J有界，则存在正常数M,使对任意，都有当M,则当匕 N时，有匕/?co x;则对于任意正数，取向=三，由可知：存在自然数N,当N时，有J，”,=M MM8 A：00 w00知识点：子列极限利原数列极限的对应关系;思路：对V0,根据条件，寻找使xn-a 0,山l i m =a,则存在N、,当2k-1 N 时,.Z.K 1 1 IA-00由l i m x7.=a,则存在N,当2k N,时,左一00%2i-a 00习题1-4 1.在某极限过程中，若/(九)有极限，g(x)无极限，试判断：/(九)g(x)是否必无极限。知识点：函数极限性质 思路：举例说明即可解：/(x)g(x)可能有极限，举例如下:都有t一 a s,一 0 xXX-0 2.用函数的极限定义证明:(1)l i m 1+8 3%2x+3 2(2)s i n xl i m=0 xf+83(3)l i m-=1；Xf 2 1 1(4)l i m 口=21X-X知识点：函数极限定义2 x+3 2思路：对于V0,找出符合要求（比如（1）中要求 P-一；1只要取X=23(2)任意正数，:/（x）-A当xX时（因为已知x0）,s i n x ,即 l i m 二X 7+81取X=f 0,/1 x 2(3)由于 fix)-A=-1=-X-1 X-1（为找到O x-2 v S中的3,不妨将X范围限制在X-2 ；内，因为X 叫）时/,（X）的极限,只和工。附近的所对应的函数值/（x）有关）135不妨设x-2 ,则一%一,则x 2x-22x-2,222x-132对任意正数，要使一%-2,只要 23 ,233 s2x-212v-x 23取 5=mi n 当0 x 2 v 3 时,2x 12 一与一X 2 同时成立,3.国/(%)-4x-2x-12 一X 2 8,3/.l i m-=1X-2 x-1x-1X“x-1(4)|/(x)-|=-2x X 1 1 3不妨设1-1 ,则一%一,则 2 2 2对任意正数,要使2h1|,只要卜1|/2,12|、X _ 1 I当 0 x 1 6 时，/(x)-A=-2 x-1 ,x2 1.r%-1l i m-二丫句 x-X 2 3.当x-2时，y=工2.4,问3等于多少，使得当0%2 5时，y-4 0-001?知识点：函数极限定义 思路：由于考察的是 2时函数的极限，所以不妨在卜一2|1(即Ixv 3)范围内讨论，这样 的方法在极限证明中经常用到。解：(不妨设l v x3),则2 I I I 0,001y-4=x-4=x-2-x+2 5 x-2,要使5 k-2(h 001 只要-2-0 001.取b=-=0.0002,则当0 v X 2Vs 时，y-4 X0+X-XQ解:/(%)x 0 x 0+x-。+x0-x0-，l i m/(%)不存在x-0 6.证明：如果函数/(x)当x f%。时的极限存在，则函数/(%)在4的某个去心邻域内有界。知识点：函数极限和局部有界的定义证明：设l i m=/，则对于任意正数，存在正数5,当0%-0 8时，有/(x)-e1X()即/|/(x)|A+,取 Af=ma x A-e,|/+e|,贝”M；.当 0 x xQ 5 时，/(%)|+8知识点：函数极限，以及指数函数性质(图像)解：%.+8n 1f(Tn l i me%=1；(严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同)X xf+81./x 7 0 n +8=l i m e/x=+8；X X+81./%0 n-co n l i m e/x=0,X X+8故l i m e，不存在 xfo习题1-5 1.判断题：(1)非常小的数是无穷小；(2)零是无穷小；(3)无穷小是一个函数；(4)两个无穷小的商是无穷小;(5)两个无穷大的和一定是无穷大；知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；思路：略。解：(1)错，因为无穷小是指极限为。的变量，而不是非常小的数。(2)对，因为0的极限为0,所以0是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都 不可能是无穷小(3)对X(4)错，两个无穷小的商未必是，例如l i mx=0=l i m=1X-0 x-0 x(5)错，如：、f+oo时，%及一 x,2%都是无穷大，但%+(-)是无穷小，而+2x是无穷大 2.指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量1+(-1)”(、s i n x/x+1/(1)n-8)；(2)-(x-0)；(3)-(x-2)n 1+cos x x-4知识点：无穷小，无穷大的定义;思路：求出极限即可(并利用无穷小倒数是无穷大的结论)解：(1)是无穷小量；(2)是无穷小量;x2-4(3)-7 0，x+1Y _1_ 1则F(x T 2)是无穷大量;x-4 3.根据极限定义证明：y=xs i n，为x-0时的无穷小;x知识点：函数极限定义；思路：按定义证明；证明：即要证l i m xs i n L=o：Xf0由于xs i n-0 x，对任意正数e，当 时，就有xs i n ,则取5=当 0 v x 3 时，xs i n cos x f 1=1-cos x f 0,又无穷小的倒数是无穷大，故l i m-=co。Xf 0 1-cos X 5.函数y=xcos%在(一 oo,+8)内是否有界？当x f+8时，函数是否为无穷大？为什么？知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变 量不是无穷大的典型例子。思路：证明不是无穷大，只需要找到X f+8时，函数y=X8SX的一个无穷子列，其极限不是无穷 大即可。解：.,对任意M 1,总可以取/=2mtt,有cos x0=2mtt M二.y=xcos x 在(一 co,+co)上是无界的;71、TC又因为当=2左乃 H 时，k f+8=x +oo；此时 l i m 2k兀 J cos Ikn-=0,万、(22J I2Jy=xcos x不是 f+8时的无穷大 6.设x.%()时，g(x)是有界量，/(%)是无穷大量，证明：/(x)g(x)是无穷大量。知识点：函数局部有界和无穷大的定义。思路：可利用不等式|/(x)g(x)卜|g(x)|,及已知条件：g(%)是有界量，/(%)是无穷 大量，证明结论。证明：%时，g(x)是有界量，知存在正常数方及.M 当0 x-x0 在时，g(x)|A/,：x f%。时，/(%)是无穷大量，对于河 2=2河，存在正常数 62，当0|x Xo|M2=2M综上，无论多大，总可以取S=mi n(心，62),当。，一/1内时，g(x)|M2 同时成立；则有|/(x)g(X)之|/(%)|g(x“右一 M成立，即/(x)土 g(x)是无穷大量。7.设1 f%。时，g(x)|M(是一个正的常数)，/(%)是无穷大量，证明：/(x)g(x)是无 穷大。知识点：无穷大的定义；证明：/(%)是无穷大量，则对任意；0,存在正常数5，当0 k一 MX,乂|g(x)|2M,.这时 由 的任意性，知/(x)g(x)是无穷大。内容概要名称主要内容(1.6,1.7,1.8,1.9)1.6极 限运 算法 则1.极限四则运算性质；2.复合函数极限运算法则；3.求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子(分母)有理化；利用定理：有界量与无 穷小的乘积为无穷小L 7极 限存 在准 则，两 个极 限准则1.夹逼准则2.单调有界准则：单调有界数列必有极限；极限s i n,1(1、l i m-=1,l i m(1(或 l i m l i d1=e)；口 口 1 7 j 1柯西极限存在准则1.8无 穷小 的比 较无穷小的比较(定义)：高阶；低阶；同阶及等价；上阶无穷小。几个等价无穷小公式：(内可填变量或函数，如：当x 0时s i n x?x?n(l+x?)当口 时，s i n1 口；ta n二口；a rcs i n口 a rcta n口；111(1+1，口；-1，；1；(1+L-cr-l；定理：0 a充要条件是/3=a+o(a)1.9函数 的连 续与 间断定义1.函数/(%)在0的某邻域有定义，若在X0处X取得微小增量时，函数的增量勺 也很小，且l i m Ay=0,则称/(%)在阳)连续；2.若有l i m/(x)=/(%o),则称则称/(尤)在九连续;左连续：l i m/(x)=/(x0)f(x)在Xo连续当且仅当/(X)在x0既左连续又九连续右连续：历/(%)=/(%0)基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；间断点 分类第类 左右极限 都存在当/(x0+0)=f(xQ-0)=A,称为可去间断点，此时可重新补充函数的定义：/(%)=/,使之在/连续；当f(x0+0)w/(%-0),称为跳跃间断点；第二类：左右极限 至少有一 个不存在当/(x0+0)=8或/(xo-0)=co,时,称为无穷间断点当%-%的极限过程中，函数值不断震荡，称x=x0为振荡间断点习题1-6(1)1.计算下列极限:(2)x2 2x+1 l i m-Xf 1 X-1(3)l i m 2-x81 1一+下X%X2+X(4)l i m-I00 x-3x+1x2 6x+8(5)l i m-14 x-5 x+4(6)4x3-2x2+x l i m-d 3x-+lx(7)l i mA f0(x+A)2-x2(8)l i m 1 H12-(9)COS X l i m-X-+8 eX _|_ eX(10)l i mXf-gVl-x-3(11)3 2X+2x l i m-x-2(%_ 2)(12)l i m%X+co(7 1+x2-j；(13)a rcta n x l i m-XT0 Y1 3(14)l i m-x-1 1-x(15)l i mXf co(2x i y(3x 2)2(2x+1),。1YhX8%八2%J2+Vx(16)l i m ylx2+x+1-Vx2-x+1)；X8 /知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的儿种极限的求法解：(1),*l i mL(x2X 一 a/J-3)=0,l i m(x2+1)=4,l i mX Jix2-3 x2+1(2).x2 2x+1(%1)x 1l i m-=l i m-=l i m-=0；X-1 工旬(%-1)(X+1)Xfl%+1(3)l i m 2-1-=l i m 2-l i m +l i m-=2；2 218、XX)XfOO Xf 8%Xf 8%1 1X2+X Y2+Y3 c(4)l i m-=h m-=0；r4-+1 i s 一 3 1(5)-v4 x-5x+4 x4(x-l)(x-4)4%_(6)4x3-2x2+x l i m-7 3x+2xx(4x2-2x+1)(4x2-2x+1)1l i m -=l i m -=-x.o x(3x+2)XT。(3%+2)2(7)(x+A)2-x2(x+h-x)(x+h+x)l i m-=h m-二 l i m(2x+h)=2x；ho h，0 h/?oXT后=023(8)l i mfl+-x82-l i m 与=2X)(9)V l i m ex=0,l i m ex Xf+8 X-+8=+co,/.l i m-=0,x+8 e x+g2 X1+l i m-、X%1说明-L-是无穷小，而cos%是有界量,ex+ex1l i m-cos x-0Xf+8 eX+e-XJl X 3(10)l i m-j=l i m3-8 2+/x(71-X-3)(71-X+3)(2+x+3二 l i mx一8(x+8)(2+3x3+22 j J 2M+4(2=-l i m 6 s-82+x=l i m6 xf-8/-2%3+4-2(11)V l i m(3+2x1 2)=16,l i m(x-2)2=0,Xf 2 x-2 71 .a rcta n x-0,而a rcta n x 是有界量，故l i m-Xi e X3,C 2X+2x/.l i m-二 co；12(%_2)2(12)l i m xX+8(7i+x2-x I=l i m xX+00(V1+x2-X+X2+XXiJ1+，+X二 l i m 1-=J%2+2(13)8,x f=0；(14)l i m13、Xf 1 11-X 1-X3?=l i mXTl1+x+x 31-X3=-l i mX1(x _)(X+2)(x-l)(x2+x+1)=-1;(15)l i mI0C(2x-1)3(3x-2)202 30 3 20 3 20(2x+1)582+X+1-X+1+X+1-v X-x+1+X+1+y x2-X+1+X+1+J%2 X+12x=l i m/-,=29 y X2+X+1+y X2 X+1当 f+8时,lxJ%2+X+1+J，X+1f 1；当X OO时,2x/-/一;x2+X+1+y x2-X+1故l i mXf 82+X+1 x2 X+1)不存在 2.计算下列极限:(1 11)(1)l i m 1+2 22 2(2)1+2+3+(-1)l i m-2 n(3)l i m一8(n+1)(/2+2)(+3)5 n3(4)伍+2)3+(2 十+3丫 川(1)(2-1)(3-2)知识点：数列极限求法；思路：(1)(2)需要先化简被求极限的式子，(3)(4)则利用有理分式极限的求法;1)111-/1 y+1解：l i m 1 H-F-F,H-2 222l i m一8=2；1-12(2)1+2+3 H+(-1)l i m-：-/?co(3)l i m/?co2n(n+1)(+2)(+3)1=l i m一8(1+-1)/、一(I)12 n2(4)3.5n35v(+2)3+(2+3)3 9 3l i m-=一(n-1)(2-1)(3-2)6 23%+2,x 0设/(%)=!x2+1,0 xl,分别讨论 0及x-1 口寸/,(%)的极限是否存在?1 0-X0 4.(1).2当 f 1 时，l i m =2,e,%l i m，+1)=2,故l i m f(x)=2；x-r x-i已知 l i m/(%)=4 及 l i m g(x)=1,xcx-cl i m h(x)=0,求:x-clim*f/(%)M%)(2)l i m/、/、，i/(x)-g(x)(3)l i m/(x)-g(x)；(4)l i m/(x)-/z(x)xcl i m驷XT。知识点：函数极限四则运算性质;思路:按性质求;解:l i m g(%)/(1)l i m 器二-,、二/f/(%)l i m/(x)小xc(2)l i mx-c成)l i m力xc/(x)-g(x)l i m/(x)-l i m g(x)xc二0；Xf C(3)l i m/(x)g(x)=l i m/(x)l i m g(x)=4；xcxcxc 5.(4)(5)l i m 7?(%)=l i m/(x)l i m h(x)-0；x-cxcxcl i m迎l i m M%)xcg(x)l i m g(x)xc二0，血无穷小的倒数是无穷大，故44-8；h(x)x22x+k=4,求上的值;若l i mx.X 3知识点：函数极限；思路：分析求极限的过程,求出左的值;畲-2x+k解：l i m-Xf3 x-3x2-3x+x-3+k+3x-3=l i mXf 3k+3=l i m(x+1 H-)3 3%3左+3l i m(x+l+-)=4,故必有左+3=0,即左=一3；13 X-3 方法二：可由1-8节无穷小比较来解：当%73时，%3 7 0；故此时必有，2%+左-0,故左=3；6.若 l i mXf 8r 2 x+1-ax-b=0,求a,及b的值;x+1 知识点：同上;x2+1,(x+1)2-2.x,c:cix-b cix-b x+1-2-ax-bx+1x+1x+1X=(1-a)x-2+(一),则由l i mX fcox2+1-ax-bx+1=l i m(1-a)x-2X f8+(1 b)=0 知,必有x+1x%+11-=0,2+1 6=0,解得：a=1,b=-l习题1-7 1.计算下列极限:(1)ta n 5x l i m-x(2)l i m x cot%；xf 0ta n%-s i n%(3)l i m-Xf0X1-cos 2x(4)l i m-x-o%s i n x(5)Xl i m,；(6)10+Jl-COS Xs i n x l i m-xrn n-X2 a rcs i n%(7)l i m-x-0 3xx-s i n x(8)h m-x+s i n x知识点：两个重要极限;思路：当函数用三角函数和基函数表达时，可考虑变形成s i n，其中口；但本题解法不是唯一的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易;解：ta n 5%l i m-=l i mx0%x0s i n 5x1-5=5；5x cos 5x(2)l i m x cotx0 x=l i m-cos%=1；x-o s i n x(3)l i mxf 0ta n x-s i n xx=l i mx-0(4)1-cos 2x l i m-二x-xs i nx(5)l i m X=XT。*01)-1=1-0=0COS X2 s i n 2 x h m-二xf0%s i n xl i m XxtOl i m 2吧匕x-0 x2=l i m 41 Xf o+2；X2s i n 2s i n xl i m-Ji-x=XT 71-X=s i n(乃一 1)v s i n t t h m-=h m-=f-0 t 7o t二1;2a rcs i n x.x f 0 n a rcs i n%-0,贝U l i m-a rc s i n x=tx-0 3x=x-s i n x l i m-xf x+sinx计算下列极限:l i m(1-x)x；Xf 0l i mXf 8X、x+3U+i;知识点：重要极限:H m 3 to 3 s i n t23s i n xl i mX-o s i n x1+-xx-o s i n x1+h m x-o s i n x1-1=0；1+1(2)l i m(1+2x)x；Xf 0；(6)l i mX8(x+ax-aj(3)l i mx8+x(4)/l i m 1-(k e N)X JXJ(7)l i m 11+xex Xf 0(8)l i m-In1 x1+x1-xl i m(1+12 I(或 l i m|1+1=e)思路：将函数表达式化叫i mUj(或 l i me)，并利用指数函数运算性质m-n e日)得出结果-i一x(-l)l i m(1+(-%)”xtO 解：(1)l i m(1-x)v=l i m(l+(-x)-xtO -i e(3)(4)(5)l i mxccl i m(1+2x)(2)1l i mX 8、x+3+1 J(-(l+x)严=l i mXCO/Xl i m 1-I X+1 7i%=l i m 1+X8l+3/x-1-1/xl i m 1+xoc kfx+i-l Yr+3MJx1+xl i m 1+XCC kI 1+X-i e(6)l i mXT8x+a/l i m 1+2a)x-a 2ax2a xa/l i m 1+x-a2a2a a!xl a e(7)(8)x-a 7l i m 11+xeAXf 0 11+xX00I x-a j阳=l i m(1+xexX 0X8x-a Jl i m In J-=l i m In(+xXf 0 X1-X x-0I 1 一 J/l i m In 1+xy0 i2x 1-x 12x-xIn e=1；1 一 x Js i n xx 0%3.设/(x-l)=|2,x 1,l i m/(x)o x-0%=0,求x 0=l i m f(t-1),由已知 r-l/、s i n tl i m/(/-1)=l i m(-)=-s i n 1,则 l i m f(x)=-s i n 1；x-0方法二：令X-l=,则X=+l,代入已知得s i n(/+1)r+1 +1 0s i n(?+1)t+1t -1/()=2,t+1=0 n/()=2,t t,z+1 0tt 1x-,则l i m/(x)=l i mx0 xf 0 x -1s i n(x+1)-=-s i n 1；