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2017高三数学理科数学核心知识点—《集合》
一、 集合含义与表示
1.集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性
2.元素与集合的关系：属于、不属于
3.表示方法：列举法、描述法（区别数集与点集）、图示法、区间法
4.常用数集：实数 ，有理数 ，整数 ，自然数 ，正整数 或
二、 两集合之间的关系
1.包含 （真包含 、相等 ），子集与真子集.
2.结论：（1）含有个元素集合的子集个数为，真子集，非空真子集.
（2）是任何集合的子集，任何非空集合的真子集.
三、 集合间基本运算（重点）
1.交集： “公共部分”
2.并集： “并在一起”
3.补集：（集合相对于全集的补集）， “剩下的部分”
主要涉及数字与数字、数字与范围、范围与范围，集合问题能化简的要先化至最简，涉及范围问题的常借助数轴表示，要注意端点值的取舍.
需要加强训练的相关知识点：
1. 解一元一次不等式
2. 解一元二次方程（用求根公式法，注意变式）
3. 解一元二次不等式（注意变式，如 、）
4. 解绝对值不等式（仅限于含一个绝对值，如 或 ）
理科数学核心知识点—《函数》
1. 求定义域
①，
②，
③，.特别是出现的频率很高.
注：由几个初等函数组合的复杂函数求各定义域的交集.
2.求函数值（特别是分段函数）
3.基本性质
（1）单调性（熟记初等函数单调性、图像法、复合函数法（同增异减）、导数法）
定义域是否
关于原点对称
是
否
非奇非偶函数
既是奇函数
又是偶函数
偶函数
奇函数

（2）奇偶性

注：偶函数的图像关于轴对称，在对称区间上单调性相反；奇函数的图像关于原点对称，在对称区间上单调性相同，若在处有定义，则.
（3）周期性
设函数，如果存在非零常数，使得，有，则函数为周期函数，为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：①周期函数可任意加减周期的整数倍，即；
②若或或或，
则函数的周期为.
（4）对称性：若或，则关于直线对称.
4.图像变换：平移、对称（翻折）、伸缩（主要是平移，即“左+右-，上+下-”）
5.基本初等函数（定义、图像、性质）
（1）幂函数：，（常用的是、、、、）

（2） 指数运算性质：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（3） 指数函数：，其中且.（其主要性质可观察图像得到）
（4） 对数定义
，叫做以为底的对数.
注：①，负数和零没有对数； ②，；
③，；④，.
（5） 对数运算性质
①； ②；
③； ④（换底公式），特别地，.
（6）对数函数：，其中且.（其主要性质可观察图像得到）
6.函数的零点
（1）定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
（2）方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
（3） 零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.
理科数学核心知识点—《导数及其引用》
一、求导数
1.导数公式
（1）若（为常数），则 ___ .（2）若，则 _____ .
（3）若，则 ______ . （4）若，则_____ .
（5）若，则. 特别地，若，则 ______ .
（6）若，则. 特别地，若，则 ______ .
2.四则运算法则
设为两个函数，则（1） _____________ .
（2） _____________ . （3） _______________ .
（4） _______________（其中为常数）. （5） _______________ .
3.复合函数的求导（由外到内、层层求导、中间是乘号）
二、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
三、导数应用
1.求函数（曲线）在某一点处的切线方程
（1）求导数： 或 ；
（2）求斜率： 或 ；
（3）求方程（点斜式）：，最后化为直线一般式或斜截式即可.

2.求单调区间、极值和最值
（1） 若，则单调递增，对应区间称为增区间；
若，则单调递减，对应区间称为减区间.
反之，若单调递增，则；若单调递减，则.
（2） 左增右减有极大值，左减右增有极小值.
（3） 闭区间上的连续函数必有最值.先求极值，再求端点值，然后比较得最值.

注：①单调区间不合并，用“和”字连接或用“，”隔开；
②有极值则导数为零，但导数为零不一定有极值（如函数在处导数为零，但无极值），即“导数为零”是“有极值”的必要不充分条件.
③极值是函数的局部性质，可有多个；最值是函数的整体性质，具有唯一性.
例：已知函数的极值.（注意明确解题步骤）
解：定义域为，
，
令，即，得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（注：若是求该函数的单调区间，则到此为止）
列表如下：

极大值

极小值

所以，当时，有极大值为； 当时，有极小值为.
（注：若求该函数在区间上的最大值和最小值，则求出端点值，，与极值比较得，，.）
3.求定积分（也可以利用几何意义）
牛顿-莱布尼茨公式：，其中.
理科数学核心知识点—《三角函数》
一、基础知识

角度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度

0

1

0

-1

0

1

不存在

-1

0
1.特殊角三角函数值（理解表格的形成过程）
注：（1）互补的两角值相等，与值互为相反数；
（2）周期可任意加减，其中、周期为，周期为；
（3）、是奇函数，负号可提前；是偶函数，负号可直接去掉
即 ，，；
（4）“象限角”三角函数值正负号：“一正二正弦，三切四余弦”.
2.同角三角函数的基本关系（可表示具体角度或式子）
（1） （2）
3.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
二、 三角恒等变换
1.和、差角公式：

2.二倍角公式（和角公式的特例）
（1） （2）
（3）
，（有“降幂倍角”功能，戏称为“杀人公式”）
3.辅助角公式（可逆用和差角公式进行转化）
，.
常用变形（以相加为例）：
_______________________ .
‚____________________ .
ƒ____________________ .
三、解三角形
证明正弦定理辅助图形
1.正弦定理： （为△外接圆半径）.
推论：（1）边化角 （2）角化边
（3）面积公式
附1：常用公式
（1）平方差公式：；
（2）完全平方公式：；
（3），，；
（4） ，大边对大角，两边之和大于第三边.
2.余弦定理
推论

四、三角函数图像与性质
1.利用“五点法”画出与的图像.

2. 图像与性质（略去正切函数）
函数
性质

定义域

图像
如上图所示（注意观察最值、增减性和对称性）
值域

对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
周期性

单调性
单调增区间：
；
单调减区间：
；
单调增区间：
；
单调减区间：
；
奇偶性
奇函数（图像关于原点对称）
偶函数（图像关于轴对称）

3. 函数 与 （，）的图像与性质
振 幅
最小正周期
相 位
初 相
定义域
值 域

（1）

（2）图像可利用“五点法”或由或的图像平移得到.
（3）求函数解析式时，由最值或振幅确定，可由周期确定，可由特殊点确定.
（4）求单调性、最值、对称轴和对称中心时，可将看作整体，利用或
的相关性质得到.
（5）图像变换：伸缩变换（与的伸缩方式不同）和平移变换（左+右-，上+下-）
如：如何由函数的图像变换为函数的图像.
理科数学核心知识点—《平面向量》

1.定义：既有大小又有方向的量.
2.表示：（1）有向线段（如图1）； （2）坐标表示（如图2）.
3.模长：表示向量的大小或长度，向量的模长为.
4.特殊向量
（1）单位向量：模长为1的向量，常用表示，即.
（2）平行（共线）向量：方向相同或相反的向量，记作.
5.运算：设向量，，则
（1）加法：；
（2）减法：；
（3）数乘： ；
（4） 数量积：称为与的数量积，记作，即.

① 为与的夹角，如图3；

② ，；
③ ，可参考“特殊角三角函数值”求夹角；
④ 特别地，，
；
⑤ ；
⑥ （重要结论）.
理科数学核心知识点—《数列》
一、 重要知识点
1.（1）定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列是一种特殊的函数.
（2）通项公式：如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个式子来表示，则这个公式称为通项公式，其中或（可省略）.（注意区别项和项）
（3）数列的前项和：，.
2.与的关系：（常用来求通项公式）.
3.等差数列
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示，即（且）或（）.
（2）通项公式：（注意变式）.
（3）等差中项：若，，成等差数列，则称为与的等差中项，即.
（4）重要性质：若，则.
（5）前项和 .
4.等比数列
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列就叫做等比数列.这个常数叫做公比，常用字母表示，即（）或（）.（等比数列中不会有0出现）
（2）通项公式：.（注意变式）
（3）等比中项：若，，成等比数列，则称为与的等比中项，即.
（4）重要性质：若，则.
（5）前项和：