八年级数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版知识精讲.doc

初二数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
寒假专题——因式分解的应用

在解决实际问题时，常利用因式分解的公式进行变形和转化，这样可使计算或运算简化，避免大量的复杂运算。因式分解就是简化运算的解题工具。

【典型例题】
例1. 在一条宽阔的马路上，整齐排列着10个花坛，每个花坛的形状都像操场上的跑道圈那样两端呈半圆形，连接两个半圆边缘部分是直线的一部分。已知每个花坛的宽都是6m，每个花坛边缘直的部分的长分别是36m、25m、30m、28m、25m、32m、24m、24m、22m和32m，试求出这些花坛的总面积。
分析：把生活中的实例转化为数学问题来求解是“数学建模”思想的运用，花坛的形状应归类到数学中的几何图形，进而求出面积。可以把每个花坛的面积都看作是一个长方形与两个半圆的面积和，即一个长方形与一个圆的面积和。
解：设花坛总面积为S，则：

评析：凭借想象力，设每个花坛的两端各组成一个圆，而10个花坛的中间部分顺次首尾相接，形成一个很长的长方形，这样重新组合并不改变总面积。在解题时局部使用了提取公因式进行了因式分解，并运用加法的交换律与结合律简化了整个运算过程。

例2. 一圆形灯具（如图1），在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是，试求大、小圆盘的半径。

图1
解：设大圆盘的半径为Rdm，小圆盘的半径为rdm，则由题意，得

即
由于、必有1项为5的倍数，则

评析：在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到，解题思路豁然开朗。

例3. 已知长方形的周长是16cm，它的两边x、y是整数，且满足，求其面积。
分析：要求长方形面积，必须利用已知条件求出两边x、y，一个条件是，另一个是条件等式。观察等式左端特点可以考虑利用交换律、结合律分组后分解因式，两个条件结合求值。
解：，即

又
或
解得
x、y是整数，得
故长方形面积

例4. 某商场有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，则这个商场共有商品多少种？
解：这个商场共有商品的种数为

评析：求商品的种数自然是将各种商品数相加，但不应是简单的罗列，应用因式分解的知识化答案为最简形式。

例5. 图2（a）是一边长为的正方体；图2（b）是边长分别为a、b、c的三个正方体；图2（c）是一个长为，宽为，高为的长方体。用因式分解的方法说明：图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（c）中长方体体积的3倍。

图2
分析：这是一道因式分解应用问题，如何把几何模型转化为代数运算是解题的关键。对照图形，首先应掌握正方体与长方体的体积公式，然后用字母列出各体积的代数式，通过因式分解求出结果。
解：图2（a）中的长方体的体积为，图2（b）中的正方体的体积分别为、、，图3中的长方体的体积为

图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（c）中长方体体积的3倍。

例6. 某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径，外径，长，利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（取3.14，结果保留两个有效数字）
分析：用管道外径面积减去内径面积再乘以长度L即可。
解：根据题意，管道外径面积为，管道内径面积为，所以一节这样的管道的体积为：

判断几何图形的形状
例7. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长依次为a、b、c、d，且，，那么四边形ABCD是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
（2002年“希望杯”初二培训题）
解：因为
所以
即
因为
所以
即，故四边形ABCD是平行四边形
选A

比较代数式的大小
例8. 已知，，则M与N的大小关系是（ ）
A. M<N B. M>N C. M=N D. 不确定
（2002年“希望杯”初二第2试题）
解：

因为
所以
所以
因此M>N，选B

【模拟试题】
1. 如图，大圆的直径为a，大小圆的直径的差为b
（1）求小圆的直径d及阴影部分的面积S
（2）当a＝10，b＝6，取3.14时，求S的值。

2. 某地区根据地理位置及气候特点，在大棚种植上采用了如下的结构，占地呈矩形，四周的砖墙，上盖玻璃屋面，如果矩形的长、宽分别为a、b，且前沿墙高为c，后墙高为d
（1）求这座大棚砖墙的面积S
（2）如果a＝6.6m，b＝3.4m，c＝0.5m，d＝1.5m，求砖墙的面积
3.
（2002年“希望杯”初一培训题）
4. 若，则的值等于（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 3
（2003年“希望杯”初二第1试题）
5. 一个自然数a恰好等于一个自然数b的平方，则称自然数a为平方数，如，64就是一个完全平方数，若，说明a是一个完全平方数。

【试题答案】
1. （1）； （2）65.94
2. （1）
（2）原式
3.
4. C
5. 设，则

是一个完全平方数