向量及其应用.doc

一、 基础知识梳理
1、已知＝（5，4），＝（3，2），则与2－3平行的单位向量为________;
（）
【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。关键指出与一个非零向量共线的单位向量有两个。
2、 若非零向量和满足 |+|= |－|，则与所成角的大小________________;（2001.上海.春招.8）
【点拨】将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。
3、已知向量＝（1，2），||＝且垂直，求与的夹角。
【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关系。
通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。
二、 例题的讲解
1、 平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合
例1：已知平面向量。
（1）若存在实数k和t，使得向量，，且，试求函数关系式k=f(t)；
（2）根据（1）的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。
【思路导引】
①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？
②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）∵[].（）＝0
即：
又∵
∴||=2 , ||=1 , .=0 代入上式得
－4k+t(t2-3)=0
又当t=0时，k＝0，这时＝0（不合）
∴k=(t≠0，f∈k)
(2) ∵k=，
令，得t>0或t<－1；
令，得－1<t<0或0<f<1。
因此，k=f(t)的单调增区间为（－∞，1）∪（1，＋∞） ，
单调减区为（－1，0）∪（0，1）。
【题后反思】这类问题主要考查向量的基本知识，包括向量加法、数量积的定义以及基本运算法则。以函数为背景，以向量的相关知识为依托，沟通与函数的有机联系，着重考查函数的性质及综合运用知识和方法解决问题的能力。
例2：平面直角坐标系中有点P（1，cosx）,Q(cosx,1)，且x∈[] .
(1) 求向量与的夹角θ的余弦值用x表示的函数f(x)；
(2) 求θ的最值。
【思路导引】
①直接运用夹角公式得到θ的余弦值与x表示的函数f(x)之间的关系式。
②求最值有哪些方法？（均值不等式是最基本常用的方法）再思考还可以用什么方法？
解：（1）

x∈[] .
（2）
即
又

【题后反思】这类问题主要是依托平面向量的模、数量积，夹角等公式通过形和数的相互转化，实现与三角的有机整合，同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。
例3：已知平面向量且等差数列的首项为，公差为，前4项的和为，求实数t的值。
【思路导引】在数列运算中找到等量关系。
解：∵等差数列的首项a1＝＝1×2＋1×1＝3
公差d=＝|(1，1)－（2，1）|＝
∴的前4项和为S4＝4a1+=18
即＝（1，1）.（2＋t，3）＝2＋t＋3
∴2＋t＋3＝18t=13
【题后反思】 这类问题主要是运用平面向量的模、数量积等相关知识，实现形到数的转化，巧妙地将平面向量、数形等知识融合在一起，重点考查平面向量、数列的“三基”。
例4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值。
【思路导引】
① 利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系。
② 利用均值不等式求最值。
解：

∵
∴||=，||=
＝－＋ 代入上式
－3k＋3
当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2。
【题后反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

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