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第三章 分式3.1 分式
一、教学目标
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
二、教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）
这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）
在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
原计划完成一期工程需个月，
实际完成一期工程需c个月，
根据等量关系（1）可列出方程：
+4=.
用等量关系（2）设未知数，列方程呢？
因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.
同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？
我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.
像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
2.例题讲解
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x－7,3x2－1,,,－5,,,.
（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.
②当a为何值时，分式有意义？
③当a为何值时，分式的值为零？
（1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式.
（2）解：①当a=1时，==1;
当a=2时，==.
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a=0，得a=0.
所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.
③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：
所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零.
三、随堂练习
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）;（3）
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.
3.2 分式的乘除法
一、教学目标
1.分式乘除法的运算法则，
2.会进行分式的乘除法的运算.
二、教学过程
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=.
猜一猜×=? ÷=?
观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.
即×=;
÷=×=.
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零.
1.分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
2.例题讲解
［例1］计算：
（1）·;（2）·.
分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
解：（1）·=
==;
（2）·
==.
［例2］计算：
（1）3xy2÷;（2）÷
分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
解：（1）3xy2÷=3xy2·
==x2;
（2）÷
=×
=
=
=
3.做一做
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3;
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3.
（3）我认为买大西瓜合算.
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算.
三、随堂练习
1.计算：（1）·;（2）（a2－a）÷;（3）÷
2.化简：
（1）÷;
（2）（ab－b2）÷
解：1.（1）·===;
（2）（a2－a）÷=（a2－a）×
==（a－1）2
=a2－2a+1
（3）÷=×
==（x－1）y=xy－y.
2.（1）÷
=×
=
=（x－2）（x+2）=x2－4.
（2）（ab－b2）÷
=（ab－b2）×=
=b.
3.3 分式的加减法
一、教学目标
1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.
2.简单的异分母的分式相加减的运算.
二、教学过程
问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?
（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？
答案：问题一，根据题意可得下列线段图：
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（+）h.
（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.
如果要比较（+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.
比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b.
如果a－b＞0，则a＞b;
如果a－b=0,则a=b；
如果a－b＜0,则a＜b.
显然（+）和中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.
如果用作差的方法，例如（+）－，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？
做一做
（1）+=____________.
（2）－=____________.
（3）－+=____________.
同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如+－==－.
我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.
解：（1）+==;
解：（2）－=;
解：（3）－+
=
=
=
异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法
［例1］计算：
（1）+;（2）+
［例1］中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式化成=即可.
解：（1）+=+
===;
（2）+=+
==
三、计算：
（1）－;
（2）+;
（3）－
解：（1）－==;
（2）+=+==;
（3）－=－
==.
3.4 分式方程
一、教学目标
1.了解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
二、教学过程
解方程+=2－
（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.
（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x=13,
（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.
例1 解方程：－=4
解：方程两边同乘以2x，得
600－480=8x
解这个方程，得x=15
检验：将x=15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.
例2 .解方程：
（1）=;（2）+=2.
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：（1）=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
（2）+=2
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得x=
检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.
所以原方程的根为x=.
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