“单位圆定义法”与“终边坐标法”.doc

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再谈三角函数定义的“单位圆定义法”与“终边坐标法”
江苏省扬州中学 张乃达 　　　
泰州市教育局教研室 石志群
三角函数如何定义更为合理？见仁见智，争议颇多．不过，就评价标准看，争议并不多，大多认为应该从数学本质、逻辑简单、学生认知、知识体系等角度进行考察．本文中我们想从概念形成的历史看数学本质、逻辑简单原则，从现代三角函数的价值本源看知识体系与学生认知．不当之处欢迎指正．
1．从三角函数概念的形成过程看数学本质与逻辑简单．
早期的三角学是伴随着天文学而产生的，因此，这一时期主要是球面三角．早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量．公元前600年左右古希腊学者泰勒斯利用相似三角形的原理测出金字塔的高，公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同圆心角所对的弦长的表．
O
A
B
C
D
P
在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的，如古希腊的托勒密定半径为60，印度人阿耶波多定半径为3438，德国数学家基奥蒙特纳斯为了精密地计算三角函数值，曾定半径为600 000．因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长（如弦长，后来改为“半弦”），而且其自变量也不是“角”，而是称AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地联结在一起，因此，这并非严格意义上的“三角函数”．
意大利数学家利提克斯改革前人的做法，将AB称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂钩，而使圆成为从属地位．
直到欧拉时代，才将三角函数定义为直角三角形中的边的长度的比，并取圆的半径为1，使三角函数成为了相应的线段与圆半径之比．到了近代，人们更是将“圆”直接弃去，只留下了直角三角形，并用其相应的边之比了．
从三角函数的发展过程可以看出，早期的三角函数其实就是图形几何性质的应用，与现代三角函数的概念有着本质上的区别，其之所以运用“圆”，就在于其应用背景之“球面三角”的天文需要，还在于制作“弦表”的可操作的要求（方法略）．到了欧拉时代，三角函数的本质已经与现代三角学相同，欧拉的定义实质就是“比”的形式，其之所以取半径为1的圆，是因为那个时代的数学表示与研究的方法之文化背景，比如牛顿在其《自然哲学之数学原理》中的许多论述是通过微积分（即牛顿称为的流数法与反流数法）得到的，但在写作时，牛顿都换成了当时人们较为熟悉的几何作图与代数运算相结合的形式．
三角函数的发展史说明了数学概念在形成过程中的逐步提炼、逐步抽象，逐渐地剔除非本质的成份，从而留下最本质的内核的事实，这在各种数学概念的发展过程中都能得到体现（如函数概念，数学家们并没有在变量依赖说、变量对应说直到集合对应说就终止对其逻辑简单的追求，其最终的定义（由波兰数学家库拉托夫斯基给出）只留下了“集合”这一本质的、核心的成份，剔除了其它所有的非本质的因素：集合<a，b>={a},{a,b}称为一个序偶，则函数可以定义为：设A、B是任意两个非空集合，f是笛卡尔积A×B的一个子集，满足：①对于任意的a∈A，存在一个b∈B,使得<a，b>∈f；②若<a,b>∈f,<a,b′>∈f，则b=b′.那么f称为A到B的一个函数，记作f:A→B,a→b,b=f(a)）．事实上，对于三角函数而言，“圆”，即使是单位圆，并不是必须的，是非本质的，特别是在角的概念推广之后，其实质应该是用以表示“方向”的一种函数：当三角函数表达式建立之后，直角坐标系都未必是概念之必要成份，因此，在用复数表示量与量之间的关系后，就变成了纯代数（数量）关系了，并不一定需要几何图形进行“辅助”了．这也正好说明：三角函数是两个数集之间的函数关系，并不需要依赖于图形而存在．
正缘于此，就没有必要在使用非常重要的“回到定义”这样一种转化策略时，每次都添加一个非必要、非本质的“圆”，因此，无论从概念的本质，还是从逻辑的简单的角度看，终边坐标法显然要优于单位圆定义法（因为逻辑简单并不仅看表达形式的简洁，更应该看其抽象化程度，也即其包含的非本质内容的多寡）．
2．从现代三角函数的价值本源看知识体系与学生认知．
《普通高级中学数学课程标准》对“三角函数”定位为“刻画周期性现象的数学模型”，因此，我们的教学设计就应该以建立刻画周期性现象的数学模型的过程展开三角函数的学习过程．因为周期性现象的发生源于周期性运动，所以我们应该选择适当的周期性的运动作为研究起点．以数学研究的一般原则，我们选择最简单的周期性的运动：圆周上一点的运动．
而圆周上的点的表示既可以用圆心角a、半径r、弧长l，又可以用坐标（x，y），所以这些不同的“量”之间的关系就反映了点的运动的规律，建立这些量之间的关系就是我们的任务所在．至此，我们将实际的模型抽象为数学的表示：a、r、l、x、y，其中a、r、l之间的关系就是弧度制的思维起点，而a、x、y之间的关系就是三角函数的生长点了．在这里，完全没有必要出现圆，因为有了x、y整个研究对象就完全确定了，大可不必再画蛇添足．
学生所经历的这种概念生成过程与三角函数的概念的发展过程是非常相似的：先是有着一定的背景为依托，然后逐步地“抽去”非本质的所谓背景，留下最本质的因素作为研究的对象，这正是人类认识事物逐步深入的过程与人的认知发展过程的“历史相似性”原理的最好体现．因此，我们认为，这样的设计更符合人的认知规律．同时，这种自然的建模过程正好建立在学生的已有认知结构基础之上：要发现一般情况下a与x，y之间的关系，先从熟悉的情形开始，所以我们首先对a为锐角的情况进行考察，于是自然地发现了其关系刚好与初中学习的直角三角形中的三角函数是一致的，所以，我们研究的其实就是对锐角三角函数的概念推广．
这里有一个如何认识三角函数教学的价值追求的观念问题：究竟是将其作为建立“刻画周期性现象的数学模型”的过程，还是将其作为对“三角函数这个数学模型进行认识”？这在不同教材的本章的章首语及本章的整体结构是完全可以看出来的．同样是基于学生初中学习过的三角函数的知识结构进行的学习，这个知识基础在学习过程中所起的作用、出现的自然程度、思维的流畅性都是有本质区别的：一个是在研究“刻画周期性运动的数学模型”的过程中自然地“联想”到的，另一个是“锐角有三角函数，那么，角的概念推广后，其三角函数是什么呢？”推广了，为什么角的概念推广后就一定要有三角函数呢？三角函数的意义、研究目的究竟是什么呢？逻辑的必然性是不充分的！数学的历史最能说明问题：二元数（复数域）的运算所具有的性质，四元数并不一定具有．