时针分针夹角问题解答.doc

有关时针分针夹角的计算
钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。
如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。
时针旋转一圈是12小时，从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，1小时旋转了30度，1分钟旋转了0。5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，1分钟旋转了6度。
一、整点两针夹角的计算
例1 2点整时针分的夹角是多少度？
分析：如图1，时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。所以两针的夹角为60°-0°=60°。
解：2×30°-0×6°=60°
练习1：6点整时，时针分针的夹角是多少度？8点整呢？
（提示：当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度
减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。）
 二、非整点两针夹角的计算
 例2 计算3点40分时两针的夹角。
分析：如图2所示，3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：40×6°=240°。分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。
解：如图2所示，时针旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°
分针旋转角度为：40×6°=240°
两针夹角为240°-110°=130°
练习2：计算10点过5分时两针的夹角。
 三、已知两针的夹角，求时间
 例3 4点过多少时，时针与分针互相垂直？
分析：存在两种情况：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，时针分针互相垂直；（2）当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，时针分针互相垂直。
解：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，设4点过x分钟时两针互相垂直。由题得：
（4×30+0.5x）－6x=90
120+0.5x－6x=90
5.5x=30
x=60/11
 (2) 当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，设4点过y分钟时两针互相垂直。由题得：
6y－(4×30＋0.5y)=90
6y－120－0.5y=90
5.5y=210
y=420/11
答：4点过5 分或4点38 分时，时针与分针互相垂直。
练习3：11点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？
（提示：也存在两种情况，一种是时针比分针旋转角度大60度，另一种是时针比分针旋转角度大360°－60°=300°）
四、时针与分针重合时的时间计算
时针与分针重合时，时针与分针旋转角度相等，因此，可列一元一次方程解决问题。
例4 5点过多少分钟时，时针与分针重合？
解：设5点x分钟时，两针刚好重合。由题得：
5×30－0。5x=6x
5.5x=150
x=27
答：5点过27 分时，时针与分针重合。

六年级专题讲座(三)时钟问题
刘丹
    钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的,在圆周上的行程问题，如求分针时针重合，成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。为解好这类问题应掌握以下基础知识.即特殊常用关系式.
讲座：
    1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针的12倍，时针速度是分针的.
    2．时针和分针在重合状态时，分针每走60÷(1－)=65(分),再与时针重合一次.
    3. 若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为:a÷(1－)(分)
    4.两针垂直,表示它们所成最小角是90°.
例题：现举几例阐述解题方法与思路.
例1 现在是12点,分针与时针重合.问再过几分钟两针第一次重合?
解：由上面给出的公式得:
  60÷(1－)=65(分)
答:再过65(分)两针重合
例2 现在是3点，问什么时间时针与分针第一次重合？

分析: 3点时,分针指在12处，时针指在3处.分针在时针后5×3＝15（个）格.

答:所求时刻为3点16分。
例3．当5点08分时，求时针与分针所成角度
解：5点时分针与时针成6×25=150° 8分钟分针走了48°，时针走了48°×=4°.
    所以此时分针多转过了48－4=44°。两针成角为150－44=106°.
答：5点08分时，时针与分针成106°.
例4：在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
解: 分两种情况进行讨论
　①若从时针到分针沿顺时针方向上成90°角时,如图:

    为达到两针成90°角,在这段时间内，分针要比时针多走 5（个）格，
    由上述公式得:
    5÷(1－)=5(分)
  ②若在顺时针方向上分针与时针成90°角：
    由于在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，成90°时只落后15个格，
    所以在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，因此到达这一时刻分针应走
    35÷(1－)=38 (分)

例5 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分两种情况进行讨论.
  ①若分针与时针的夹角为180°角：

　　 当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，
由公式得:15÷(1－)=16(分)
  ②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
    因为9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，
因此到达这一时刻所用的时间为
    45÷(1-)=49(分)

例6 分针和时针在数字“12”的两边，时针在11和12之间，分针在12和1之间。问再过多少分钟两针交换位置.
解： 两针交换位置表明：分针转到原时针位置，时针转到原分针位置，两针合计转过了60格.所以经过了
    60÷（1+）=55（分）
答： 再过55分两针交换位置.
例7. 小龙在7点与8点之间解了一道题.开始时,分针与时针正好在一条直线上，解完题时,两针正好重合，
问：(1)小龙解题的起始时间？(2)小龙解题共用了多少时间？
解： 要求出小龙解题共用了多少时间，必须先求出小龙解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻.

  ①小龙开始解题时的时刻：
    因为小龙开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60× =30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走5个格，由公式得：5÷（1－）=5(分)
    所以开始时间为 7点5分
  ②小龙解题结束时的时刻：
    因为小龙解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走35个格，因此这段时间为：
    35÷(1－)=38 (分)
    因此小龙解题结束时间为： 7点38分.
　　这样小龙解题所用时间为： 38－5=32(分)
答：小龙开始解题时间是7点5分，于7点38分结束，共用了32分钟.
例8一时钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？
解： 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：

　　①先设此时是4点多.如图(a)
    4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，相当由于分针到6的格数等于时针到4的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于

　　②再设此时是5点多.如图(b)

    5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，同上面的分析一样，时针与分针在这段时间内共走25格.
    因此，从5点整到图（b）钟面上这种状态共用了25÷（1+）=23（分）
    所以此时是5点23分
答：此时是4点27分 也可是5点23分.
例9：小李的表比标准钟慢两分，小刘的表比标准钟快两分。8点时两人把表对准。问:小李的表是12点时，标准时间是几点几分？小刘的表是几点几分？
解： 由已知条件得： 小李的表每小时走58分，小刘的表每小时走62分.
    小李的表，标准钟，小刘的表的速度比为 58﹕60﹕62.
    由8点到12点，小李的表走了240分，则标准钟应走 240×=248分，
    小刘的表应走 240×=256分。
答：标准时间是8点8分.小刘的表是8点16分.
习题：
*
1、1点到2点之间，时针与分针在什么时候重合？
2、11点到12点之间，时针与分针在什么时候重合？
3、在5 点到6点之间，时针与分针何时成直角？
4、在4点到5 点之间时针与分针何时成一条直线？
5、在3点到4点之间时针与分针何时成60°角？
6、观察在镜面反射后的钟面的指针位置，并说出：
    （1）两钟面所表示的实际时刻；
    （2）两钟面的时间差.

7、钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分.星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？
8、小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6点40分起床，于是他就将闹钟的铃定在了6点40分.这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？
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1.下面是某火车站列车发车及到达终点站的时刻表，你能按照规律：
    （1）求出第六次列车起点站发车时刻和到达终点站的时刻？
    （2）计算出这条线路一列火车行驶全程的时间？

2.一手表每小时慢4分钟，下午4点整将手表对准，当这只手表的指针指向晚9点整的时候，实际的时刻应是几点几分？
3.钟面上7点整.（1）再过多少分钟时针与分钟首次重合？（2）过多少分钟时针与分针首次成平角？
***
某钟面的指针指在9点多的哪一时刻时，时针与分针指的位置与12的距离相等？

*
1、1点分
2、12点
3、5点分与5点分
4、4点分
5、3点分或3点分
6.（l） 7时 55分， 5时40分.（2） 2小时 15分钟.
    观察两图，由镜面反射原理知：（l）第一个镜面（如图甲）表示的时刻为 7时55分；第二个钟面（如图乙）表示的时刻为 5时40分.（2）它们的时间差为： 2小时 15分钟.
7、11点35分
8、 7点整
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1.（1） 10点20分. 12点25分.   （2） 2小时5分钟.
    观察列车时刻表：第一次列车与第二次列车，第二次列车与第三次列车发车时刻相隔时间均为45分钟.第一次列车、第二次列车、第三次列车起点发车时刻与终点到达时刻相隔时间均为2小时5分钟，综上找到规律：相邻两次列车分发车时刻间隔45分钟，每次列车行驶全程时间需2小时5分钟，得出结论：第六次列车发车时刻为：10点20分，到达终点时刻为12点25分，这条线路火车行驶全程的时间为2小时5分钟.
2 . 9时21分.
    设时钟每小时转过的1大格为路程的单位，则手表的转速为每小时：=格，手表从4点到9点转了5个格，实际走了5÷=5（小时）=5小时21分 所以实际时间是 9时21分.
3、(1)38分钟   （2）5分钟
    设时针一小时转动的1大格为路程的单位，则时针的转速为：每分钟格，分钟的转速为：每分钟格。
    7点整时，时针与分针相距7格，首次重合时分针比时针多走7格，则两针首次重合时经过的时间为：

    当时针与分针首次成平角时，分针比时针只需多走1个格，所以两针首次成平角时经过的时间为：  

***
    9点13分
    因为9点整时两针相隔15格。设时针转了x个格，则分针转12x个格，由它们与“ 12”等距，
    所以 15－x=12x
      解出 x=  12x==13，所以此时是9点13分.

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