第二讲：函数的性质.doc

第二讲：函数的性质

【例1】⑴若函数为偶函数，则实数 ．

⑵下列函数中既是偶函数又在单调递增的函数是　　　　　（填序号）．
①　②　　③　　④

⑶已知函数若互不相等，且，则取值范围是　　　　　　．

⑷已知函数满足：，，则　　　　　　　．

【例2】已知函数自变量的取值区间为，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间．
⑴求函数形如的保值区间；
⑵函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【例3】已知是上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若．
⑴试判断在上的单调性，并说明理由；
⑵解关于的不等式：，其中且．

【例4】已知函数．
⑴当时，求的最小值；
⑵若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【课堂演练】
1．若函数在上是增函数，则的取值范围是　　　　　．
2．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是　　　　　　　．
3．已知是二次函数，且是偶函数，又，在上取最大值３，最小值１，则的取值范围是　　　　　　．
4．设函数是偶函数，则实数的值为　　　　　．
5．设，则不等式成立的充要条件是　　　　　．（注：填写的取值范围）
6．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是　　　　　　　．
7．对于函数，若存在使，则称为的不动点．
⑴当时，求的不动点．
⑵对任意的实数，函数能否恒有两个不动点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

8．设在上的最小值为．
⑴求的表达式，并作出的图象；
⑵求的最大值，并指出的单调区间．

第二讲：函数的性质
【例1】⑴若函数为偶函数，则实数 ．
⑵下列函数中既是偶函数又在单调递增的函数是　　　　　（填序号）．②
①　②　　③　　④
⑶已知函数若互不相等，且，则取值范围是　　　　　　．
⑷已知函数满足：，，则　　　　　　　．
【例2】已知函数自变量的取值区间为，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间．
⑴求函数形如的保值区间；
⑵函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
解：⑴若，则，矛盾；若，则，故或．则的保值区间为或．
⑵若存在，则，①当时，在上为减函数，故即解得，与矛盾．②当时，在上为增函数，故即所以是方程的两实根，但此方程无实数解．③当时，由于，故此时不存在满足条件的实数．综上所述，不存在形如的保值区间．
【例3】已知是上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若．
⑴试判断在上的单调性，并说明理由；
⑵解关于的不等式：，其中且．
解：⑴为上的减函数．理由如下：是上的奇函数，．又是上的单调函数，，，为上的减函数．
⑵由，得，结合⑴得，整理得．当时，；当时，；当时，．
【例4】已知函数．
⑴当时，求的最小值；
⑵若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
解：⑴当时，，可以证明在上单调递增，则．
⑵．若，则在上单调递增，则，恒成立．若，则在上单调递增，则，此时无解．若，则由，得无解．综上所述，．
【课堂演练】
1．若函数在上是增函数，则的取值范围是　　　　　．
2．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是　　　　　　　．
3．已知是二次函数，且是偶函数，又，在上取最大值３，最小值１，则的取值范围是　　　　　　．

4．设函数是偶函数，则实数的值为　　　　　．
5．设，则不等式成立的充要条件是　　　　　．（注：填写的取值范围）

6．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是　　　　　　　．
，，结合二次函数的图象易得．

7．对于函数，若存在使，则称为的不动点．
⑴当时，求的不动点．
⑵对任意的实数，函数能否恒有两个不动点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）的不动点为．
⑵存在，且0<<1理由如下：由，得有两个不动点，所以>0对恒成立，即>0对恒成立．所以由>0，得>0，解得0<<1．
8．设在上的最小值为．
⑴求的表达式，并作出的图象；
⑵求的最大值，并指出的单调区间．
解：⑴
⑵，增区间为，减区间为．

3．定义在上的函数满足：．当时，，下列四个不等关系：，，，，其中正确的个数是　　　　　．