辅助角公式的推导.doc

辅助角公式的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式=或=·
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1 求证：sin+cos=2sin（+）=2cos（-）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见, sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
2.辅助角公式的推导
例2 化为一个角的一个三角函数的形式.
解: asin+bcos=(sin+cos),
① 令=cos,=sin,
则asin+bcos=(sincos+cossin)
=sin(+),(其中tan=)
② 令=sin,=cos,则asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)
其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos,=sin?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式=来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
r
图1
O
的终边
P(a,b)

x

首先要说明，若a=0或b=0时，已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=,由三角函数的定义知
sin==,
cos=.
所以asin+bcos==cos sin+sincos
=.(其中tan=)
图2
r
O
x
y
的终边
P(b,a)

2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三角函数的定义知
sin==,
cos==.
asin+bcos=
=. (其中tan=)
例3 化为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP =r==2.sin=,cos=.
∴=2cossin+2sincos=2sin().tan=.
,∴=2sin().
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者
asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=)
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成(sin+cos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.
例4 化为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角过P点.则,.满足条件的最小正角为,
解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则,.满足条件的最小正角为,

三.关于辅助角的范围问题
由中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知
．其中，，的具体位置由与决定，的大小由决定．
类似地，，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为，则由诱导公式有
，其中，，的位置由和确定，的大小由确定．
注意：①一般地，；②以后没有特别说明时，角（或）是所求的辅助角．
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
的形式或的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．
例５　化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１）；
（２）．
解：　（１）
　　　（２）
在本例第（１）小题中，，，我们并没有取点Ｐ（，－１），而取的是点Ｐ（，１）．也就是说，当、中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（，），或者Ｐ（，）．这样确定的角（或）是锐角，就更加方便．
例6 已知向量,,
,求函数=的最大值及相应的的值.
解:
=
=
=
=

这时.
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.

N
B
M
A
Q
P
O
图3书资料
例7 如图3,记扇OAB的中心角为,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=.则MQ=,OQ=,OP=PN=.
PQ=OQ-OP=.

=
=
=,其中,,.
,
,.
所以当时, 矩形的对角线的最小值为.

7