解答题规范专练(五) 平面解析几何.doc

解答题规范专练(五)　平面解析几何

1．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．

2．(2014·合肥模拟)已知椭圆：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B，M是椭圆上的三点．若＝＋，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|＋|ND|＝2.

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

答 案

1．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，
故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，
得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，
即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
2．解：(1)由已知可得
故
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1.由＝＋，得M.
因为M是椭圆C上一点，
所以＋y1＋y22＝1，
即2＋＋y2＋2×××＋y1y2＝1，
得2＋2＋2×××＋y1y2＝1，故＋y1y2＝0.
又线段AB的中点N的坐标为
，
所以＋22＝
＋＋＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点N，在椭圆＋2y2＝1上．
又椭圆＋2y2＝1的两焦点恰为
C，D，
所以|NC|＋|ND|＝2.
3．解：(1)由题意得2a＝4，故a＝2，
∵e＝＝，∴c＝，b2＝22－()2＝2，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M(3,5k)，由
得(1＋2k2)·x2＋8k2x＋8k2－4＝0.
设S(x1，y1)，则(－2)×x1＝，
得x1＝，从而y1＝，
即S，
又由B(2,0)可得直线SB的方程为＝，
化简得y＝－(x－2)，
由得，
∴N，故|MN|＝5k＋，
又∵k>0，
∴|MN|＝5k＋≥2 ＝，
当且仅当5k＝，即k＝时等号成立．
∴k＝时，线段MN的长度取最小值.