高中数学重点知识总结.pdf

高中数学重点知识总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1:集合、函数概念与基本初等函数（指、对、嘉函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函 数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础 的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要 求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修4一3：数列与差分。选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。选修47：优选法与试验设计初步。选修4一8：统筹法与图论初步。选修49：风险与决策。选修4一10：开关电路与布尔代数。2,重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：第-2-页共104页集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数 与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角 函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用(6)不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的 应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的 应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念K1.12集合ri.i.i集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或M表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，火表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象Q与集合的关系是a e,或者ae,两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x lx具有的性质,其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类第-3-页共104页含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做 空集(0).ri.i.2集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质不意图子集AqB(或B2A)A中的任一元素都 属于B(1)AcA(2)0 q A(3)若且8=则力(4)若 4=3 且 8=4,则 4=50 O或真子集Au B(或 B z)*A)A=B,且B中 至少有一元素不属 于A(1)0 u/(A为非空子集)*(2)若力u B且8u C,则4u C*集合 相等A=BA中的任一元素都 属于B,B中的任 一元素都属于A(1)ACB(2)BoA(7)已知集合力有(21)个元素，则它有2个子集，它有2-1个真子集，它有2-1个非空子集，它有2-2非空真子集.1.1.3集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集力08%|X G4,且X G(1)Af)A=A(2)4rl0=0 ACBqAACBjBSB并集AJB|%e 4 或%G团(1)AJA=A(2)AJ0=A(3)AJBAC补集电4x|X G。，且X 出 A14rM4)=0。=4)n(4,团 2 4 U(QM)=u.q Q)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集|%|0)x-a x a a 0)xx a第-4-页共104页（2）一元二次不等式的解法ax+h c(c 0)把ax+Z）看成一个整体，化成|%|a（a0）型不等式来求解K1.23函数及其表示1.2.1函数的概念判别式A=b2-4acA0 二 0A 0)的图象40J=、二一元二次方程ax2+bx+c=0（。0）的根-b+Jb2-4ac 西广一工一（其中4%2）bX 二%2=一丁2a无实根ax2+bx+c 0(a 0)的解集%玉或%r,b、%|%w-2aRax2+bx+c 0)的解集x|X1 X x200（1）函数的概念设/、5是两个非空的数集，如果按照某种对应法则/,对于集合力中任何一个数X,在集合5中都有唯一确定的数/（%）和它对应，那么这样的对应（包括集合N,8以及N到5的对应法则/）叫做集合N到5的一个函数，记作5.函数的三要素:定义域、值域和对应法则.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.（2）区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且力，满足的实数的集合叫做闭区间，记做。,；满足。X力的实数x的集合叫做开区间，记做（a,6）；满足aVx vb,或a v%6的实数工的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,6）,（。,；满足的实数的集合分别记做a,+8）,（凡+8）,（8,b,（00,6）.注意：对于集合与区间（。力），前者。可以大于或等于6,而后者必须第-5-页共104页a=t an x中，w左%十,(4e Z).零(负)指数幕的底数不能为零.若/(%)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知/(%)的定义域为6,其复合函数/国()的定义域应由不等式a g(x)W 6解出.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角 度不同.求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域 或最值.判别式法：若函数y=y(x)可以化成一个系数含有V的关于X的二次方程。3)%2+63)%+3)=0,则在a(y)wo时，由于/为实数，故必须有A=之0,从而确定函数的值域或最值.不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2函数 的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设力、5是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合力中任何一个元素，在集合5中都有唯一的第-6-页共104页元素和它对应，那么这样的对应(包括集合4,5以及4到5的对应法则/)叫做集合4到5的映射,记作给定一个集合Z到集合5的映射，且如果元素。和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素。的象，元素。叫做元素6的原象.K1.33函数的基本性质1.3.1)单调 性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函 数，减函数减去一个增函数为减函数.函数的 性质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两 个自变量的值X、X2,当X1 X2时一，都有f(Xi)f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增 函数.一(1)利用定义(2)利用已知函 数的单调性(3)利用函数图 象(在某个区间图 象上升为增)(4)利用复合函 数x,x2 X如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两 个自变量的值XI、X2，当Xif(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数.1y=f（x）wr(1)利用定义(2)利用已知函 数的单调性(3)利用函数图 象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函 数Dx,x,x对于复合函数y=/g(x),令=冢%),若y=/()为增，=g(x)为增，则y=/g(x)为增；若y=/()为减，=g(%)为减，则 y=为增；若 y=/()为增，=g(%)为减，则 y=/g(%)为减；若y=/Q)为减，=g(%)为增，则y=/g(%)为减.(2)打函数/(%)=%+区30)的图象与性质X/(%)分别在(-8,-G、5,+8)上为增函数，分别在|-G,0)、(0,JZ上为减函数.(3)最大(小)值定义第-7-页共104页一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数满足：(1)对于任意的x e/,都有(2)存在使得/(%)=.那么，我们称M是函数/(%)的最大值，记作7max(X)=M.一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数加满足：(1)对于任意的e/,都有/(x)m；(2)存在/e/,使得/(%)=加.那么，我们称加是函数/(%)的最小值，记作Zn ax(X)=%11.3.2奇偶性(4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义 域内任意一个X,都有 f(X)=f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数.一ay(a.f(a)ZT.(1)利用定义(要先判断定义域 是否关于原点对 称)(2)利用图象(图象关于原点对 称)(-a,f(-a)0a x如果对于函数f(x)定义 域内任意一个X,都有 f(x)=f(X),那么函数 f(x)叫做偶函数.y(-a.f(-a)_(a.f(a)(1)利用定义(要先判断定义域 是否关于原点对 称)(2)利用图象(图象关于y轴对 称)一 a oaX若函数/(%)为奇函数，且在=0处有定义，则/(0)=0.奇函数在V轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函 数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.K补充知识函数的图象(1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、塞函数、三角函数等各种基本初等函 数的图象.平移变换第-8-页共104页片%)窗浦在盘 kf(x+h)y=/(%)或葭盘 尸/(%)+，/J、/(),石枝|川个甲包.J、J 左伸缩变换蚱/募累=/(5)=%)啜萧 =*(%)对称变换v=/a)v=-/(%)y=/(%)=/(-%)y=/(x)y=/()V=/(%)直 J=r(x)、,_/,/“、去掉蒯左边图象夕一八町 保留V右边图象，并作其关于轴对称图象尸/()y=/(%)保留轴上方图象 将釉下方图象翻折上去=l/WI(2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获 得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(I)K2.13指数函数(2.1.1指数 与指数幕的运算(1)根式的概念如果=a,a e 7?,%e 1,且6乂，那么叫做。的次方根.当是奇数时，。的次方根用符号标表示；当是偶数时，正数。的正的次方根用符号板表示，负的次方根用符号-标表示；。的，次方根是0；负数。没有次方根.式子后叫做根式，这里叫做根指数，。叫做被开方数.当为奇数时，。为任意实数；当为偶 数时，6Z 0.根式的性质：(指)=a；当为奇数时，Q=a；当为偶数时，=a=r()-2(a 0,m,neN+，且nl).0的正分数指数累等于0.正数的负分数指数塞的意义是：二已=:(厂(0,孙6乂,且1).0的负分数指数 a V a幕没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数幕的运算性质第-9-页共104页优优(优)s=a，Q o”,seE)(咐=aba O,bO,rwR)2.1.2指数 函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y=优伍 0且a w 1)叫做指数函数图象a0 a (x 0)ax=(x=0)ax 1(x 0)ax 0)ax=(x=0)ax 1(x 0,a w 1,N 0).(2)几个重要的对数恒等式loga 1=0,loga a=l,log”ab=b.第-10-页共10 4页(3)常用对数与自然对数常用对数：1g#,即log ioM 自然对数：nN,B Pl ogeN(其中e=2.71828).(4)对数的运算性质 如果a0,awl,N0,N0,那么M加法：log”M+loga N=log“(MN)减法：log”M-log”N=log”数乘：nl ogaM=l ogaMneR)al 0SuN=N log hMn=-log.Mb w 0,c R)换底公式：log N=(b0,且6 w 1)b log；,a【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=loga 0且a W 1)叫做对数函数图象a0 t z 0(x l)loga x=0(x=l)log“x 0(0 x 1)loga X l)logfl x=0(x=l)log”x 0(0 x 0,则基函数的图象过原点，并且在0,+oo)上为增函数.如果。l时一，若其图象在直线y=x下方，若11,其图象在直线y=上方，当a1,其图象在直线y=x下 方.(补充知识二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：/(%)=a%2+岳：+c(aw0)顶点式：/(外=矶工4+以两根式：/(%)=。(工一匹)(%-%2)(。)(2)求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(%)更方便.(3)二次函数图象的性质o b二次函数/(外=2+法+&40)的图象是一条抛物线，对称轴方程为1=顶点坐标是2a第-13-页共104页b Aac-b1 当a0时，抛物线开口向上，函数在(-00,-2上递减，在_L,+8)上递增，当=一浚_时,2(7 2a 2afm，n=4acbl,当。0时，图象与轴有两个交点7a M。,0),m(z，M MM 耳 X1-x2|=(4)一元二次方程ax?+Zzx+c=0(。W 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系 统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合 二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程+v+c=0(q W 0)的两实根为百,2,且X1W2.令/(%)=+Ar+C,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向:X kX2 叭左)V0A端点函数值符号.第-14-页共104页有且仅有一个根X1(或 2)满足所V%1(或x2)人2/(局)=0这两种情况是否也符合=MW2)0,并同时考虑/(始=0或向 为 VWpi Vx 2 Vp2 此结论可直接由推出.(5)二次函数/(%)=。%2+瓜+。0)在闭区间P国上的最值设/(%)在区间p,q上的最大值为，最小值为令玉)=g(p+9).(I)当。0时一(开口向上)若一-P 则加=/(p)若 p-q,则加=/(q)2a 2a 2a 2a第-15-页共10 4页(H)当a0时一(开口向下)若-p,则 M f(/?)若 p-q,则 M j(q)2a l a l a l a第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数了=/(%)(1。)，把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(%)(x e。)的零点。2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数y=/(x)的图象与1 轴交点的横坐标。即：方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与1轴有交点=函数y=/(%)有零点.3,函数零点的求法：求函数=/(%)的零点：(代数法)求方程/(%)=()的实数根；(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数丁=/(%)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a w 0).第-16-页共10 4页1)0,方程办2+法+c=o有两不等实根，二次函数的图象与1轴有两个交点，二次函数有两 个零点.2)=(),方程依2+区+。=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次 函数有一个二重零点或二阶零点.3)A LC a公理1作用：判断直线是否在平面内第-18-页共104页(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。/A B/符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a,/1/使 Aa、B a、Ca。乙-公理2作用：确定一个平面的依据。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共/直线符号表示为：Pe a A P=aGB=L,且PL 4 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 7V2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系/一V-一X1空间的两条直线有如下三种关系：/什右古川丁相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；V共面直线YL平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=a强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的 一条上；两条异面直线所成的角9底(0,);当两条异面直线所成的角色直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作aJ_b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示eC aaA a=A2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：=a a第-19-页共104页ab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示:1CBa A b a/a b aP B a2、判断两平面平行的方法有三种：(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。旧-y符号表示：y.a aa u B a A P=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示:2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L _L a,直线L 叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;第-20-页共104页b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角a-1-目或a-AB-B3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线1与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线1向上方向之间所成的角 a叫做直线1的倾斜角.特另U地，当直线1与x轴平行或重合时，规定。=(T.2、倾斜角a的取值范围：0 二卜：=匕 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L 1L 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直，3.2.1直线的点斜式山鸟|=2 J(UP即方程1、直线的点斜式方程：直线/经过点（4/o）,且斜率为左 y-y0=k（x-x（）2、直线的斜截式方程：已知直线/的斜率为左，且与轴的交点为（0,b）y=kx+b3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点（阳,工2）,巴（2，乃）其中区W2）y-yl/y-y2=x-xl/x-x22、直线的截距式方程：已知直线/与X轴的交点为A（4,0）,与歹轴的交点为B（O,b）,其中q wO/wO3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程Ax+8y+C=0（A,B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L I：3x+4y-2=0 L I：2x+y+2=0解：解方程组3%+4y-2=02x+2y+2=0得 x=-2,y=2所以L 1与L 2的交点坐标为M（-2,2）33.2 两点间距离两点间的距离公式333 点到直线的距离公式=匕=.二1.点到直线距离公式：点P（x0,y0）到直线l:Ax+By+C=0的距离为：d=的+冲。+y/A2+B22、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线4和人的一般式方程为4：Ax+By+C.=0,第-22-页共104页I?Ax+By+C2=0，则 4 与，2 的距离为 d=1 i 2,A2+B2第四章 圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：a-y+o力)2=/2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点,为)与圆(a)?+“力了 二/？的关系的判断方法：(1)(%“y+Oo6)2/，点在圆外(2)(x0-)2+(y0-/)2=r2,点在圆上(3)(%0-b)2/,点在圆内4.1.2圆的一般方程1、圆的一般方程：x2+y2+D x+E y+F=02、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了 圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线/：ax+by+c-0,圆C：x2+y2+D x+E y+F-0,圆的半径为广，圆心(-g,-g)到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下儿点：(1)当d/时，直线/与圆C相离；(2)当d=r时-，直线/与圆C相切；(3)当dr时一,直线/与圆C相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系.设两圆的连心线长为/,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当/(+厂2时，圆G与圆。2相离；(2)当/=1+厂2时，圆G与圆。2外切；(3)当|勺一1/勺+-2时，圆G与圆。2相交；(4)当/=|八-I时，圆G与圆。2内切；(5)当/Z2)之间的距离公式|刃=%2)2+(弘一)2+(21 Z2)：高中数学 必修3知识点 第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好 第-24-页共104页的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示 算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能_/起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不 可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法 中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内。O判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图 形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 鼠框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。B第-25-页共104页2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执 行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就 是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕 后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为 止，此时不再执行A框，离开循环结构。(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。当型循环结构直到型循环结构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件 结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加 变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句(1)输入语句的一般格式INPUT 提示内容”；变量图形计算器 格式INPUT”提示内容”，变量(2)输入语 句的作用是第-26-页共104页实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以 变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变 量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式,PRI NT”提示内容”；表达出-语句的!图形计算器I格式Disp“提示内容”，变量（2）输作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数 据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句i图形计算器!_（1）赋值语句的一般格式变量=表达式格式表达式一变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“=称作赋值号，与数学中的等 号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量 可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解 方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）I FTHENEL SE语句；（2）I FTHEN语句。2、IFTHENELSE 语句I FTHENEL SE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF语句1 语句2图2分析；在I FTHENEL SE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行EL SE后面的语句2。3、IFTHEN 语句IF-THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4oIF 条件THEN语句END IF（图第-27-页共104页（图注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语 句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHI L E型)和直到型(UNTI L型)两种语句结构。即WHI L E语句和UNTI L语句。1、WHILE 语句(1)WHI L E语句的一般格式是WHILE 条件循环体WEND(2)当计算机遇到WHI L E语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHIL E与WEND之间的循 环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合 为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循 环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL 语句(1)UNTI L语句的一般格式是对应的程序框图是DO循环体LOOP UNTIL 条件(2)直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTTL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到L OOP UNTI L语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行 条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：(先由学生讨论再归纳)(1)当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；第-28-页共104页在WHI L E语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTI L语句中，是当条件不满足时执行循环 例题：设计计算Ix 3x 5x.x 99的一个算法.(见课本舄S 1S 1S 1/一 IFor I From 3 To99 St ep 2 FFhil e I 97FFhil e I 99S SxlI 1+2S SxlEnd ForS SxlI 1+2Print SEnd FFhil eEnd Wh il ePrint SPr int SS 1S 1/一1/一 ID oD oS10 0（或者I99）LoopUntil I99Pr int SPrintSS 1S 1/-lOo While I 99（或者I 10 0）D o WhileI97（或者I99）S-Sx lI 1+2I 1+2S-Sx lLoopLoopPr int SPr int S颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出 算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿 纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可 能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望