数列通项求法.docx

求数列通项公式的几种方法
摘要：本文通过几个最新的具体的高考实例分别介绍了高中阶段求数列通项公式的几种不同方法。
1． 观察法
即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。
例1.设，.
（Ⅰ）若，求及数列的通项公式．
解：由题意可知：，
，
.
因此猜想.
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当n＝1时，结论显然成立．
（2）假设当n＝k时结论成立，即，则
，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由（1）、（2）可知，对于一切正整数，都有．
点评：采用数学归纳法证明是理科教学内容，较为容易，好掌握。
2． 定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。
例2.（2015年北京文科）已知等差数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，所以.
又因为，所以，故.
所以 .
（Ⅱ）设等比数列的公比为.
因为，， 所以，.
所以. 由，得.
所以与数列的第63项相等.
点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的定义求出数列的首项与公差或公比，再写出通项公式。
3．公式法
若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。
　 例3.（2015年山东理科）设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）求数列的通项公式。
解：（Ⅰ）由
可得：当时， ，
当时，
而 ，
所以
　 点评：利用公式求解时，要注意对分类讨论，但若能合写时一定要合并。

4．累加法
当递推公式为时，其中的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例4.（2015年江苏）数列满足，且（），则数列的前10项和为
解：由题意得：

所以
所以

所以
5．累乘法
当递推公式为时，其中的积比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例5.已知数列满足，求的通项公式。
　　解：由条件知 ，
在上式中分别令，得个等式累乘之，
即 ， 即
又
6.构造法
（1）当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例6.（2014年新课标全国卷Ⅱ）已知数列满足。
（I）证明是等比数列，并求的通项公式。
解：由 得 又
所以是首项为，公比为的等比数列
所以
因此数列的通项公式为.
（2）当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，其中的值由方程给出。
例7.（2007年天津文科）在数列中，=2，=。
求数列的通项。
解：由 得 又
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以 ，即 .
（3）当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为。①若，则，此时数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。②若，则可化为形式求解。