高中数学易错.doc

高中数学易错、易混、易忘问题备忘录集合与命题1 在应用条件AB=BAB=AAB时，易忽略是空集的情况空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例：（1）已知A =x|x2+tx+1=0，若AR+=，则实数t集合T = _ _。(-2，+) （2）若A=x|x22且AB=，则a的取值范围是 。a42 若AB，则xA是 xB的充分条件；若BA，则xA是 xB的必要条件。A是B的充分非必要条件B是A的必要非充分条件B的充分非必要条件是AA的必要非充分条件是B。例：(1)“x1”是“x0”的一个充分非必要条件是 ； a=1，b=2(3)“a+b0”的一个必要非充分条件是 。 a+b-1(4)命题A：|x-1|3，命题B：(x+2)(x+a)0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是 . (-,-4)3 原命题和逆否命题是等价命题，证明原命题困难时，可证明它的逆否命题。例：命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是 。4 求集合中的元素时, 要注意检验集合中的元素具有互异性。例；设集合A=a2,a+1,-3，B=a-3,2a-1,a2+1，若AB=-3，则由实数a所能取的值所组成的集合是 . -15 注意集合中元素的一般形式例：的区别是什么？函数与方程定义域、值域、解集都要写成集合的形式。6求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则例：(1)函数的单调递增区间是 。(2)函数在区间2,+)上单调递增, 则实数a的取值范围是 . (-4,47 判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称例：(1)若已知f(x)在a,b上为奇函数或偶函数, 则 a+b=0；(2)若f(x)为奇函数且f(0)有意义, 则(0)=0；(3)函数的奇偶性是 . 奇函数(4)判断函数f(x)=(x-1)的奇偶性为_. 非奇非偶函数8 (1)求反函数时，易忽略求反函数的定义域 (2)反函数存在的条件是：自变量和应变量一一对应的函数例：已知函数， f (x)的反函数f1(x)= 。 (3)函数与其反函数之间的一个有用的结论： (4)反函数的运算应符合先反后代入的顺序f-1(x)是f(x)的反函数，f-1(x+1)不是f(x+1)的反函数, 而是先求f(x)的反函数f-1(x)，再将x+1代替f-1(x)中的x得到f-1(x+1).例：已知，若函数g(x)的图像与-1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(3)= .解一：解二：设g(3)=m，则-1(m+1)=3，(3)=m+1，故9一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点；一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点。函数的反函数是唯一的。原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=f-1(x)也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调例如：.例：函数的反函数为. 10*(1)若对一切xD恒有f(a-x)=f(b+x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若对一切xD恒有f(x)+f(2a-x)=2b，则f(x)的图象关于点(a,b)对称.(3)若对一切xR恒有f(a+x)=f(b+x), 则f(x)为周期函数，T=|b-a|.(4)若对一切xR恒有f(x)=-f(x+a)或f(x)=, 则f(x)为周期函数，T=2|a|.(5)若函数同时关于x=a和x=b对称, 则f(x)为周期函数，T=2|b-a|.11会根据函数f(x)的图象，作出函数y=f(-x)，y=-f(x)，y=f(|x|)，y=|f(x)|，y=f(x+a)，y=f(x)+a，y=af(x)(a0)的图象。例：函数的单调递增区间为 . 与 注意表达形式12证明函数的单调性时的规范格式：(取值作差, 判正负) （作商时注意同号,与“1”比较）设x1，x2a，b，x1x2，那么例：已知函数在x1,+)上是单调增函数，求实数a的取值范围. a113奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反. 若函数y=(x)的图像关于直线x=a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.例：若函数y=(x)是定义在区间-3,3上的偶函数，且在-3,0上单调递增，若实数满足(2a-1)0时，分别在上单调递减；当b-ac0，则t2+(m-2)t+5-m=0有两个正根，故(2)函数y=sinx+cosx+sinxcosx+2的最大值是 ,最小值是 .解：令sinx+cosx=t， (注意sinxcosx与sinx+cosx、sinx-cosx之间的关系)20注意变量的隐含条件例：(1) 若x0，y0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为 .(2) 设a、b是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是 .821用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时，易忽略讨论二次项的系数是否为尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略例：函数的定义域为R，则k的取值范围是 。 0,1)22研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.例1：已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是. 例2：若曲线y2=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点，则k,b应当满足的条件是 .k=0,-1b1不等式23两个不等式相乘时,必须注意同向同号时才能相乘，即；同时要注意“同号可倒”即24解指对数不等式应注意指数函数与对数函数的单调性，对数的真数大于零。例：已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集 . 方程log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0的解集为_. 225解含有参数的不等式时，注意分类讨论，讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是例：(1) 解不等式(ax+1)(x+1)0的解集为(-,1)，则不等式的解集为_ . (-1,2)26不等式恒成立和有解问题：(转化为函数的最值问题或利用参数分离转化为函数的最值问题或转化为两函数图象上、下方讨论的问题。)例：(1)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2, 当xR时, f(x)恒为正, 求实数k的取值范围. (2)若不等式x2-logax0在(0, )内恒成立，则实数a的取值范围是 . (3)若不等式(1)na BsinAsinB。在锐角三角形中，sinAcosB，sinBcosA. 注意此时：46解三角形时, 一般要考虑正弦定理、余弦定理、A+B+C=p、三角形面积公式等，实现边化角或角化边。使用正弦定理时易忘比值还等于2R（1）正弦定理：（为三角形ABC的外接圆直径）或写成（2）余弦定理：，或写成（3）三角形ABC面积公式：例：ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为 .47余弦定理鉴定三角形的形状：锐角三角形：a2+b2c2且b2+c2a2且c2+a2b2钝角三角形：a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2057直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断. 求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.例1：已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是（）CA、相离；B、相切；C、相交且不过圆心；D、相交且过圆心.例2：过点P(6，-4)且被圆x2+y2=20截得弦长为6的弦所在直线方程为 。7x+17y+26=0或x+y-2=0例3：过圆外一点P(5，-2)作圆x2+y2-4x-4y=1的切线，则切线方程为 。或x=558椭圆：到两定点F1、F2的距离和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。 若2a=|F1F2|，则轨迹为线段F1F2。双曲线：到两定点F1、F2的距离差的绝对值为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。 若没有绝对值，则为双曲线的一支；若2a=|F1F2|，则为射线。抛物线：到一定点F于一定直线l（点F不在直线l上）的距离相等的点的轨迹。 若点F在直线l上，则轨迹为过点F与l垂直的直线。(圆锥曲线上的点到焦点的距离有关的问题应联想到圆锥曲线的定义.)例：(1)已知点P是椭圆上一点，F1，F2为两焦点，且F1PF2=300求F1PF2的面积. (2)P为圆O内一定点, 动圆C过点P与圆O相切, 则点C的轨迹为 . 椭圆或圆(3)椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且F1BF2 = ，则椭圆的方程是 。+ y 2 = 1或x 2 + = 159椭圆与双曲线中a、b、c的关系例：若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_。(0,1)(1,+ )60直线与圆锥曲线相交的问题（弦长、弦中点、最值、轨迹、对称等），一般解题思路：(1)直线方程与圆锥曲线方程联立、消元、判别式(不可忽略)、韦达定理;(2)设直线与圆锥曲线的交点, 代入圆锥曲线方程, 作差, 得与直线斜率与中点有关的形式, 并判断中点位置。（点差法）例：(1)双曲线过点P(1,1)能否作直线l与双曲线交于A、B两点，使得P点恰为弦AB的中点？ 不存在这样的直线 (2)已知曲线C: 3x2-y2=1与y=mx+1交于A、B两点，若以AB为直径的圆过原点，则m= . 161弦长公式(k为直线AB的斜率)62求轨迹方程的基本方法：直接法、定义法、转移法、参数法等。例：(1)已知DABC中，A(-3,0)、B(3,0)，(I)若DABC的周长为16，则点C的轨迹方程是 ；(II)若|CA|-|CB|=2，则点C的轨迹方程是 。(I) (II)(2)求椭圆x2+2y2=1上任意一点P与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程。(2x-3)2+8y2=1(3)(理)在DABC中，点A(3,0)，边BC的边长为2，且BC在y轴上的区间-3,3上滑动，求DABC外心P的轨迹方程。 y2=6x-8,y-2,263过抛物线焦点的弦的性质：以y2=2px为例，过焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则有|AB|=x1+x2+p=（为AB的倾斜角），y1y2=-p2，x1x2=过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长是2p，是所有过焦点的弦中最短的。 64与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为例：求渐近线为y=2x且经过(-1,4)的双曲线标准方程。 65如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交，只有一个交点此时两个方程联立，消元后为一次方程例：过点(0,1)且与抛物线y2=2x仅有一个交点的直线方程为 。例：若直线y=kx+1与双曲线4x2-y2=1有且只有一个公共点，则k= 。 66（理）参数方程化为普通方程要注意变量的取值范围例：(1) 将参数方程(q为参数)化为普通方程为 .x2-2y=1()(2) 曲线与直线y=2x的交点坐标为 .67（理）对极坐标的处理方式：根据极坐标的定义或化为直角坐标。极坐标上的点A(r,q)化为直角坐标系上的坐标为(rcosq,rsinq)，其实质就是三角函数的定义。会写圆的极坐标方程和直线的极坐标方程。例：(1)圆的圆心的极坐标为 . (2)已知点，则DAOB的面积为 . 368. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出与相交，即已知过的中点；（2）给出，即已知是的中点；（3）给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数，即已知三点共线.（4）给出，即已知，即是直角；给出，即已知是钝角或1800角；给出，即已知是锐角或是00角；（5）给出,即已知是的平分线；（6）在平行四边形ABCD中，给出，即已知ABCD是菱形；（7）在平行四边形ABCD中，给出，即已知ABCD是矩形；（8）在DABC中，给出，即已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（9）在DABC中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（10）在DABC中，给出，即已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（11）在DABC中，给出即已知通过DABC的内心；立体几何 69两条异面直线所成的角的范围：0a90 直线与平面所成的角的范围：0oa90二面角的平面角的取值范围：0a18070（理）用向量方法解立体几何问题（1）两异面直线AB与CD的所成角q满足；（2）直线PA与平面a的所成角q满足是平面a的法向量）；（3）两平面a和b所成的二面角q满足|cosq|=(分别为平面a、b的法向量，cosq的正负有观察图形后得出的二面角的大小确定)；（4）点P到平面a的距离是平面a的法向量，A点平面a上一点）；（5）证明PA平面a(是平面a内的两相交向量)；（6）证明PA/平面a(是平面a的法向量)。71棱柱的定义与分类，平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，对角线长为l，则l=a2+b2+c2.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为a,b,g，则cos2a+cos2b+cos2g=1；（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为a,b,g，则cos2a+cos2b+cos2g=2.72. 棱锥与正棱锥的定义侧棱长相等侧棱与底面所成角相等顶点在底面上的射影为底面的外心；顶点到底面各边的距离相等侧面与底面所成角相等顶点在底面的射影为底面的内心；侧棱两两垂直对棱垂直顶点在底面上的射影是底面的垂心；73圆锥的侧面展开图示扇形，母线长是扇形的半径R，扇形的弧长是底面圆的周长2pr，由弧长公式得2pr=aR(a是扇形的圆心角)，扇形的面积prR，圆锥的体积V=.74. 柱体体积sh，椎体体积；求三棱锥的体积时，可以考虑换底。球的体积，球的表面积4pr2；A、B两点的球面距离：通过该两点的大圆劣弧（最短）。算法：(1)计算线段AB的长；(2)计算球心角AOB；(3)弧长公式求弧AB的长。排列组合、二项式定理 75排列数公式：；组合数公式：组合数性质： 76二项式展开式的通项公式： （它是第r+1项而不是第项）77F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1)；奇数项系数和为；偶数项的系数和为。78二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为. 二项式系数和为2n，令变量为1，得系数和。79二项式系数的最大项与展开式中系数最大项易混二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为：用解不等式组来确定80解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.例：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数。=复数81复数问题实数化时，设复数z=a+bi，不要忘记条件a,bR. 两复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,dR)，z1=z2的条件是a=c,b=d. 这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.复数是实数的条件：z=a+biRb=0 (a,bR); zRz=; zRz20;82|z1-z2|的几何意义是复平面上z1,z2对应点之间的距离，|z-z0|=r的几何意义是复平面上以z0对应点为圆心，r为半径的圆.例: 若|z|=1, 求|z+3i|的取值范围. 2,483z=a+bi是纯虚数a=0,b0(a,bR); z是纯虚数z0(z0); z是纯虚z21,bN，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的14题，选择题中的18题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难. 祝同学们考试成功！18