高中数学易错.doc

高中数学易错、易混、易忘问题备忘录

集合与命题
1． 在应用条件AÈB=BÛA∩B=AÛAÍB时，易忽略Ａ是空集Æ的情况．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
例：（1）已知A ={x|x2+tx+1=0}，若A∩R+=Æ，则实数t集合T = __ _。(-2，+¥)
（2）若A={x|x22}且AÇB=Æ，则a的取值范围是 。a£4
2． 若AB，则xA是 xB的充分条件；若BA，则xA是 xB的必要条件。
A是B的充分非必要条件ÛB是A的必要非充分条件
ÛB的充分非必要条件是AÛA的必要非充分条件是B。
例：(1)“x<1”是“x<-1”的 条件； 必要非充分
(2)“a+b>0”的一个充分非必要条件是 ； a=1，b=2
(3)“a+b>0”的一个必要非充分条件是 。 a+b>-1
(4)命题A：|x-1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分不必要条件，则a的
取值范围是 . (-¥,-4)
3． 原命题和逆否命题是等价命题，证明原命题困难时，可证明它的逆否命题。
例：命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿ 。
4． 求集合中的元素时, 要注意检验集合中的元素具有互异性。
例；设集合A={a2,a+1,-3}，B={a-3,2a-1,a2+1}，若AÇB={-3}，则由实数a所能取的值所组成的集合是 . {-1}
5． 注意集合中元素的一般形式
例：的区别是什么？

函数与方程
定义域、值域、解集都要写成集合的形式。
6．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．
例：(1)函数的单调递增区间是 。
(2)函数在区间[2,+¥)上单调递增, 则实数a的取值范围
是 . (-4,4]
7． 判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．
例：(1)若已知f(x)在[a,b]上为奇函数或偶函数, 则 a+b=0；
(2)若f(x)为奇函数且f(0)有意义, 则¦(0)=0；
(3)函数的奇偶性是 . 奇函数
(4)判断函数f(x)=(x-1)的奇偶性为_________________. 非奇非偶函数
8． (1)求反函数时，易忽略求反函数的定义域．
(2)反函数存在的条件是：自变量和应变量一一对应的函数
例：已知函数， f (x)的反函数f－1(x)= 。

(3)函数与其反函数之间的一个有用的结论：
(4)反函数的运算应符合先反后代入的顺序
f-1(x)是f(x)的反函数，f-1(x+1)不是f(x+1)的反函数, 而是先求f(x)的反函数f-1(x)，再将
x+1代替f-1(x)中的x得到f-1(x+1).
例：已知，若函数g(x)的图像与¦-1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则
g(3)= .
解一：
解二：设g(3)=m，则¦-1(m+1)=3，\¦(3)=m+1，故
9．一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点；一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点。函数的反函数是唯一的。
原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=f-1(x)也单调递增；
但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：.
例：函数的反函数为＿＿＿＿＿.

10*．(1)若对一切xÎD恒有f(a-x)=f(b+x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若对一切xÎD恒有f(x)+f(2a-x)=2b，则f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(3)若对一切xÎR恒有f(a+x)=f(b+x), 则f(x)为周期函数，T=|b-a|.
(4)若对一切xÎR恒有f(x)=-f(x+a)或f(x)=, 则f(x)为周期函数，T=2|a|
(5)若函数同时关于x=a和x=b对称, 则f(x)为周期函数，T=2|b-a|.
11．会根据函数f(x)的图象，作出函数
y=f(-x)，y=-f(x)，y=f(|x|)，y=|f(x)|，y=f(x+a)，y=f(x)+a，y=af(x)(a¹0)的图象。
例：函数的单调递增区间为＿＿ ＿＿. 与
注意表达形式
12．证明函数的单调性时的规范格式：(取值作差, 判正负) （作商时注意同号,与“1”比较）
设x1，x2Î[a，b]，x1¹x2，那么

例：已知函数在xÎ[1,+¥)上是单调增函数，求实数a的取值范围.
a³1
13．奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反. 若函数y=¦(x)的图像关于直线x=a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.
例：若函数y=¦(x)是定义在区间[-3,3]上的偶函数，且在[-3,0]上单调递增，若实数满足
¦(2a-1)<¦(a2)，求a的取值范围.
14．用均值定理求最值(或值域)时，易忽略验证“一正二定三相等”这一条件．
常用不等式：

16．函数在(-¥,0)和(0，+¥)上分别单调递增。
17．函数
当b-ac>0时，分别在上单调递减；
当b-ac<0时，分别在上单调递增。
18．二次函数在某一区间上的最值要讨论对称轴与区间端点的位置关系。
例：求函数f(x)=x2+ax+2在xÎ[2,4]上的最值.

19．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
例：(1)关于x的方程4x+(m-2)×2x+5-m=0有两个不同的实根, 求实数m的取值范围。
解：令2x=t>0，则t2+(m-2)t+5-m=0有两个正根，故
(2)函数y=sinx+cosx+sinxcosx+2的最大值是 ,最小值是 .
解：令sinx+cosx=tÎ，
(注意sinxcosx与sinx+cosx、sinx-cosx之间的关系)
20．注意变量的隐含条件
例：(1) 若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为 .
(2) 设a、b是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是 .8
21．用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．
尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略．
例：函数的定义域为R，则k的取值范围是 。 [0,1)
22．研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.
例1：已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
例2：若曲线y2=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点，则k,b应当满足的条件是 .
k=0,-1与对数函数的单调性，对数的真数大于零。
例：已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集 .
方程log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0的解集为___________________. {2}
25．解含有参数的不等式时，注意分类讨论，讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．
例：(1) 解不等式(ax+1)(x+1)<0(aÎR).

(2) 若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-¥,1)，则不等式的解集
为__________ . (-1,2)
26．不等式恒成立和有解问题：
(转化为函数的最值问题或利用参数分离转化为函数的最值问题或转化为两函数图象上、下方讨论的问题。)

例：(1)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2, 当xÎR时, f(x)恒为正, 求实数k的取值范围.
(2)若不等式x2-logax<0在(0, )内恒成立，则实数a的取值范围是 .
(3)若不等式(－1)na < 2 +对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围
是 .

数列
27．等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(nÎN)是关于n的一次函数或常数函数.

Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值或者求出{an}中的正、负分界项，即

例：若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是＿2006＿；（2）使前项和的最大自然数 4012 。
28．等差中项和等比中项
例：x=是a、x、b成等比数列的（ ）D
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
29. 等差数列与等比数列的特征
例：已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(aÎR，a¹0),则数列{an}（ ）C
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
30．如下两个极限的条件易记混：

用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ=１的情况．

31．对等差、等比数列的一般计算问题，均可通过设出基本量，列方程组求解，但如果注意了性质运用，可简化运算。
32．等差数列与等比数列之间的类比：（注意方法的类比）
已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn；等比数列{bn}，公比为q，前n项积为Tn。
等差数列
等比数列

（倒序求和）
（倒序求积）

33．已知Sn求an时, 易忽略n=１的情况．（注意：一分为二，合二为一）

例：数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n-1，则a1+a3+a5+…+a25= 。 350
34．递推公式的几种类型：

35．求和的几种方法：分组求和（同种类型的组合在一起求和）、裂项求和（如）、倒序求和、
*错位相减（若cn=anbn，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求{cn}的前n项的和）

36．数列中的最大项和最小项：

37．在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项。
例：某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出b万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b的最大值.
,
,
，则，求得：.
即的最大值大约为8%.
38．特殊数列的极限

例：求的值。
当时，原式；当时，原式.
39、理解极限是“无限运动的归宿”.
例：已知△ABC的顶点分别是，记△ABC的外接圆面积为，则＿＿＿＿＿. 4p

三角
40．三角化简的通性通法（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
例：设=tan成立，则q的取值范围是 .

注意：sina+cosa，sina-cosa，sinacosa，sin3a+cos3a，sin4a+cos4a之间的关系。
例：已知sinq + cosq = ，qÎ (0,p)，则cotq = _______。 （符号确定）
41．有用的公式
(1)升（降）幂公式：、、；
(2)辅助角公式：（由具体的值确定）；
(3)正切公式的变形：.
(4)
（这些统称为1的代换，常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．）

例：已知函数f(x)=2cos()－的最小正周期为p，则k的值是___________. ±8
42．弧度制下弧长公式和扇形面积公式：）
43．反三角函数

y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
R
值域

[0，p]

奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
单调递增
单调递减
单调递增
44．图象的平移，注意图象左右平移是针对x而言的。

45．在△ABC中，A>BÛsinA>sinB。
在锐角三角形中，sinA>cosB，sinB>cosA. 注意此时：
46．解三角形时, 一般要考虑正弦定理、余弦定理、A+B+C=p、三角形面积公式等，实现边化角或角化边。使用正弦定理时易忘比值还等于2R．
（1）正弦定理：（为三角形ABC的外接圆直径）或写成
（2）余弦定理：，或写成
（3）三角形ABC面积公式：
例：△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为 .
47．余弦定理鉴定三角形的形状：
锐角三角形：a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2
钝角三角形：a2+b2
DABC，AD是ÐBAC的角平分线，则

向量
48．
；
，但不能推；

例：已知非零向量满足：，则向量的关系是（　　）B
A、平行；　　　　　　B、垂直；　　　　　　C、同向；　　　　　　D、反向.
49.
例：设O是直角坐标原点，，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小。
50．非零向量的单位向量
例：和平行的单位向量是_______；和垂直的单位向量是_______.

51．数量积的几何意义：等于方向上的射影的乘积。
两向量的夹角（注意始点重合）

52．和是平面一组基底，则该平面任一向量(唯一)
特别：. ＝，则是三点P、A、B共线的充要条件.
如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C满足
,其中且，则点C的轨迹是_______
（直线AB）
53．按向量方向平移
例：函数y=sin2x的图象按向量平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则＝________（答：）
54．利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是.特别注意不能等同于所成角是锐角。当同向时也满足.
例：是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（　　）C
A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　C、钝角三角形；　　D、不确定与P值有关.

解析几何
55．过点(x0,y0)，方向向量为(u,v)的直线点方向式方程；
过点(x0,y0)，法向量为(a,b)的直线点法向式方程a(x-x0)+b(y-y0)=0；
过点(x0,y0)，斜率为k的直线方程y-y0=k(x-x0)
涉及直线斜率的问题，注意斜率不存在的情况。
56．两直线两直线：l1：A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0 l1⊥l2A1A2+B1B2=0
两直线的夹角cosq=
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离，
两平行直线l1: Ax+By+C1=0与l2: Ax+By+C2=0之间的距离
若点A(x1,y1)，B(x2y2)在直线l: Ax+By+C=0的同侧，则(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0
57．直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.
求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.
例1：已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是
（　　）C
A、相离；　　　B、相切；　　　C、相交且不过圆心；　　　D、相交且过圆心.
例2：过点P(6，-4)且被圆x2+y2=20截得弦长为6的弦所在直线方程为 。
7x+17y+26=0或x+y-2=0
例3：过圆外一点P(5，-2)作圆x2+y2-4x-4y=1的切线，则切线方程为 。
或x=5
58．椭圆：到两定点F1、F2的距离和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹。
若2a=|F1F2|，则轨迹为线段F1F2。
双曲线：到两定点F1、F2的距离差的绝对值为定值2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹。
若没有绝对值，则为双曲线的一支；若2a=|F1F2|，则为射线。
抛物线：到一定点F于一定直线l（点F不在直线l上）的距离相等的点的轨迹。
若点F在直线l上，则轨迹为过点F与l垂直的直线。
(圆锥曲线上的点到焦点的距离有关的问题应联想到圆锥曲线的定义)
例：(1)已知点P是椭圆上一点，F1，F2为两焦点，且∠F1PF2=300．
求△F1PF2的面积.
(2)P为圆O内一定点, 动圆C过点P与圆O相切, 则点C的轨迹为 . 椭圆或圆
(3)椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组
成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是 。
+ y 2 = 1或x 2 + = 1
59．椭圆与双曲线中a、b、c的关系
例：若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0,1)È(1,+ ¥)
60．直线与圆锥曲线相交的问题（弦长、弦中点、最值、轨迹、对称等），一般解题思路：
(1)直线方程与圆锥曲线方程联立、消元、判别式(不可忽略)、韦达定理;
(2)设直线与圆锥曲线的交点, 代入圆锥曲线方程, 作差, 得与直线斜率与中点有关的形式, 并判断中点位置。（点差法）
例：(1)双曲线过点P(1,1)能否作直线l与双曲线交于A、B两点，使得P点恰为弦AB的中点？ 不存在这样的直线
(2)已知曲线C: 3x2-y2=1与y=mx+1交于A、B两点，若以AB为直径的圆过原点，则m= . ±1
61．弦长公式(k为直线AB的斜率)
62．求轨迹方程的基本方法：直接法、定义法、转移法、参数法等。
例：(1)已知DABC中，A(-3,0)、B(3,0)，(I)若DABC的周长为16，则点C的轨迹方程是 ；(II)若|CA|-|CB|=2，则点C的轨迹方程是 。
(I) (II)
(2)求椭圆x2+2y2=1上任意一点P与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程。
(2x-3)2+8y2=1
(3)(理)在DABC中，点A(3,0)，边BC的边长为2，且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动，求DABC外心P的轨迹方程。 y2=6x-8,yÎ[-2,2]
63．过抛物线焦点的弦的性质：以y2=2px为例，过焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1)，
B(x2,y2)两点，则有|AB|=x1+x2+p=（θ为AB的倾斜角），y1×y2=-p2，x1×x2=
过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长是2p，是所有过焦点的
弦中最短的。
64．与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为
例：求渐近线为y=±2x且经过(-1,4)的双曲线标准方程。
65．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交，只有一个交点．此时两个方程联立，消元后为一次方程．
例：过点(0,1)且与抛物线y2=2x仅有一个交点的直线方程为 。

例：若直线y=kx+1与双曲线4x2-y2=1有且只有一个公共点，则k= 。
66．（理）参数方程化为普通方程要注意变量的取值范围
例：(1) 将参数方程(q为参数)化为普通方程为 .
x2-2y=1()
(2) 曲线与直线y=2x的交点坐标为 .

67．（理）对极坐标的处理方式：根据极坐标的定义或化为直角坐标。极坐标上的点A(r,q)
化为直角坐标系上的坐标为(rcosq,rsinq)，其实质就是三角函数的定义。
会写圆的极坐标方程和直线的极坐标方程。
例：(1)圆的圆心的极坐标为 .
(2)已知点，则DAOB的面积为 . 3
68. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出与相交，即已知过的中点；
（2）给出，即已知是的中点；
（3）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，即已知三点共线.
（4）给出，即已知，即是直角；
给出，即已知是钝角或1800角；
给出，即已知是锐角或是00角；
（5）给出,即已知是的平分线；
（6）在平行四边形ABCD中，给出，即已知ABCD是菱形；
（7）在平行四边形ABCD中，给出，即已知ABCD
是矩形；

（8）在DABC中，给出，即已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（9）在DABC中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（10）在DABC中，给出，即已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（11）在DABC中，给出即已知通过DABC的内心；

立体几何
69．两条异面直线所成的角的范围：0°直线PA与平面a的所成角q满足是平面a的法向量）；
（3）两平面a和b所成的二面角q满足|cosq|=(分别为平面a、b的法向量，cosq的正负有观察图形后得出的二面角的大小确定)；
（4）点P到平面a的距离是平面a的法向量，A点平面a上一点）；
（5）证明PA^平面aÛ(是平面a内的两相交向量)；
（6）证明PA//平面aÛ(是平面a的法向量)。
71．棱柱的定义与分类，平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，对角线长为l，则l=a2+b2+c2.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为a,b,g，则cos2a+cos2b+cos2g=1；
（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为a,b,g，则cos2a+cos2b+cos2g=2.
72. 棱锥与正棱锥的定义
侧棱长相等Û侧棱与底面所成角相等Û顶点在底面上的射影为底面的外心；
顶点到底面各边的距离相等Û侧面与底面所成角相等Û顶点在底面的射影为底面的内心；
侧棱两两垂直Û对棱垂直Û顶点在底面上的射影是底面的垂心；
73．圆锥的侧面展开图示扇形，母线长是扇形的半径R，扇形的弧长是底面圆的周长2pr，
由弧长公式得2pr=aR(a是扇形的圆心角)，扇形的面积prR，圆锥的体积
V=.
74. 柱体体积sh，椎体体积；求三棱锥的体积时，可以考虑换底。
球的体积，球的表面积4pr2；
A、B两点的球面距离：通过该两点的大圆劣弧（最短）。
算法：(1)计算线段AB的长；(2)计算球心角ÐAOB；(3)弧长公式求弧AB的长。

排列组合、二项式定理
75．排列数公式：；组合数公式：
组合数性质：
76．二项式展开式的通项公式： （它是第r+1项而不是第ｒ项）．

77．F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1)；奇数项系数和为；
偶数项的系数和为。
78．二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为.
二项式系数和为2n，令变量为1，得系数和。
79．二项式系数的最大项与展开式中系数最大项易混．二项式系数最大项为中间一项或两项；
展开式中系数最大项的求法为：用解不等式组来确定ｒ．
80．解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.
例：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数。=

复数
81．复数问题实数化时，设复数z=a+bi，不要忘记条件a,bÎR. 两复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,dÎR)，z1=z2的条件是a=c,b=d. 这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.
复数是实数的条件：z=a+bi∈RÛb=0 (a,b∈R); z∈RÛz=; z∈RÛz2≥0;
82．z1-z2|的几何意义是复平面上z1,z2对应点之间的距离，|z-z0|=r的几何意义是复平面上以z0对应点为圆心，r为半径的圆.
例: 若|z|=1, 求|z+3i|的取值范围. [2,4]
83．z=a+bi是纯虚数Ûa=0,b≠0(a,b∈R); z是纯虚数Ûz＋＝0(z≠0); z是纯虚Ûz2<0
例：设复数满足：（1）（2），求复数.
84．为了快速、准确地进行复数运算，请记住几个重要的结论：

85. 实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.
例：若方程x2+bx+2=0(bÎR)的两根a,b满足|a-b|=2，求实数b的值. 或

概率与统计

86．随机事件的概率0£P(A)£1，其中当P(A)=1时称为必然事件；当P(A)=0时称为不可能事件P(A)=0；
87．等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=;
例： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④）
88．(理)互斥事件(不可能同时发生的)：P(AÈB)=P(A)+P(B);
如：有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；
89．(理)对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P()＝1；独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(AB)=P(A)·P(B);独立事件P(AÈB)=p(A)+P(B)-P(AÇB)
如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；
90．总体、个体、样本、样本容量
总体的中位数：把各个个体由小到大的顺序排列，当有奇数个时，正中位置的数叫做总体的中位数，当有偶数个时，正中位置的两个数的平均数叫做总体的中位数。
众数：出现次数最多的数。
91．抽样方法
①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). ③系统抽样. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等。如某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）；
92．如果样本为x1、x1、…、xn，样本的容量为n，那么可以用样本的平均值
作为总体均值的点估计值；用样本的标准差
作为总体标准差的点估计值。
93．随机变量x的分布列
x
x1
x2
…
xn
P
P1
P2
…
Pn
Pn³0，P1+P2+…+Pn=1
随机变量x期望值(均值)Ex=x1p1+x2p2+…+xnpn；
方差Dx=(x1-Ex)2P1+(x2-Ex)2P2+…+(xn-Ex)2Pn；
94．方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，方差越大，说明这组数据的波动越大。
若的平均数为，方差为，则的平均数
为，方差为。
例：已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B）
95．会计算二阶和三阶行列式的值，会求三阶行列式的某个元素的余子式和代数余子式。
文科的线性规划和三视图
96．解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.
97．“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含有x2+y2（曲线上的点到原点的距离的平方）、（曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理.
98．“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解.
99．解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.
100、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（a>1,bÎN…，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.

高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的14题，选择题中的18题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.

祝同学们考试成功！

18