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追寻简约化的数学教学
主讲：王秀英
2008.4
“认识分数（2）”是国标本苏教版三年级下册的教学内容。该内容是从原来大纲版教材五年级下移到中年级的，这次下移，一方面摒弃了那种纯理性化的对分数意义的机械解释，着重通过具体的情景或对照具体的图示来产生分数，理解每个分数表示的具体含义；另一方面增加了在整数知识的背景中学习“求一个数量的几分之几是多少”，并安排在第二课时教学。但是，本内容起始课教学的重点还是落在“让学生知道把一些物体看成一个整体平均分成若干份，每份也可以用几分之一来表示”——也就是对整体“1”的拓展。
印象中，近几年来观摩高年级“分数的意义”的课堂教学也有10多次了，但大部分观摩课总是会在单位“1”的拓展、分数的意义表述上纠缠很多时间，从上课到下课，师生总是在紧张的气氛中忙乎不停，教学效果却很一般，致使“分数的意义”成为一个公认的教学难题。配合苏教版新教材编排思路，我们围绕“简约”做文章，进行了创意教学。
师：同学们都知道猴子爱吃水果吧。猴妈妈给四只猴宝宝带回了两盒苹果，一只小猴已经迫不及待地打开了一个盒子。瞧，是什么呀？（如图）
生：1个苹果。
师：是啊，只有1个苹果。猴妈妈要把1个苹果分给4只小猴吃，怎样分才公平呢？
生：把这个苹果分成4份。
师：（做切的动作）就这样“嚓！嚓！嚓！”随便分成四份吗？
生：要把这个苹果平均分成4份。（板书：平均分）
师：（显示将1个苹果分成4等份的图）是这样分吗？
生：是的。
师：分成的四份同样多，就是把这个苹果“平均分”成4份。那每只小猴可以分到多少苹果呢？
生1：其中的一小块。
生2：一个苹果的1/4。
师：你们怎么想到 这个数的？（教师板书 ）
生：一个苹果平均分成4份，每只小猴分到4份中的1份，所以就是1/4 。
师：是啊，每只小猴分到4等份中的1份，我们就用1/4来表示。（板书： ）
师：第一盒苹果分完了，猴妈妈要开始分第二盒苹果了，为了分得公平，她也会怎么分呢？
生1：把1个苹果平均分给4只小猴。
师：你能肯定第二盒里也是1个苹果吗？（学生都摇摇头，有些疑惑）
生2：不一定，也可能是2个。
师：如果是2个的话，那就——
生2：如果是2个的话，那就一只猴吃半个。
生3：也可能是4个苹果，那就一只猴正好吃1个。
生4：还可能是8个，或者更多。
师：是啊，盒子没有打开，怎么知道盒里有几个苹果呢。但是，不管盒子里有多少个苹果，为了分得公平，你觉得猴妈妈都会怎样？
生：都会平均分成四份，每只猴子吃其中的一份。
师：既然也要将这盒苹果平均分成四份，每只小猴可以分得这4份中的——（生：1份）那这一份是这盒苹果的——？
生：这盒苹果的1/4 。
师：好，盒子里到底是几个苹果呢，那就让我们眼见为实吧！（打开盒子，里面是8个苹果）现在有几个苹果呢？
生：8个。
师：（对比指着1个苹果图）比刚才的苹果数——（生：多了！）
师：对，增加了好多。那现在你能将这8苹果平均分成4份吗？
（老师让学生到前面对着8个苹果图演示自己的分法，并在图中划出相应的分割虚线。）
师：同学们这样分了后，是将这些苹果平均分成4份了吗？那每个小猴可以得到几份呢？（1份）我们也可以说，每只小猴分得这些苹果的——
生：1/4 。（学生回答时，老师有意指到已有板书 中的两个“份”字。）
师：（显示分1个苹果和分8个苹果的图示）咦，刚才两次分苹果，每个小猴都是分到苹果的1/4 。这两个 到底有什么不一样呢？
生1：第一个1/4 是分的一个苹果的，第二个1/4是分的8个苹果 。
生2：一个苹果的1/4 ，只有一小块儿；而8个苹果的1/4 是2个苹果。
师：同学们的眼睛真是厉害，看到了这两次分的总数不一样。那么总数不一样，为什么每个小猴吃的苹果又都可以用1/4 来比表示呢？
生：这两次都是平均分成四份，每个小猴吃的都是其中的一份。
师：老师这儿还有一盒苹果，数数有几个?
生：有12个。
师：（对比指着8个苹果图）比刚才的苹果总数又——
生：多了！
师：是啊，苹果总数变得更多了。如果我们还想表示这盒苹果的1/4 ，想一想，你能试着分一分，再表示出来吗？（学生完成后，电脑显示虚线平均分4份的过程）。
师：现在你能一眼就看出哪儿是这盒苹果的1/4 吗？
（电脑将三次分苹果图同时显示）
师：我们第三次分苹果，还是出现了同一个分数——（1/4 ）
师：这个 跟刚才的两个1/4 有什么不同吗？
生：这会儿的1/4 表示的是12个苹果的1/4 了。
师：苹果个数不一样了，为什么这时还可以用1/4 来表示呢？
生：虽然现在是12个苹果，但是也是将它们平均分成了4分，表示其中的一份，所以同样可以用1/4 来表示。
师：（老师有意指着图形和一开始板书的“4份”“1份”）看来不管是一个苹果，还是一些苹果，只要将它们平均分成4份，其中的1份都可以用——（1/4 ）来表示。只是这些 代表了不同数量的1/4 。
对这节课，老师们普遍感到清晰、流畅、简洁、明快，很有新意。回顾本节课的教学思路和课堂运行情况，对于如何创建简约化的数学课堂教学，我们得到了一些启示。
启示之一：扣紧“主线”。
有人说好的数学课堂就像演绎一首优美的歌，要唱响主旋律；犹如开掘一弯清清的泉，要奔向主渠道。其意一方面表达了对数学课堂的诗意追求，另一方面也暗含了数学课堂教学应该是整体的、结构的、层递的、流动的。
“牵一发而动全身”。细想起来，我们每堂数学课的知识教学任务相对而言，还是比较少或者说是比较单一的，重要的是我们要拎清“主线”。所谓“主线”，也就是教学的重点和主干脉络，三角形面积计算学习时的“转化”思路、旋转和平移的“运动特征”等均属于此，它是课堂教学的“魂”，是课堂教学有序有效的根基。在上例教学中，我们始终将分数意义的核心本质“总数量平均分成了几份——分母；表示其中的几份——分子”贯穿于学习的始终，作为全课学习的知识“主线”。无论是从分1个苹果的旧知开始，还是到分8个苹果、12个苹果的跳跃，最后到24个孙悟空、56个孙悟空的挑战练习和12个方块的自创尝试，始终抓住这一“主线”展开，层层推进，环环相扣。“提领而顿,百毛皆顺”，数学课堂教学要走向简约，有一条清晰的“线路”是前提和保证。“主线”明了，确定教学目标、安排教学环节、取舍教学内容、考虑教学进程、有效组织教学时就有了根本出发点和终极指向，课堂教学的结构和层次就容易清晰起来；“主线”扣紧了，起转承接、轻重缓急就能落在实处，课堂教学的动感和韵律也就自然而然显现出来。
启示之二：经济用“材”。
数学课堂教学的散乱、繁杂，有些是因为教具、学具、媒体等教学辅助工具的大量、不恰当的使用，挤耗了有限的课堂教学时间；有些是对教学内容的把握不到火候，偏离重点和核心，做了不少无用功；但占多数的，恐怕还是对教学素材的取用显得不够经济和精炼。
我们曾对多位数学名师的多节经典课进行过统计，发现60％以上的课堂教学的素材用量（或者说是“题量”）均比较少。但是，他们凭借对较少素材的灵活变化和高效使用，创造出了生动、精彩、充满张力和活力的课堂。华应龙老师一把剪刀一张纸条出神入化教学“莫比乌斯带”，一题三变深入浅出演绎“孙子定理”，黄爱华老师以“俄罗斯方块”、“平移接力”两个游戏就串起“平移”教学，这些都是堪称经典的例证。本课教学，我们也力图体现教学素材的精简妙用。课始三次“分苹果”，就基本完成了主体新授教学。在一“变”（总数量）和三“不变”（平均分的份数“4”、表示的份数“1”、使用的分数“四分之一”）的对比和概括中，把教学引向了深刻。巩固环节的后半段，我们也曾设想在三幅圆片图的基础上，继续变化圆片数量进行对比练习。但考虑到三年级学生的学习要有一定的趣味性，就改为孙悟空的“变身”练习。事实上，异曲同工，效果甚佳。而最后的12个方块自创分数，虽然上文没有将教学场景展示，但也是精彩纷呈，充分地展示了学生的学习效果。事实表明，课堂教学中精选素材，巧用素材，努力做到一“材”多用，一“材”多变，一“材”多效，不仅可以去除臃肿，走向凝炼，去除繁琐，走向精干，还出更多的时间给师生对话和动态生成，而且相同的情境（题境、语境）既保证了教学的连贯性和课堂的流畅性，又减少无关因素的干扰，凸显研究主题，包含其中的不仅仅是教学技术，更是教学艺术。这，应该成为简约化数学课堂的成功实施的有效策略。
启示之三：调控有“效”。
数学课堂的简约化，必然对教师的教学组织和控制能力提出了高要求。没有深度的思考和全面的把握就不可能形成简捷完美的教学预案；而再完美的教学预案，如果没有教师有效的调适、智慧的引领，课堂实施也只能会变得像一盘散沙，不可能实现有效的教学。
本节研究课的备课中，我们在反复讨论和思考后，果断放弃了教材中的例题在新授阶段的的使用（见右图）。主要觉得，将“4个苹果平均分成4份，每只小猴分得1份”这样的题材中，因为苹果的个数与分得份数正好巧合，容易使学生将注意力转移到对苹果个数的关注中，忽略对“平均分的份数”、“表示的份数”的把握，形成“用分数表示就是数物品个数”的局限思维。因此，我们的教学在分好“1个苹果”后，就进入到分“8个苹果”的情景，紧紧抓住“4份”“1份”来展开，避免了数目上的巧合，突出了认识分数的本质。但是作为一种特例，在最后12个方块自创分数的教学中，教者进行适时点拨，将显得用力得当，恰到好处。
在教学过程中，教师的教学语言也应起到很好的调控作用，对此，湖南师大石欧教授就精辟指出：“语言之外无教学”。上述课中，在分完1个苹果准备分第二盒苹果时，教者提问：“为了分得公平，她也会怎么分呢？”一个“也”字，暗示了“平均分”“平均分成4份”“一只小猴1份”等不变思路。在大家初步形成一致意见后，老师的总结提示语是：“看来不管盒子里有多少个苹果，猴妈妈都会怎样？”，在猜想和合理的推演中，为突出教学重点、突破教学难点做了有效的孕伏和铺垫。
有专家也从名师的课堂教学分析出，从“冰冷的美丽”到“火热的思考”，离不开教师精心的教学设计和充满智慧的课堂组织与控制，否则不可能实现有效的教学。当我们从简约教学的视角为数学课堂教学做好了一切准备开始教学时，当我们课后反思自己的课堂表现时，我们还必须问一问自己，我的课堂组织有法、有序、恰当吗？我的教学调控有力、有效、适度吗？唯有当“课堂组织与调控能力达到至纯、至真、至善、至美的境地”，我们才能最终实现简约化数学课堂教学的完美超越。
启示之四：彰显“本色”。
数学课堂教学走向简约，要求教师要学会做减法。这种减法，并不是简单地对教学素材、教学环节进行机械割舍，而是要艺术地进行整合、提炼，合理去除那些多余的环节、无效的程序。值得一提的是，我们在做减法的过程中，有些是坚决不能减掉的，相反，还需要进一步加以确认和强化。比如，数学教学中应该贯彻落实的新课程理念，数学课堂所负载的引领学生逐步学会数学思考、培养学生数学的眼光、发展学生热爱数学的情感的学科本质，等等，都应该得到很好的体现。没有了这些，再简约的数学课堂也没有任何的存在价值和意义。正因为此，可以说简约化的数学课堂教学是一个复杂而又高难度的研究话题，创建简约化的课堂教学是数学教学研究的崇高追求。“认识分数2”的教学中，我们同样创设了有趣的问题情境，很好地将猜想验证、比较概括、操作探究等学习方式进行了渗透和应用，寓丰富与简单之中，印证着“简约而不简单”。如果说扣紧 “主线”、经济用“材”、调控有“效”较多指向数学课堂教学的操作层面，那么，彰显“本色”则更多地指向数学课堂教学的核心本质，指向数学学科的培养目标。二者相辅相成，互动共生，缺一不可。

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