八大C级考点强化七：直线与圆.doc

2011届高三强化班数学三轮复习教学案：
八大C级考点强化七：直线与圆
一、基础巩固训练
1、当为任意时，若直线恒过定点，则以为圆心并且与
相切的圆的方程是 .
2、在中，已知角所对的边依次为，且，则两直线的位置关系是 .重合
3、若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为 .
4、直线与圆交于两点，为坐标原点，若，则的值为 .
5、直线与圆相交于两点，，则的取值范围是 .
6、已知圆，圆与轴交于两点，过点的圆的切线为是圆上异于的一点，垂直于轴，垂足为是的中点，延长分别交于.
（1）若点，求以为直径的圆的方程，并判断是否在圆上；

（2）当在圆上运动时，证明：直线恒与圆相切.
解：（1）由直线的方程为
. 令，得.
由直线的方程为，
令，得.
为线段的中点，以为直径的圆恰以为圆心，半径等于. 所以，所求圆的方程为，且在圆上.
(2)证明：设，则，直线的方程为，在此方程中令，得.直线的斜率，
若，则此时与轴垂直，即；若，则此时直线的斜率为，
直线与圆相切.
二、例题精选精讲
例1、在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求证：动点一定在某条定曲线上；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
解：(1)因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为.由题意得 ，化简得.
故动点在定曲线椭圆上.
（2）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积
又直线的方程为，，点到直线的距离.
于是的面积
当时，得
又，所以=，解得.
因为，所以.
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为，
则.
因为,所以,所以，
即，解得.因为，所以.
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
例2、已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
解：（1）设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为＋＝，将点P的坐标代入，得＝2，故圆C的方程为＋＝2．
（2）设Q(x，y)，则＋＝2，且＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝＋＋x＋y－4＝x＋y－2，所以的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．
（3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设
PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．
由得＋2k(1－k)x＋－2＝0．
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得＝，同理＝．所以＝＝＝＝1＝．
所以直线OP和AB一定平行．
例3、已知平面直角坐标系中O是坐标原点，，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为.
（1）求圆的方程及直线的方程；
（2）设圆的方程，，过圆上任意一点作圆的两条切线，切点为，求的最大值.
解：(1)因为，所以为以为斜边的直角三角形，
所以圆：
①斜率不存在时，：被圆截得弦长为，所以：适合
②斜率存在时，设： 即
因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2,所以

综上，：或
（2）解：设，则
．
在中，，由圆的几何性质得
，所以，
由此可得 ，则的最大值为.
三、目标达成反馈
1、设，则直线的倾斜角是 .
2、 已知圆截x轴所得弦长为16，则的值是 .
3、如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是 .
4、“”是“直线与圆相切”的 条件. 充分不必要
5 、已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ．
6、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交与两点，为坐标原点，
若与直线交与点，求当取最大值时的方程为.
7、、设圆，动圆，
（1）求证：圆、圆相交于两个定点；
（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.
解（1）将方程化为，
令得或，所以圆过定点和，将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；（2）设，则， ， 即，整理得（*）
存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得
或，
故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为.