实验中学八年级上册压轴题数学模拟试卷.doc

实验中学八年级上册压轴题数学模拟试卷

一、压轴题
1．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．

拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．

2．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．

3．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

4．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”

（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
5．请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．

（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为 ；
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P） ；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论 ．
6．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF

7．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？

8．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．

9．如图，在平面直角坐标系中，，，，点、在轴上且关于轴对称．

（1）求点的坐标；
（2）动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴正方向向终点运动，设运动时间为秒，点到直线的距离的长为，求与的关系式；
（3）在（2）的条件下，当点到的距离为时，连接，作的平分线分别交、于点、，求的长．
10．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．
（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；
（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；
①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；
②当t为何值时，点M与点N重合；
③当△PCM与△QCN全等时，则t=　　　　．

11．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；
（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．
学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
12．已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，，的平分线相交于点K．
（1）求的度数；
（2）如图2，，的平分线相交于点，问与的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；
（3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请用含的n式子表示的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）

13．如图，在中，，，点为内一点，且．

（1）求证：；
（2）若，为延长线上的一点，且．
①求的度数．
②若点在上，且，请判断、的数量关系，并说明理由．
③若点为直线上一点，且为等腰，直接写出的度数．
14．如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．
（1）当时， ，
（2）当DC等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

15．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：当点为的中点时，如图（2），确定线段与的大小关系，请你写出结论：_____（填“”，“”或“”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，与的大小关系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图（3），过点作EF∥BC，交于点．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若△的边长为，，求的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
16．（阅读材料）：
（1）在中，若，由“三角形内角和为180°”得．
（2）在中，若，由“三角形内角和为180°”得．
（解决问题）：
如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．
（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P．求证：∠EPC=∠EDP；
（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．

17．已知：MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，点C为MN，PQ之间的一点，连接CA，CB．

（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC；
（2）如图2，AD，BD，AE，BE分别为∠MAC，∠PBC，∠CAN，∠CBQ的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D作DA的垂线交PQ于点G，点F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，FD的延长线交EA的延长线于点H，若3∠C=4∠E，猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明．
18．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
19．已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．
（1）若点E的位置如图1所示．
①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °；
②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是 ．
（3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为 ．

20．已知ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．
（1）如图，当点 P 在ABC 内时，
①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝ ；
②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．
（2）当点 P 在ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）证明见解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．
【详解】
（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD＋∠CAE＝90°
∵∠BAD＋∠ABD＝90°
∴∠CAE＝∠ABD
∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE
即：DE＝BD＋CE
（2）解：数量关系：DE＝BD＋CE
理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）解：如图，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B的坐标为B（1，4）．

【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，
∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；
（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；
（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD＝DE.

证明：∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴，∠BDF＝∠BCA
∴
∴是等边三角形，
∴DF＝BD
∵点D是BC的中点
∴BD＝CD
∴DF＝CD
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵是等边三角形，点D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴
∵
∴
在与中

∴
∴AD＝DE；
（2）结论：AD＝DE.
证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F

∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴
∴
∴是等边三角形，
∴BF＝BD
∴AF＝DC
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵∠ADC是的外角
∴
∵
∴∠FAD＝∠CDE
在与中

∴
∴AD＝DE；
（3）如下图，是等边三角形.

证明：∵
∴
∵CE平分
∴CE垂直平分AD
∴AE=DE
∵
∴是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
4．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，
∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，

又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，

结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，
在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，
又AB=BE，
∴△ABG≌△EBF（SAS），
∴BG＝BF，
又AF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG为等边三角形，
∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，
∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；
（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；
（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D=.
【详解】
解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如图3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，
即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，
∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），
即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），
∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB
= y+（∠CAB-∠CDB）
=y+（x-y）
=
故答案为：∠P=；
（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，
∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，
∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，
∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，
∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D
=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D
=90°+（∠B-∠D）+∠D
=，
故答案为：∠P=.
【点睛】
本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；
（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；
（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°
在△ACD与△CBE中，
AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CD=BE，即CD和BE始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD，
∵AB=AC，
∴AE=BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC，
在△BCD和△ABE中，
BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE
∴△BCD≌△ABE（SAS），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：
如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=DG=CE，
在△DGF和△ECF中，
∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC
∴△DGF≌△EDF（AAS），
∴DF=EF.

【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
7．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）；（4）经过s点P与点Q第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；
（2）利用SAS可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；
（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP与CQ不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间t=s，
∴cm/s；
（4）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇．
由题意，得x=3x+2×10，
解得
∴经过s点P与点Q第一次相遇．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
8．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】
【分析】
（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．
（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．
②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．
【详解】
（1）补全图形，如图1所示

（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．

②证明：连接DE，DF．如图3所示

∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
【点睛】
本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．
9．（1）C（4，0）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质知为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；
（2）利用面积法可求得，再利用坐标系中点的特征即可求得答案；
（3）利用(2)的结论求得，利用角平分线的性质证得，求得，利用面积法求得，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．
【详解】
（1）∵点、关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴点C的坐标为：；
（2）连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）∵点到的距离为，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，过点作轴于点，连接、，

∵为的角平分线，为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．
10．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；
（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：

CN＝CN−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t＝2，
∴当t为2秒时，点M与点N重合；
③分两种情况：
当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，
∴CM＝CN，
∴3t＝10−8t，
解得：t＝；
当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，
则3t＝8t−10，
解得：t＝2；
综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于s或2s，
故答案为：s或2s．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n
【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得，
解得，
②由题意得，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤，
∴-1＜p≤，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1） 过 作KG∥AB，交 于 ，证出∥KG，得到，，根据角平分线的性质及平行线的性质得到，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质得到，，根据求出，根据求出答案；
（3）根据（2）得到规律解答即可.
【详解】
（1） 过 作KG∥AB，交 于 ，

∵ ，
∴∥KG，
，，
，分别为与的平分线，
，，
∵，
，
，
，则 ；
（2） ，
理由为：
，的平分线相交于点，
，，
，即 ，
，
，
，
；
（3）由（2）知；

同理可得=，
∴.
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.
13．（1）证明见解析；（2）①；②，理由见解析；③ 7.5°或15°或82.5°或150°
【解析】
【分析】
（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①利用SSS证得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；
②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题；
③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵CB=CA，DB=DA，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB；
（2）①在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BDC=180-45°-15°=120°；
②结论：ME=BD，
理由：连接MC，

∵，，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
由①得∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，
∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，
在△BDC和△EMC中，
，
∴△BDC≌△EMC（AAS），
∴ME=BD；
③当EN=EC时，∠=7.5°或∠ ==82.5°；
当EN=CN时，∠ ==150°；
当CE=CN时，点N与点A重合，∠CNE=15°，

所以∠CNE的度数为7.5