九年级半期数学检测试题.doc

九年级（上）期中数学试卷

一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共有12个小题，每小题3分，满分36分）
1．下列二次根式不是最简二次根式的是（　　）
　 A． 　　　　 B． 3 　　　　C． 　　　　D．
2．式子有意义的x的取值范围是（　　）
　 A． x＜1 　　　　B． x≠1 　　　　C． x≥1 　　　　　　D． x＞1
3．下列计算正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，
则的值为（　　）

　 A． 　　　　B． 　　　　　C． 　　　　　D．
5．某市2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2016年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）
　 A． 300（1+x）=363 B． 300（1+x）2=363
C． 300（1+2x）=363 D． 363（1﹣x）2=300
6．m是方程x2+x+1=0的根，则式子4m2+4m+2014的值为（　　）
　 A． 2018 　　B． 2008 　　　　C． 2009 　　　　D． 2010
7．已知y=++3，则5xy的值是（　　）
　 A． ﹣15　　 B． 15　　　　　 C． ﹣ 　　　　D．
8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（　　）
　 A． 20° 　　　B． 40° 　　　　C． 60° 　　　　D． 80°
9．设4﹣的整数部分为a，小整数部分为b，则a﹣的值为（　　）
　 A． 1﹣ 　　B． 　　　　C． 1+　　　　 D．
10．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）
　 A． 没有实数根 　　　　　　　　B． 可能有且只有一个实数根
　 C． 有两个相等的实数根 　　　　D． 有两个不相等的实数根
11．如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（　　）
　 A． 5.5 　　　B． 5 　　　　　　C． 4.5 　　　　D． 4
12．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（　　）

　 A． 1条　　　B． 2条 　　　C． 3条 　　　　D． 4条
二、认真填一填，试试自己的身手！（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
13．已知，则=　　　　　　．
14．计算的结果是　　　　　　．
15．化简|a﹣2|+（）2的结果是　　　　　　．
16．两个相似三角形面积之比为2：5，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为　　　　　　．
17．方程x2+3x﹣6=0与x2+6x+3=0所有根的乘积等于　　　　　　．
18．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是　　　　　　．
19．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程x2+bx+c=0，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是　　　　　　．
20．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　　　　　　米．

21．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为　　　　　　．

22．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014=　　　　　　．

三、用心做一做，显显你的能力！！（本题满分84分）
23．（10分）计算
（1）（2﹣）÷+2　　　　（2）（﹣）2﹣+（）0．

24．（20分）解下列一元二次方程
（1）2（x﹣3）2﹣72=0 （2）（3x+8）2﹣（2x﹣3）2=0

（3）x2+4x﹣5=0（配方法） （4）3x2﹣6x﹣4=0（公式法）

25．（10分）（2014秋•龙海市校级期中）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x=+3．

26．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的A、B、C三点坐标为A（2，0）、B（2，2）、C（6，3）．
（1）请在图中画出△ABC的一个以坐标原点为位似中心，相似比为2的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的顶点坐标．

27．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=　　　　　　，BC=　　　　　　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．

28．如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？

29．（10分）小明为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为100元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于75元．按此优惠条件，小明一次性购买这种服装付了1350元．请问他购买了多少件这种服装？

30．（12分）（2010•通化）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共有12个小题，每小题3分，满分36分）
1．下列二次根式不是最简二次根式的是（　　）
　 A． 　　B． 3　　　 C． 　　　D．
考点： 最简二次根式．
分析： 根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
解答： 解：、3、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，
=2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，
故选：D．
点评： 本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2．式子有意义的x的取值范围是（　　）
　 A． x＜1 　B． x≠1　　　 C． x≥1 　　　D． x＞1
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析： 根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解即可．
解答： 解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

3．下列计算正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 根据二次根式混合运算的相关知识进行解答即可．
解答： 解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、÷===2；故B正确；
C、=|﹣13|=13；故C错误；
D、3和2不是同类二次根式，不能合并，故D错误．
故选B．
点评： 此题考查的是二次根式的混合运算，在二次根式的加减运算中，不是同类二次根式的不能合并．

4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定与性质；梯形．
分析： 根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．
解答： 解：∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥CB，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵AD=1，BC=3．
∴=．
故选B．
点评： 此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．

5．某市2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2016年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）
　 A． 300（1+x）=363 B． 300（1+x）2=363 C． 300（1+2x）=363 D． 363（1﹣x）2=300

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 知道2014年的绿化面积经过两年变化到2016，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．
解答： 解：设绿化面积平均每年的增长率为x，
300（1+x）2=363．
故选B．
点评： 本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．

6．m是方程x2+x+1=0的根，则式子4m2+4m+2014的值为（　　）
　 A． 2018 B． 2008 C． 2009 D． 2010

考点： 一元二次方程的解．
分析： 根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
解答： 解：把x=m代入x2+x+1=0，得
m2+m+1=0，
则m2+m=﹣1．
所以4m2+4m+2014=4（m2+m）+2014=﹣4+2014=2010．
故选：D．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

7．已知y=++3，则5xy的值是（　　）
　 A． ﹣15 B． 15 C． ﹣ D．

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得，解不等式组可得x=1，进而可得y的值，然后可得答案．
解答： 解：由题意得：，
解得：x=1，
则y=3，
5xy=15，
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（　　）
　 A． 20° B． 40° C． 60° D． 80°

考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠C′=∠C．
解答： 解：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=80°．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．

9．设4﹣的整数部分为a，小整数部分为b，则a﹣的值为（　　）
　 A． 1﹣ B． C． 1+ D．

考点： 估算无理数的大小．
分析： 应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．
解答： 解：∵1＜＜2，
∴﹣1＞﹣＞﹣2，
∴4﹣1＞4﹣＞4﹣2，
∴3＞4﹣＞2．
∴a=2，b=2﹣，
∴a﹣=2﹣=1﹣．
故选A．
点评： 此题主要考查了实数的计算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

10．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）
　 A． 没有实数根 B． 可能有且只有一个实数根
　 C． 有两个相等的实数根 D． 有两个不相等的实数根

考点： 根的判别式；三角形三边关系．
分析： 由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．
能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．
解答： 解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．
∴△＜0．
∴该方程没有实数根．
故选A．
点评： 本题是方程与几何的综合题．
主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．

11．如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（　　）
　 A． 5.5 B． 5 C． 4.5 D． 4

考点： 三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题： 压轴题．
分析： 首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定．
解答： 解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，
则第三边c的范围是：2＜c＜8．
则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，
∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．
故满足条件的只有A．
故选A．
点评： 本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．

12．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（　　）

　 A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条

考点： 相似三角形的判定．
分析： 本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．
解答： 解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；
过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；
所以共有3条．
故选：C．
点评： 此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

二、认真填一填，试试自己的身手！（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
13．已知，则=　　．

考点： 比例的性质．
分析： 由，得x=y，再代入所求的式子化简即可．
解答： 解：，得x=y，
把x=y，代入=．
故答案为：．
点评： 考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．

14．计算的结果是　3　．

考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除法运算即可．
解答： 解：原式=（5﹣2）÷=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为最简．

15．化简|a﹣2|+（）2的结果是　4﹣2a　．

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，算出a的范围，再求解即可．
解答： 解：根据二次根式有意义的条件可得2﹣a≥0，
解得：a≤2，
|a﹣2|+（）2=|a﹣2|+|2﹣a|=2﹣a+2﹣a=4﹣2a，
故答案为：4﹣2A．
点评： 本题考查的知识点为二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．

16．两个相似三角形面积之比为2：5，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为　　．

考点： 相似三角形的性质．
分析： 先根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到两个相似三角形的相似比为：，再根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形对应边上的高的比等于：，然后利用较大三角形一边上的高为可求出较小三角形的对应边上的高．
解答： 解：∵两个相似三角形面积之比为2：5，
∴两个相似三角形的相似比为：，
∴两个相似三角形对应边上的高的比等于：，
而较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为．
故答案为．
点评： 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

17．方程x2+3x﹣6=0与x2+6x+3=0所有根的乘积等于　﹣18　．

考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据根与系数的关系分别求出各个方程的两根之积，然后计算所有根的乘积．
解答： 解：方程x2+3x﹣6=0的两根之积为﹣6，x2+6x+3=0的两根之积为3，
所以方程x2+3x﹣6=0与x2+6x+3=0所有根的乘积为﹣18．
故答案为﹣18．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

18．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是　或　．

考点： 相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
专题： 几何图形问题；压轴题；分类讨论．
分析： 首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
解答： 解：∵菱形ABCD的边长是8，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
如图1：当E在线段AD上时，
∴AE=AD﹣DE=8﹣3=5，
∴△MAE∽△MCB，
∴=；
如图2，当E在AD的延长线上时，
∴AE=AD+DE=8+3=11，
∴△MAE∽△MCB，
∴=．
∴的值是或．
故答案为：或．

点评： 此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．

19．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程x2+bx+c=0，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是　x2﹣4x﹣15=0　．

考点： 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 根据根与系数的方程，由甲把一次项系数看错可得到常数项c，由乙把常数项看错可得到一次项系数b，于是可确定原一元二次方程．
解答： 解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，
∴﹣3×5=c，即c=﹣15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为2和2，
∴2+2=﹣b，即b=﹣4，
∴原方程为x2﹣4x﹣15=0．
故答案为x2﹣4x﹣15=0．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

20．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　5.6　米．

考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
解答： 解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则，即，
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6．
点评： 应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．

21．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为　9：64　．

考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 先证明△ADE与△ABC相似并求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：BD=3：5，
∴AD：AB=3：8，
∴△ADE与△ABC面积之比=9：64，
故答案为9：64．
点评： 本题主要考查相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键．

22．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014=　×　．

考点： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．
专题： 规律型．
分析： 先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2014的值．
解答： 解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=，
∴S1==；
同理可得，S2=×；
…
∴Sn=×；
∴S2014=×．
故答案是：×．
点评： 本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

三、用心做一做，显显你的能力！！（本题满分84分）
23．（10分）（2014秋•龙海市校级期中）计算
（1）（2﹣）÷+2
（2）（﹣）2﹣+（）0．

考点： 二次根式的混合运算；零指数幂．
分析： （1）先进行二次根式的除法运算，然后化简合并；
（2）分别进行乘方、分母有理化、零指数幂的运算，然后合并．
解答： 解：（1）原式=4﹣+
=4；
（2）原式=3﹣+1+1
=5﹣．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的除法法则以及二次根式的化简与合并．

24．（20分）（2014秋•龙海市校级期中）解下列一元二次方程
（1）2（x﹣3）2﹣72=0
（2）（3x+8）2﹣（2x﹣3）2=0
（3）x2+4x﹣5=0（配方法）
（4）3x2﹣6x﹣4=0（公式法）

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： （1）先变形得到（x﹣3）2=36，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程化为3x+8+2x﹣3=或3x+8﹣2x+3=0，然后解两个一次方程即可；
（3）先利用配方法得（x+2）2=9，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
解答： 解：（1）（x﹣3）2=36，
x﹣3=±6，
所以x1=9，x2=﹣3；
（2）（3x+8+2x﹣3）（3x+8﹣2x+3）=0，
3x+8+2x﹣3=或3x+8﹣2x+3=0，
所以x1=﹣1，x2=﹣11；
（3）x2+4x=5，
x2+4x+4=9，
（x+2）2=9，
x+2=±3，
所以x1=1，x2=﹣5；
（4）△=（﹣6）2﹣4×3×（﹣4）=4×21，
x==，
所以x1=，x2=．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法、公式法解一元二次方程．

25．（10分）（2014秋•龙海市校级期中）先化简，再求值：（x﹣2﹣）÷，其中x=+3．

考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=÷=•=2（x+3），
当x=+3时，原式=2（+6）=2+12．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的A、B、C三点坐标为A（2，0）、B（2，2）、C（6，3）．
（1）请在图中画出△ABC的一个以坐标原点为位似中心，相似比为2的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的顶点坐标．

考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题．
分析： （1）连接OA、OB、OC、并延长到2OA、2OB、2OC、长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
（2）从坐标系中读出三点的坐标即可．
解答： 解：（1）如图：

（2）由图可知：A′（4，0），B′（4，4），C′（12，6）．

点评： 本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

27．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=　135°　，BC=　2　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．

考点： 相似三角形的判定；勾股定理．
专题： 压轴题；网格型．
分析： （1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
解答： （1）解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC===2；
故答案为：135°；2．

（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=
∴==，==．
∴△ABC∽△DEF．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．

28．如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？

考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析： 过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，由EF∥PC，可证明△DEF∽△DPC，利用相似比可得DF=DC=6，EF=PC=3，则EG=GF+EF=15，然后根据平行线分线段成比例，由FM∥GN得到的值．
解答： 解：过E作EG∥BC交DC于F，交AB于点G，
∵NE垂直平分DP，
∴DE=EP，
∵EF∥PC，
∴△DEF∽△DPC，
∴==
∴DF=DC=6，EF=PC=3，
∴EG=GF+EF=12+3=15，
∵FM∥GN，
∴==．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．

29．（10分）（2014秋•龙海市校级期中）小明为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为100元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于75元．按此优惠条件，小明一次性购买这种服装付了1350元．请问他购买了多少件这种服装？

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
解答： 解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[100﹣2（x﹣10）]x=1350，
解得：x1=15，x2=45，
当x=15时，100﹣2（15﹣10）=90元＞75元，符合题意；
当x=45时，100﹣2（45﹣10）=30元＜75元，不合题意，舍去．
答：他购买了15件这种服装．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据已知得出每件服装的单价．

30．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

考点： 一次函数综合题．
专题： 压轴题；开放型；分类讨论．
分析： （1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；
（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；
（3）画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC==，∴=，即可求出x的值；
②当PQ=RQ时，﹣x+6=，x=6；
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=CE=AC=2．由于tanC==，x=．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴=，
∴DH=•AC=×8=（3分）

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴=，∴=，
即y关于x的函数关系式为：y=x+6．（6分）

（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC==，
∴=，
∴=，
∴x=．
②当PQ=RQ时，﹣x+6=， ∴ x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN， ∴ ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=CE=AC=2．
∵tanC==， ∴ = ，
∴x=．
综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形． （12分）

点评： 本题很复杂，把一次函数与三角形的知识相结合，使题目的综合性加强，提高了难度，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．

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