数学参考答案(定稿）.doc

南通市2008届高三第一次调研测试
数学参考答案
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{1，2，3，4} 2． 3． 4． 5．1000 6． 7．13 8． 9．
10．26π 11．a≤0 12． 13．2026 14．4∶1
二、解答题：本大题共6小题，共90分，
15．（1）因BC∥B1C1， ……………………………………………………………………………2分
且B1C1平面MNB1， …………………………………………………………………………4分
BC平面MNB1，故BC∥平面MNB1．…………………………………………………………6分
（2）因BC⊥AC，且ABC-A1B1C1为直三棱柱， ……………………………………………8分
故BC⊥平面ACC1A1．
因BC平面A1CB， ……………………………………………………………………………10分
故平面A1CB⊥平面ACC1A1． …………………………………………………………………12分
16．解：（1）∵，
∴ …………………………………………2分
．……………4分
定义域为． ………………………………………………………………6分
（2）因，即＞0，
故为锐角，于是． …………………………………………………9分
∴=
=． ………………………………………………12分
17．解：（1）由lg5=a+c，得lg2=1-a-c． …………………………………………………………3分
∴lg6=lg2+lg3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c， ………………………………………………………6分
满足表中数值，也就是lg6在假设下是正确的． ……………………………………………7分
（2）lg1.5是错误的， ……………………………………………………………………………9分
正确值应为3a-b+c-1．……………………………………………………………………………11分
lg7是错误的， ……………………………………………………………………………13分
正确值应为2b+c． ……………………………………………………………………………15分
18．解：（1）k=2，．则=．………………………………3分
＞0，（此处用“≥”同样给分） ……………………………………………5分
注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为．（写为同样给分） …………7分
（2）当k＜0时，g(x)==．g(x)=≥， ……………9分
当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．
①若∈，即当k∈时，函数g(x)在区间上的最小值为；…11分
②若k＜-4，则在上为负恒成立，
故g(x)在区间上为减函数，
于是g(x)在区间上的最小值为g(2)=6-k． ………………………………………………13分
综上所述，当k∈时，函数g(x)在区间上的最小值为；
当k＜-4时，函数g(x)在区间上的最小值为6-k． ……………………………………15分
19．（1）设⊙M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，则点(a，b)在所给区域的内部． ……………2分
于是有 ………………………………………………………………………8分
（未能去掉绝对值，每个给2分）
解得 a=3，b=4，r=，所求方程为(x-3)2+(y-4)2=5． ……………………………………10分
（2）当且仅当PM⊥PN时，AB⊥CD． ……………………………………………………14分
因，故，解得=6． ………………………………………………18分
当=6时，P点在圆N外，故=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）
20．解：（1）由已知，得，∴是公比为2的等比数列，首项为．
∴，． …………………………………………………………………6分
（2）． =， ①
2= ， ②
①-②，得 -=，
∴==． …………………………………………………12分
（3）当n≥2时，=＜=．
∴==
=＜． …………………………………………………18分

B．附加题部分
1． 解：（1）连结ON．∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°．
∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB．
∵BO⊥AC于O，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN，∴PM=PN．
∴PM2=PN2=PA·PC． ………………………………………………………………………………6分
（2）OM=2，BO=，BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2． …10分
2． 矩阵M的特征值满足方程，
解得矩阵的两个特征值．………………………………………………………4分
将代人方程，得，则可取为属于的一个特征向量．
将代人方程，得，
则可取为属于的一个特征向量．……………………………………………………9分
综上所述，有两个特征值，
属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为． ……………10分
3． 解：可表示为，
化为直角坐标方程为，即，………………6分
因此该圆的半径为5，圆心的直角坐标为； ………………………………………8分
所以圆的半径为5，圆心的极坐标为．…………………………………………………10分
4． 解：函数的定义域为，且y＞0．
． ………6分
当且仅当时，取“=”， ……………………………………………8分
即时函数取最大值． …………………………………………………………10分
5． （1）． …………………………………………………………………4分
（2）对随机变量X来说，这是一个二项分布，于是，k=0，1，2，3．
即P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=．………………………………8分
也就是
X
0
1
2
3
P

E(X)=0×+1×+2×+3×=．…………………………………………………10分
（或E(X)=np=3×=．）
6． 解：（1）设N(x，y)．
因，故P的坐标为(，0)，M(0，-y)，于是，，．
因，即得曲线C的方程为x2=4y． ………………………………………………5分
（2）设Q(m，-1)．由题意，两条切线的斜率k均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1．
将上述方程代入x2=4y，得x2-4kx+4km+4=0．
依题意，△=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0．上述方程的两根即为两切线的斜率，
由根与系数的关系，其积为-1，即它们所在直线互相垂直．…………………………………10分
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