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用数学思想引领问题解决
离石区永宁小学 刘利梅
无论传统的应用题教学，还是新课标背景下的问题解决，都是数学教学的重要目标之一，也是世界各国中小学数学课程教学的一个普遍趋势，其侧重点在于训练学生解题的策略，它的特点是可以充分调动儿童的生活经验，来启迪儿童发现和帮助儿童理解解决问题的策略，从而提高教学效益。我们需结合四则运算意义，建立基本的数量关系模型；结合生活情境，建立特殊数量关系模型；依据基本数量关系、分析、建构复合数量关系。下面我粗浅地谈一谈自己在解决问题教学过程中的一些做法，与诸君商榷。
一、运用模型思想解决问题
数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会。在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然及数学与社会的天然联系。从而使学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学。这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与平台。
在《长方体的体积》一课的解决问题中有这样一道题：牙膏盒长10厘米，宽和高都是3厘米。现有一纸箱（长60厘米，宽30厘米，高30厘米）。这个纸箱中最多能放多少盒牙膏？（纸箱的厚度忽略不计）在这个问题的解决过程中，我这样引导学生建立模型思想：
1、 把牙膏盒放入纸箱中，牙膏盒就占了纸箱的空间，即牙膏盒的体积占了纸箱的容（体）积，说明该题中在讨论两者的体积关系，因此必须先算出牙膏盒与纸箱的体积。
2、 纸箱中能放多少个牙膏盒，也就是纸箱的体积中含有多少个牙膏盒的体积，即可理解为：把一堆物体（纸箱的体积），每多少（一个牙膏盒的体积）分为一份，求可以分为多少份，根据除法的意义可知用除法解决。即：总数÷每份数=份数。因此可放牙膏盒的个数=纸箱的体积÷一个牙膏盒的体积。
二、 运用数量关系模型和各种运算中各部分之间关系来解决问题。
常用基本关系式具有高度的概括性和广泛的应用性，我们可以用概括的语言和符号表示出来，建立数学模型，有助于培养学生抽象、概括的思维能力，感受数学抽象的美。学生对常见数量关系作必要的知识储备，在解决问题时甚至可以把这些特殊的数量关系式当成公式加以运用。在用数学方法解决问题的过程中，我注重常见数量关系的抽象概括与应用，同时加强数量关系分析的指导，以数量关系的有效构建提升学生分析问题和解决问题的能力。在抽象出数量关系模型后，还引导学生学会变式运用，做到举一反三，并将建立的数学模型迁移到他们不熟悉的情境中去，作为实现问题解决的方法和措施。逐步实现对常见数量关系的结构化迁移和运用，为今后在进一步解决两步、三步的常规问题时提供经验，为解决非常规问题打下基础。
在解决有关分数的问题中，我引导学生从数量关系和加减乘除法中各部分之间的关系入手。尤其是分数乘除法的解决问题，究竟是用乘法还是用除法，为什么用乘法或除法，我是从以下几个步骤来引导学生分析的：
1、 找单位“1”；
2、 写出数量关系；
3、 根据数量关系列式（例如：甲×¾=乙）；
4、 分析并列式。如果已知甲求乙，相当于知道两个乘数求积，用乘法，如果已知乙求甲，相当于知道积和一个乘数，那么另一个乘数就等于积除以已知的乘数。
三、运用画图策略分析并解决问题
数学是解决问题的科学,即数学的主要功能是解决问题，具体解题时选择解题的方法和策略是十分重要的,它直接关系到能否解决该问题或比较简单地解决该问题。画图策略是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。画图的价值在于用图形语言刻画问题；用图形语言寻找解决问题的思路；用图形语言解决问题；用图形语言刻画问题的结果。画图是个重要的工具，体现直观化。当学生把图画出来后，数形结合，把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。
画图的方式有很多种，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等。下面我以《人民币兑换》一课为例，谈谈自己是如何引导学生利用关系图帮助解决问题的。
1、 写出汇率（如：1美元=6.2085元）；
2、 在汇率下方对应位置写出已知的外币或人民币数量；
1美元 = 6.2085元 1美元 = 6.2085元
或
5美元 = ？元 ？美元 = 5000元
3、 引导分析：
（1）求5美元=？元 可理解为：5个1美元是多少元？（把1美元用6.2085元替换）也就是5个6.2085元是多少？列式为5×6.2085 。
关系图：1美元 = 6.2085元
↓（×5) ↓（×5)
5美元 = ？元
（2）求5000元=？美元可理解为：5000元里有多少美元？也就是5000元里有几个1美元？（把1美元用6.2085元替换）问题转化为：5000元里有几个6.2085元？列式为5000÷6.2085 。
关系图：1美元 = 6.2085元
↓（×？) ↓（×？)
？美元 = 5000元
从右边可看出？=5000÷6.2058
总之，在问题解决教学中，引领学生在书本知识与现实生活联系的过程中，在从具象到抽象的过程中，从解决问题到用数学方法解决问题。让学生根据四则运算的意义，根据问题结构，分析数量关系。无论用等式、符号、语言、图形、模拟等形式表示数量关系，其关键都在于让学生经历建立数量关系模型的抽象过程，经历提炼、运用策略的过程，在经历建模、策略应用过程中提高学生数学思维水平，帮助学生积累直接思考的数学经验，把其丰富的体验和认识转化为自身的逻辑推理、数学抽象能力的发展和思维品质的提升，进而有效地促进学生的发展。