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复习学案：导数的应用
一 函数的单调性
函数在某个区间内，若，则为 ；若，则为 ；若，则为 。
常见考察题型：（1）求函数的单调区间，即解不等式。
（2）函数在区间上单调递增（递减），即在区间上恒成立，利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号单独验证。
【例1】已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )
(A)(-∞，)∪(,2) (B)(-∞，0)∪(，2)
(C)(-∞，) ∪(，+∞) (D)(-∞，)∪(2，+∞)
【例2】1 已知函数f(x)=alnx+x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是_______.
2 已知在R上是减函数，求的取值范围。
【例3】已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
二（1）函数极值的概念
求函数极值的步骤：① ；② ；③ 。
【例3】设函数在及时取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
【例4】设的导数满足，其中常.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ) 设，求函数的极值.
三．函数的最大值与最小值
在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：
（1） ；（2） 。
【例5】已知函数在处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．
四． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中 ，根据实际问题确定 。
（2）求函数的 ，解方程 ，得出定义域内的实根，确定 。
（3）比较函数在 和 的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。
（4）还原到原实际问题中作答。
【例6】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
课堂练习
1、函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
2、函数的减区间为（ ）
以上皆非
3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π)
4．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)
5. 函数在区间上的最大值是（ A ）
A． B． C． D．
6. 函数的极大值为，极小值为，则为 （ A ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7. 已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．
课后巩固
1. 函数是减函数的区间为( )
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
2. 三次函数在内是增函数，则 （ ）
A． B． C． D．
3 函数，已知在时取得极值，则=（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
4 直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______.
5. 已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为 。
6. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．
7 已知函数
（1）求的单调减区间；
（2）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
8. 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；
当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
9. 设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。
10已知函数f(x)=lnx-.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值为，求实数a的值.
11. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
12. 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.
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