一元二次方程知识结构图.doc

一元二次方程知识结构1.一元二次方程有关概念：是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程。只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。2. 一元二次方程一般式一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0(a0,a,b,c是常数)的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。注：a0这个条件十分重要.3.方程解的含义（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。（2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。4判别式利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况。一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。上述结论反过来也成立。5根与系数的关系一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：，（也称韦达定理）。由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：ax2-(p+q)x+pq=0（其中）。6方程的解法(l)直接开平方法形如x2=p或(nx+m)2=p(p0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。注意等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。方法是根据平方根的意义开平方。(2)配方法步骤将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为一般形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。配方法的理论依据是完全平方公式a+b2ab=（ab）配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。(3)求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出判别式的值，判断根的情况；在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。推导过程一元二次方程的求根公式导出过程如下：（为了配方，两边各加）（化简得）。一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。(4)因式分解法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原图解法方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。