一元二次方程知识结构图.doc

一元二次方程知识结构

      1.一元二次方程有关概念：
     ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程。②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
     2. 一元二次方程一般式  
      一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。注：a≠0这个条件十分重要.
     3.方程解的含义  
 （1）一元二次方程的解（根）的意义：
     能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只有      一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
  （2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。
    4  判别式
    利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况。
一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系：
①当 时，方程有两个不相等的实数根；
②当 时，方程有两个相等的实数根；
③当 时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。
上述结论反过来也成立。
     5  根与系数的关系  
一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系： ， （也称韦达定理）。
由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：a[x2-(p+q)x+pq]=0（其中 ）。
     6  方程的解法
    (l)  直接开平方法
    形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
    注意       ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。
                   ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
                  ③方法是根据平方根的意义开平方。
    (2)   配方法  
    步骤
           将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
     用配方法解一元二次方程的步骤：
          ①把原方程化为一般形式；
         ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
        ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
        ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
        ⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
    配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²
    配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
     (3) 求根公式法  
    步骤
        用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
        用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
       ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
       ②求出判别式 的值，判断根的情况；
      ③在 的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。
     推导过程
                一元二次方程的求根公式导出过程如下：
               （为了配方，两边各加 ）
              （化简得）。
                 一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
         (4)  因式分解法
         因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原图解法方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。
           因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
                   ①移项，使方程的右边化为零；
                   ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
                   ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
                  ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。