從算術思維過渡到代數思維.doc

从算术思维过渡到代数思维
台湾师大数学系博士班谢佳睿
一般说来，数学思维可以说是运用数学概念，去判断、推理数学内容，以认识或解决数学问题的心理历程，其中算术思维与代数思维更展现出某种承接关系。数学家兼数学史家Cajori（1859-1930）曾经说过：「要探索算术的最好方法，就是研究代数 取自Moritz, R. E.所编之《On Mathematics-A collection of witty, profound, amusing passages about Mathematics and Mathematicians》
。」；Booth(1984)也曾提出：「如果学生不能理解两个集合(假定分别含有5个和8个)对象的总数可以写成5+8，那么要他们理解a+b表示了两个集合（分别含有a个和b个）对象的总数就更不可能了。」这都指出了算术思维与代数思维的关联。
在进一步论述如何从算术思维过渡（transition）到代数思维之前，我们将对这两种思维型态作初步的认识与了解。
一、算术思维与代数思维
何谓算术思维？代数思维？以及这两种思维之间的界线为何？从古至今众说纷纭。Usiskin(1999)认为代数思维关系到四个不同的概念：算术的一般化、解特定问题的过程、数量关系的探索和结构的探索；而学校的教材则经常指涉代数思维是算术思维的延伸；有些则将代数思维界定在符号的演算上；有些则是认为代数思维在于「求方程的思维」；有些则认为代数思维重视的是结构化的想法；有些则将代数思维界定在对运算（operator）的思考上；而有些则认为代数思维的核心在变量概念的类化；有些甚至将代数思维归结到对函数的思考；…，难以枚举。由于各家对此两种思维莫衷一是，因此本文不对这两种思维给出明确界定，而只由一些实例来对这两种思维型态作初步的了解与区分。
▓从两个例子来看这两种思维在解题中扮演的角色
为了进一步说明这两个思维的差别与承接关系，我们先从一个常见的例子着手：
例：小明有24元，买了5枝相同的铅笔后，还剩4元。问每枝铅笔是多少钱？
学生在面对这个问题时，可能采用这样的解题方式：
24-4＝20 （还剩4元，表示花掉了24-4元，也就是5枝笔的价格为20元）……（1）
20÷5＝4 （5枝笔的价格为20元，因此每枝笔为20除以5，也就是4元）……（2）
其中式子（2）学生也可能采用这样的方式：
20＝5×4或5×4＝20 （5枝笔的价格为20元，又因为5乘以4为20，所以每枝笔是4元）
……（3）
上述式子（1）-（2）或（3）的解题方式，都可视为学生在解题时运用了算术思维，如要再加以细分，（1）-（2）式用的是逆向思考，（3）式是数的合成分解。
另一种的解决这个问题的思考方式，是先假设每枝铅笔的价格是x元，并依题意列出底下的式子：
24－5x＝4 ……（4），再利用等量公理或移项法则求出x值。
式子（4）的方式，可视学生为运用了代数思维进行解题。（当然在真正解题时，学生使用的方式可能更为多样，在此仅为说明方便列举此两种方式）
从这个例子可以感受到，在算术思维中，着重的是利用数量的计算求出答案的过程，这个过程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、计算性的，甚而建立在直观上；相对的，代数思维倚重的是关系的符号化及其运算，这个运算是结构性的、去情境的、具有一般性的、形式化的，并且在某种程度上是无法依赖直观的。在算术思维中，表达式的功用是一种思考的纪录，是直接联结题目与答案的桥梁；而在代数思维中，表达式的功用，不再只是直接联结问题与答案之间的过程纪录，也充当一个问题转译的角色，因此，从代数思维的角度来看，解具体情境题被区分成两个部分：列式与求式子的解。
被区分成列式与求式子的解两部分的特征与算术思维是不同的。当问题被转译成代数式子后，接下来所做的求解运算并不是针对原问题的答案，而是代数式子（或方程式）的解，而这个过程是一种与原问题、情境无关的形式（符号）运算，运用的是具有结构性与抽象性的运算法则，最后再对求出的解进行意义上的还原。这种始于问题转译、对消还原的代数思维，扩展到符号化、一般化、抽象化及结构化的代数概念，许多学者就认为中间需通过算术思维，尤其是对数量关系的操作与观察。也因为如此，一般认为代数思维的养成在算术思维之后，且必须奠基于算术思维之上。
另一个例子则取自83年版之国中选修数学第二册教师手册：
例：有一矩形，长宽相乘得面积252，长宽相加得32，则长宽各若干？
解：取32之半得16，
16×16＝256
256-252＝4
4之方根为2
16+2＝18以及16-2＝14 即为长与宽。
这个解法为未用任何文字符号，且乍看之下，不但只是进行数的运算，而且需在特殊数字下才能进行。然则仔细观之，不但这种解法含有解方程的思想（详见教师手册所示），甚至十分结构化，就算更换数字也能以相同的方式解出。这种以数字为范例，进行的却是一般化的思考，在中国古算经中处处可见。这种有规则可循，不会因题目所给的数字改变作法的思想，某种程度已隐含了未知数（变量）的观念。
如果要从这两个例子对这两种思维的做一个概泛描述，比较贴切的说法是：算术思维解题的思考型态是结构性的，运算过程却是程序性的；而代数思维解题的思考型态是程序性的，运算过程却是结构性的。
二、算术思维与代数思维的连续、不连续与学习上可能遇到的困难
算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验（量的改变）便可跨越，还必须经过思维结构的转化（质的改变）。这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难，其中不仅仅在于上述所提「算式的角色」在算术思维与代数思维上的差异，而是两种思维之间（至少）还存在底下几个连续与不连续之处（Kieran, 1990）：
（1） 算术与代数共享了许多的符号及对象
算术与代数共享了许多的符号和对象，例﹕
(a) 1、2、3、…、、、…、-2、-3…
(b) ＋、－、×、÷、＝
然而这些符号有些在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。以等号「＝」为例，在算术中「＝」代表运算结果「得到」。譬如下面这个问题﹕
例：小明的妈妈给了他一些代币，在玩电动玩具时，他赚了5个代币，后来又用了12个代币，最后剩下1个代币，试问他原先有几个代币？
算术解法﹕ 1+12=13， 13-5=8 Ans.：8
许多学生会写成： 1+12=13-5=8 Ans.：8
此时学生的想法是一个程序性的运算：1+12得到13再-5得到8，所以答案是8。虽然答案是对的，但是在这儿学生忽略了等号所应具有之结构性。
而在代数中「＝」代表一种等价关系，因此「＝」左右两边需有同样的大小。一旦学生仍以程序性的运算来看待等号，那么就会使他们无法接受许多的等式。例如﹕式子「4+3=6+1」，许多学生认为此等式右边不代表一个运算的结果，所以「4+3=6+1」应再加上等号而写成「4+3=6+1=7」才算完整，此类学生即是尚未将等号视为一种等价关系。

（2） 运算客体的扩充
一般而言，在算术的课程中，被运算的客体，只有数字；而在代数课程中，被运算的客体除了数字外，还包括代数式、含有未知数的等式、函数、变量、多项式…等。举例来说，在算术上，学生对于2+3=5的式子，会认为其中的2+3是一种运算，得到的结果是5，而2及3是被运算的客体，经由经验的累积，他/她们认为这些客体都是数。
在代数上， a+b可被视为一运算，也可被视为一客体，这是在算术上所没有的。学生不容易了解为什么a+b没有一个结果，所以在求f(a+b) 时，a+b 代表客体，对学生而言，就额外的难了。
此外，由于符号的引进使得代数能处理的概念形式远大于算术。例如：对于「3的倍数」这样的一个概念，在代数中是可以表征为「3n」而进行操作，在算术中只能运用3、6、9、…加以运作。因此像这样的命题：「试证形如3n+2的整数不可能为完全平方数」是难以用算术方式进行叙述与解题的。

（3） 算术的解法常常没有固定的形式，而代数的解法则强调严格的正规形式。
Booth(1984)认为，学生在学习算术时，常使用的几种非形式的方法及这些方法的特点如下：
a) 直观法，也就是根据他们直观的知识解题。
b) 以较原始的数学经验为解题之主要方法。
c) 与题目的情境有相当大的关系。
d) 鲜少使用正式的，符号化的方法。
e) 以数数（counting）、加（adding）、及合成(combining)等想法进行运算。
f) 大部分只使用正整数及简单分数。
这些方法由于缺乏对算术程序结构、规则明确的了解，只是进行机械性的运算操作，这也使得许多学生在学习结构化很强的代数时，产生困扰。
相对的，Kieran（1992）认为学生在解代数问题时，一般也使用下列几种方式：
a) 利用数的事实（合成分解）。
b) 利用数数的方法。
c) 遮盖法。
d) 逆向复原。
e) 试误法。
f) 等量公理。
g) 移项法则。
Kieran进一步指出后两种为「正规」的方法，也是代数课程强调学习的目标之一；另五种方法都和直觉有关，且不易推广，并指出其中a、b两种方法在学校是不教的，而c、d、f三种在代数的学习过程中对顺利过渡到正规的方法有很大的帮助。 不难发现，前五种方法与算术方法是重叠的，这除了再次说明算术思维与代数思维的既承接又模糊不清的关系外，也点出它们与等量公理、移项法则这两种正规方法的差异。

（4） 在面对生活中的数学问题时，学生常需学习使用具程序性的逆向思维来解算术问题，但若要用代数方法解题却需要顺着问题情境。
例如，在算术上，解「一个数的2倍加4是32，试求某数？」时，算法为：加4后得到32，所以减4，得到28，而28是某数2倍后的值，所以原来的数是28除2，于是答案是14。此时，所做的运算有「减4」和「除2」，这些运算是由「2倍」和「加4」的逆向而来。
在代数上，解同一题时作法为：设某数为x，则2x+4=32，这时为了列出这个方程式，学生所做的运算是「乘2」，「加4」，恰好与他们在算术上的运算相反。所以，对学生而言，他们需要用一种与原先思维逆向的思考方式才能列出这个式子，而容易造成学生的混淆。

算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。这个过渡对学生所产生的困难，或许可以回溯一个数学史的案例。
中国历代，数学最好的一位帝王应属清康熙皇帝，从康熙所实质编纂的《数理精蕴》来看，其数学成就十足是一位业余数学家，然而当他面对「符号代数」的《阿尔热巴拉新法》（洪万生，1991）时，他的反应却是：
「......朕自起身以来，每日同阿哥等察阿尔热巴拉新法，最难明白，他说比旧法易，看来比旧法难，错处亦甚多，......，还有言者：甲乘甲、乙乘乙，总无数目，即乘出来亦不知多少，看起来想是此人算法平平尔。......」
这里的「新法」指的是Francois Viete(1540-1603)创立的「符号法则」，即以「通用记号」取代数目字样，并对之作加减乘除、平方立方等操作（洪万生，1991），说穿了就是现在国中所学的代数符号。这种思维连数学那么好的人都加以排斥（从《数理精蕴》内容看来，康熙至少熟稔比例、借根方、对数、几何原本、九章算术等内容），遑论一般的国中生了。
三、从算术思维到代数思维的过渡
从数学史提供的例子，以及前两节所述两种思维的几项差异，不难得知要从算术思维过渡到代数思维，在教材的安排上至少必须注重代数思维的符号化、一般化（抽象化）与结构化三个特征。
（1） 从具体的数字到抽象的代数符号
数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。
从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这个问题的答案或许得从「algebra」这个字的本意着手。这个字的前身「Al-jabr」出现在阿拉伯数学家Khwârizmi（阿尔花拉子米）写的书籍中，其本义为「还原或对消」的科学，由此可知，在代数发展之初，以符号代表数（待解的已定数）只是一个手段，主要的还是藉由对消来达到还原「符号所代之数」的目的。
这种将待求之数以代数（文字）符号「暂表」之，至少会引出四个不同的功用：
（一）改变解题思维动向。亦即能对「待解的已定数」作运算：
例：「某数加5得到8，求该数。」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？ 3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。
（二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法：
这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。
（三）能保留对运算的程序或结构：
例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。但是得出4之后，就无法得知4究竟是2、2×2、2+2，还是其它方式而来。而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证…上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。
（四）扩展了运算的客体范畴：
学生的运算客体由原本的数字，扩充到代数符号，以及符号所表征的概念，如进行函数、多项式等之运算。
尽管对这四个功能的理解有助于学生进入代数思维，从另一个角度来看，这也正是学生要跨入代数思维所要克服的关卡。
随着代数的发展，文字符号的意义为更为丰富。Küchemann(1981)将学生对文字符号的理解与使用分成不尽相同的六类，并进一步的将学生对文字符号的解释分成四个认知层次：
（a）层次一：学生能处理文字符号的求值（可用试误或具体的方法，无须具备解方程式的能力）、忽略文字符号，或将文字符号当成对象的简易文字符号问题。
（b）层次二：能作较为复杂文字符号问题，但无法一贯处理特定未知数、一般数、变量的问题。
（c）层次三：能将文字符号视为特定未知数、一般数或变量，但仅限于结构简单的问题。
（d）层次四：能将文字符号视为特定未知数、一般数或变量，且能处理结构较为复杂的问题。
在Küchemann（1981）的研究中，英国仅有40％的15岁孩童能到层次三，而能达到层次四的更仅有9％。这个结果与国内的研究十分类似（郭汾派等，1989），换句话说，在九年一贯第四阶段的孩童要将文字符号视为特定未知数、一般数或变量，有其困难度，这不只是教学上的问题，更可能是认知上的问题。
从国民教育的数学内容来看，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，这也是为何九年一贯数学领域代数主题中，要安排长的时间来培养学生对于符号理解与使用，且针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，以期学生能在足够且成熟的经验后，顺利进入符号化的代数领域。
（2） 从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）
符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。如果只是借用代数的符号，实际运作的却是算术的想法，则仍称不上运用代数思维；相对的，如进行的是一般化的想法，即使不使用代数符号（如第一节中的第二个例子），有些人则认为已运用代数思维了。这同时也指出了，学习者是否运用代数思维，凭借的是脑中的想法，而非表示出来的算式。
例如：「一个定价100元的杯子，打85折出售，问便宜了多少钱？」，学生解题时，如假设便宜了x元，并列出方程式
x＝100-100×0.85
因此得到x＝15
在这里，就算学生使用了文字符号，如果脑中实际进行的只是算术的想法，则符号在此并未发挥功用，他只是解了一个特定的题目，如此仍属算术思维。
但如果学生的思考方式是：定价x元的东西，打85折变成0.85x元，因此便宜了x-0.85x元，又知道定价是多少，因此列出100-100×0.85＝15。其中，就算完全没有未知数符号，我们仍可说学生运用了代数思维。因为，学生不但解决了这一题，同时解决了同一类的问题，这种已经对题目一般化的想法，曹亮吉（2003）认为是代数思维的核心 原曹亮吉所使用的是「类化」一词，而本文则将「类化」视为「一般化的初步阶段」，对初学代数的学生本文不去区分类化与一般化的差异。
。也因此，想要学生从算术思维顺利过渡代数思维，这种一般化的想法是不可缺的。
当学生知道某个定价x元的东西打85折后便宜了x-0.85x＝0.15x元，我们可以说学生已经将这个问题做某种程度的一般化。另一方面，一般化也能表现在折扣上，亦即「便宜的价格＝定价-定价×折扣」，而这个「100-100×0.85」只是「x-0.85 x， x代表定价」这个一般化的特例，同时也是「定价-定价×折扣」这个一般化的特例。
此外，探讨数与形规律的「数型（number pattern）」也提供了过渡到代数思维的一个辅助。许多学者认为，透过对数型规律的一般化、形式化学习有助于提升学生到代数思维（Orton,1999、Bishop,2000），梁蕙如（2003）更指出透过对数型命题论证的教学能协助学生将数型表征成的代数形式。
所有数学概念的发展过程都离不开一般化、抽象化过程，从算术思维到代数思维的过渡亦是如此。而学生要能顺利地运用代数思维，不但要进入一般化的阶段，更要能够自由地将一般化的想法用回到特殊化的情境上，唯有如此，才能避免代数思维成为一种无意义的符号游戏。
（3） 从程序性到结构性
从高观点的角度来看，代数重视的是运算（operator），一旦运算确定了，则这个运算所作用的元素便建立了结构，如群、环、体、向量空间…等。在九年一贯的代数学习中，仍处处可见结构，包含多项式、等量公理、数系的扩充、方程式、解方程式、函数…等都是一种结构。
Sfard（1991）建议可以用程序性和结构性两种不同的方式形成抽象的数学概念；Kieran（1992）更进一步从历史性的分析将代数的发展看做一种程序性到结构性的周期，而学校代数的学习可以理解为一系列的过程-客体（即程序性-结构性）的调整，并指出所谓程序性指的是作用在「数」上的运算，而结构性可以泛指实施在「代数式」上的运算。例如，代数式被化简为、可从等号两边同减得到，这都是将代数式视为运算的客体。
又例如，当学生要求9的平方根时可能利用代值的方法，计算1×1＝1、2×2＝4、最后得到3×3＝9，且经由教学知道（-3）×（-3）＝9，因而得到9的平方根为3与-3。虽然这个解法也有一个固定的思维模式，但运算的对象为数，当问题的数字改变后，求解的过程就会跟着改变，因此这个解法仅是一个程序性的解法，未达到结构化；相对的，当学生思考的是9的平方根就是，在学生的思维中已有a的平方根为的结构，这时运算的客体已经脱离数，而是在代数式。尽管，将结构性视为「作用在代数式的运算」显的过于粗略，但却提供一个便于描述结构化的方式，若是进一步将作用在「代数式」的想法扩充到「具有结构的类」或许更为贴切。
在结构化的过程中，对符号与变量的理解有着重要的地位。Clement(1982)所提供的一个经典的例子就是学生-教授的问题：「某个大学中，学生人数是教授的6倍，若以S表示学生数，P表示教授数，试写出用变量S和P的式子表示上述说法。」这个问题中，学生必须理解等号用来表示等价性，以及理解字母描述的是一个变量，学生才能进入结构化阶段。然而，实际上研究发现，学生对于数值性方法的喜爱，更胜于用结构化的方法（梁蕙如,2003），这也为过渡到代数思维带来了阻碍。
从教学的观点来看，要从算术思维过渡到代数思维，绝非仅是进行大量的算术练习或精熟的符号操演，而是在这两项为基础的条件下帮助学生建立代数思维的一般化及结构化。在代数的教学中，算术思维的程序性与代数思维的结构性是同要的重要的，也唯有建立在这两种思维的相互协调上，代数思维才能发展起来。
参考文献
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梁蕙如（2003）：国三学生数形命题论证类型及其改变之教学探究。台湾师范大学数学研究所硕士论文。
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